?2022年北京市昌平區(qū)高考數(shù)學二模試卷
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1．（4分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，則A∪B＝（　　）
A．{x|x＞0} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x≥1} D．{x|0＜x＜2}
2．（4分）若復數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則z＝（　　）
A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
3．（4分）為倡導“節(jié)能減排，低碳生活”的理念，某社區(qū)對家庭的人均月用電量情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某社區(qū)100個家庭的人均月用電量（單位：千瓦時），將數(shù)據按照[40，60），[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．若該社區(qū)有3000個家庭，估計全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)為（　　）

A．300 B．450 C．480 D．600
4．（4分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3＝a5，a2﹣a1＝2，則a4＝（　?。?br /> A．4 B．7 C．8 D．9
5．（4分）已知雙曲線的焦距為4，其右焦點到雙曲線C的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的漸近線方程為（　?。?br /> A．y＝±2x B． C． D．y＝±x
6．（4分）“”是“函數(shù)f（x）＝sin（x+θ）在區(qū)間上單調遞減”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（4分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，則下列結論正確的是（　?。?br />
A．A1O∥EF B．A1O⊥EF
C．A1O∥平面EFB1 D．A1O⊥平面EFB1
8．（4分）已知直線l：ax﹣y+1＝0與圓C：（x﹣1）2+y2＝4相交于兩點A，B，當a變化時，△ABC的面積的最大值為（　?。?br /> A．1 B． C．2 D．
9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣4ax+2（a＜0），則關于x的不等式f（x）＞log2x的解集是（　?。?br /> A．（﹣∞，4） B．（0，1） C．（0，4） D．（4，+∞）
10．（4分）在△ABC中，∠B＝45°，c＝4，只需添加一個條件，即可使△ABC存在且唯一．在條件：①a＝3；②b＝2；③cosC＝﹣中，所有可以選擇的條件的序號為（　　）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11．（5分）拋物線y2＝2x的準線方程為 　 　
12．（5分）在的展開式中，常數(shù)項為 　 　.（請用數(shù)字作答）
13．（5分）已知D是△ABC的邊AB的中點，||＝2，∠CAB＝，則＝　 ??；＝　 ?。?br /> 14．（5分）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)b的一個取值為 　 ?。?br /> 15．（5分）刺繡是中國優(yōu)秀的民族傳統(tǒng)工藝之一，已經有2000多年的歷史．小王同學在刺繡選修課上，設計了一個螺旋形圖案﹣即圖中的陰影部分．它的設計方法是：先畫一個邊長為3的正三角形A1B1C1，取正三角形A1B1C1各邊的三等分點A2，B2，C2，得到第一個陰影三角形A2B1B2；在正三角形A2B2C2中，再取各邊的三等分點A3，B3，C3，得到第二個陰影三角形A3B2B3；繼續(xù)依此方法，直到得到圖中的螺旋形圖案，則A3B2＝　 ??；圖中螺旋形圖案的面積為 　 ?。?br />
三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16．（13分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M是BC的中點．
（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BM；
（Ⅱ）求二面角B﹣A1M﹣C1的大?。?br /> （Ⅲ）求點A到平面A1MC1的距離．

17．（13分）已知函數(shù)，且f（x）的最小正周期為π，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設，若g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為2，求m的最小值．
條件①：f（x）的最小值為﹣2；
條件②：f（x）的圖象經過點；
條件③；直線是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸．
18．（14分）某產業(yè)園生產的一種產品的成本為50元/件．銷售單價依產品的等級來確定，其中優(yōu)等品、一等品、二等品、普通品的銷售單價分別為80元、75元、65元、60元．為了解各等級產品的比例，檢測員從流水線上隨機抽取200件產品進行等級檢測，檢測結果如表所示．
產品等級
優(yōu)等品
一等品
二等品
普通品
樣本數(shù)量（件）
30
50
60
60
（Ⅰ）若從流水線上隨機抽取一件產品，估計該產品為優(yōu)等品的概率；
（Ⅱ）從該流水線上隨機抽取3件產品，記其中單件產品利潤大于20元的件數(shù)為X，用頻率估計概率，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅲ）為拓寬市場，產業(yè)園決定對抽取的200件樣本產品進行讓利銷售，每件產品的銷售價格均降低了5元．設降價前后這200件樣本產品的利潤的方差分別為s12，s22，比較s12，s22的大?。ㄕ堉苯訉懗鼋Y論）
19．（15分）已知橢圓的離心率為，上下頂點分別為A，B，且|AB|＝4．過點（0，1）的直線與橢圓C相交于不同的兩點M，N（不與點A，B重合）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線AM與直線y＝4相交于點P，求證：B，P，N三點共線．
20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣bx+b，．
（Ⅰ）若曲線y＝f（x）與曲線y＝g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）無零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當a＝b時，函數(shù)F（x）＝f（x）+g（x）在x＝1處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍．
21．（15分）已知數(shù)列{an}，給出兩個性質：
①對于任意的i∈N*，存在ki∈R，當j＞i，j∈N*時，都有aj﹣ai≥ki（j﹣i）成立；
②對于任意的i∈N*，i≥2，存在ki∈R，當j＜i，j∈N*時，都有aj﹣ai≥ki（j﹣i）成立．
（Ⅰ）已知數(shù)列{an}滿足性質①，且ki＝2（i∈N*），a1＝1，a4＝7，試寫出a2，a3的值；
（Ⅱ）已知數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3×2n﹣1，證明：數(shù)列{bn}滿足性質①；
（Ⅲ）若數(shù)列{cn}滿足性質①②，且當i∈N*，i≥2，時，同時滿足性質①②的ki存在且唯一．證明：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列．

2022年北京市昌平區(qū)高考數(shù)學二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1．（4分）已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，則A∪B＝（　?。?br /> A．{x|x＞0} B．{x|1≤x＜2} C．{x|x≥1} D．{x|0＜x＜2}
【分析】利用并集定義直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，
∴A∪B＝{x|x＞0}．
故選：A．
【點評】本題考查集合的運算，考查并集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
2．（4分）若復數(shù)z滿足（1﹣i）z＝2i，則z＝（　?。?br /> A．1+i B．﹣1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
【分析】根據已知條件，結合復數(shù)的運算法則，即可求解．
【解答】解：∵（1﹣i）z＝2i，
∴．
故選：B．
【點評】本題主要考查復數(shù)的運算法則，屬于基礎題．
3．（4分）為倡導“節(jié)能減排，低碳生活”的理念，某社區(qū)對家庭的人均月用電量情況進行了調查，通過抽樣，獲得了某社區(qū)100個家庭的人均月用電量（單位：千瓦時），將數(shù)據按照[40，60），[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．若該社區(qū)有3000個家庭，估計全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)為（　?。?br />
A．300 B．450 C．480 D．600
【分析】由頻率分布直方圖先求頻率，再求家庭數(shù)即可．
【解答】解：由頻率分布直方圖可知，
人均月用電量低于80千瓦時的頻率為（0.002+0.008）×20＝0.2，
故估計全社區(qū)人均月用電量低于80千瓦時的家庭數(shù)為3000×0.2＝600，
故選：D．
【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應用，屬于基礎題．
4．（4分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S3＝a5，a2﹣a1＝2，則a4＝（　　）
A．4 B．7 C．8 D．9
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式求解．
【解答】解：由題意可知等差數(shù)列{an}的公差d＝2，
∴＝a1+4×2，
解得a1＝1，
∴a4＝a1+3d＝1+6＝7，
故選：B．
【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎題．
5．（4分）已知雙曲線的焦距為4，其右焦點到雙曲線C的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的漸近線方程為（　?。?br /> A．y＝±2x B． C． D．y＝±x
【分析】由題意，雙曲線焦點到漸近線的距離為b，結合焦距求解c，求出a，即可求得雙曲線C的漸近線方程．
【解答】解：由題意，雙曲線焦點到漸近線的距離為b＝，焦距為4，可得c＝2，所以a＝，
雙曲線的漸近線方程：y＝±x
故選：D．
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質，考查雙曲線中幾何量之間的關系，考查數(shù)形結合的能力，屬于基礎題．
6．（4分）“”是“函數(shù)f（x）＝sin（x+θ）在區(qū)間上單調遞減”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
【解答】解：當時，f（x）＝cosx，則f（x）在區(qū)間上單調遞減，即充分性成立，
反之若f（x）在區(qū)間上單調遞減，當θ＝+2π時，f（x）＝sin（x++2π）＝cosx在（0，）上單調遞減，但此時θ＝不成立，即必要性不成立，
則“”是“函數(shù)f（x）＝sin（x+θ）在區(qū)間上單調遞減”的充分不必要條件，
故選：A．
【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用三角函數(shù)的單調性進行判斷是解決本題的關鍵，是基礎題．
7．（4分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，則下列結論正確的是（　?。?br />
A．A1O∥EF B．A1O⊥EF
C．A1O∥平面EFB1 D．A1O⊥平面EFB1
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解．
【解答】解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，
以D為坐標原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖，

設正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，
則A1（2，0，2），O（1，1，0），E（2，2，1），F(xiàn)（0，0，1），B1（2，2，2），
＝（﹣1，1，﹣2），＝（﹣2，﹣2，0），＝（0，0，1），
∵與不共線，∴A1O與EF不平行，故A錯誤；
∵＝2﹣2﹣0＝0，∴A1O⊥EF，故B正確；
設平面EFB1的法向量為＝（x，y，z），
則，取x＝1，得＝（1，﹣1，0），
＝﹣1﹣1＝﹣2≠0，∴A1O與平面EFB1不平行，故C錯誤；
∵與不共線，∴A1O與平面EFB1不垂直，故D錯誤．
故選：B．

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
8．（4分）已知直線l：ax﹣y+1＝0與圓C：（x﹣1）2+y2＝4相交于兩點A，B，當a變化時，△ABC的面積的最大值為（　　）
A．1 B． C．2 D．
【分析】當實數(shù)a變化時，△ABC的最大面積為9，可知此時AC與BC相互垂直時，可求出r的值，進而求出a的值．
【解答】解：設AC與BC的夾角為θ，
由題意可知，S△ABC＝AC×BC×sinθ＝r2sinθ≤r2＝2，當sinθ＝1時取等號，
故△ABC的面積的最大值為2．
故選：C．
【點評】本題考查直線與圓的位置關系，三角形面積的最大值的求法，屬于中檔題．
9．（4分）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣4ax+2（a＜0），則關于x的不等式f（x）＞log2x的解集是（　?。?br /> A．（﹣∞，4） B．（0，1） C．（0，4） D．（4，+∞）
【分析】由對數(shù)函數(shù)的定義域和x＝1，x＝4，運用排除法和數(shù)形結合法，可得結論．
【解答】解：f（x）＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
由y＝log2x的定義域為（0，+∞），
可排除選項A；
當x＝1時，a＜0，f（1）＝2﹣3a＞0，log21＝0，不等式成立，可排除選項B、D；
當x＝4時，f（4）＝2，log24＝2，結合圖像可得不等式的解集為（0，4），
故選：C．

【點評】本題考查不等式的解法，運用排除法和圖像法是解題的關鍵，考查數(shù)形結合思想，屬于基礎題．
10．（4分）在△ABC中，∠B＝45°，c＝4，只需添加一個條件，即可使△ABC存在且唯一．在條件：①a＝3；②b＝2；③cosC＝﹣中，所有可以選擇的條件的序號為（　?。?br /> A．① B．①② C．②③ D．①②③
【分析】由余弦定理，結合余弦函數(shù)的單調性及三角形的性質逐一判斷即可得解．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝45°，c＝4，
若添加條件①，則由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝10，即b＝，即△ABC存在且唯一；
若添加條件②，則由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得：a2﹣4a﹣4＝0，解得a＝，即△ABC存在且唯一；
若添加條件③，則由﹣，則C＞135°，則B+C＞45°+135°＝180°，即△ABC不存在，
即可以選擇的條件的序號為①②，
故選：B．
【點評】本題考查了余弦定理，重點考查了余弦函數(shù)的單調性及三角形的性質，屬基礎題．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11．（5分）拋物線y2＝2x的準線方程為 　　
【分析】直接利用拋物線的標準方程求解準線方程即可．
【解答】解：拋物線y2＝2x的準線方程為：x＝﹣＝﹣．
故答案為：x＝﹣．
【點評】本題考查拋物線的簡單性質的應用，是基本知識的考查．
12．（5分）在的展開式中，常數(shù)項為 　60　.（請用數(shù)字作答）
【分析】求出展開式的通項公式，然后令x的指數(shù)為0，進而可以求解．
【解答】解：二項式的展開式的通項公式為T＝C，r＝0，1，2，…，6，
令6﹣，解得r＝4，
所以展開式的常數(shù)項為C＝60，
故答案為：60．
【點評】考察了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題．
13．（5分）已知D是△ABC的邊AB的中點，||＝2，∠CAB＝，則＝　3??；＝　﹣?。?br /> 【分析】由平面向量數(shù)量積運算，結合平面向量的線性運算求解即可．
【解答】解：由||＝2，∠CAB＝，則＝＝；
＝＝，
故答案為：3；﹣．
【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積運算，重點考查了運算能力，屬基礎題．
14．（5分）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則實數(shù)b的一個取值為 ?。ú晃ㄒ唬。?br /> 【分析】由題意可知x＝0是函數(shù)的一個零點，所以當x＜0時，函數(shù)f（x）有且僅有一個零點，即2x＝b在（﹣∞，0）上僅有一個解，根據2x的范圍求解即可．
【解答】解：因為當x≥0時，f（x）＝，令f（x）＝0，解得x＝0，
又因為f（x）有且僅有兩個零點，
所以當x＜0時，f（x）＝0僅有一個零點，
即2x﹣b＝0在（﹣∞，0）上僅有一個解，
等價于2x＝b在（﹣∞，0）上僅有一個解，
又因為0＜2x＜1，
所以只需滿足0＜b＜1即可．
故答案為：（不唯一）．
【點評】本題屬于開放型問題，考查了函數(shù)的零點、轉化思想，屬于基礎題．
15．（5分）刺繡是中國優(yōu)秀的民族傳統(tǒng)工藝之一，已經有2000多年的歷史．小王同學在刺繡選修課上，設計了一個螺旋形圖案﹣即圖中的陰影部分．它的設計方法是：先畫一個邊長為3的正三角形A1B1C1，取正三角形A1B1C1各邊的三等分點A2，B2，C2，得到第一個陰影三角形A2B1B2；在正三角形A2B2C2中，再取各邊的三等分點A3，B3，C3，得到第二個陰影三角形A3B2B3；繼續(xù)依此方法，直到得到圖中的螺旋形圖案，則A3B2＝　??；圖中螺旋形圖案的面積為 　?。?br />
【分析】根據余弦定理得到等邊三角形邊長為等比數(shù)列，即可得A3B2的長度，再根據三角形的面積公式，求出各個陰影三角形面積成等比數(shù)列，能求出結果．
【解答】解：設正三角形ABC的邊長為a1，后續(xù)各正三角形的邊長依次為a2，a3，???，an，
設第一個陰影三角形面積為S1，后續(xù)陰影三角形面積為S2，S3，???，Sn，
由題意知a1＝3，an＝＝an﹣1，
∴，∴{an}是以3為首項，為公比的等比數(shù)列，
∴an＝3×（）n﹣1＝（）n﹣3，∴A3B2＝＝，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵，∴{Sn}是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
∴圖中陰影部分面積為：
S＝＝．
故答案為：；．
【點評】本題考查螺旋形圖案的面積的求法，考查等比數(shù)列的性質、簡單的歸納推理等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16．（13分）如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點M是BC的中點．
（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BM；
（Ⅱ）求二面角B﹣A1M﹣C1的大小；
（Ⅲ）求點A到平面A1MC1的距離．

【分析】（Ⅰ）根據線面垂直判定定理進行證明；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，將二面角的問題轉為向量的夾角問題求解；
（Ⅲ）利用距離公式計算即可．
【解答】證明：（I）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，
因為BC⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B，
所以BC⊥AB1，即BM⊥AB1．
因為四邊形AA1B1B是正方形，
所以A1B⊥AB1．
因為A1B∩BM＝B，A1B，BM?平面A1BM，
所以AB1⊥平面A1BM．
解：（II）如圖，建立空間直角坐標系D﹣xyz，則A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），A1（2，0，2），M（1，2，0），C1（0，2，2），

所以，
由（I）知，平面A1BM的一個法向量為，
設平面A1MC1的一個法向量為，
則所以x＝y(tǒng)，x＝2z，
令x＝2，則y＝2，z＝1，所以，
所以．
由圖可知，二面角B﹣A1M﹣C1為鈍角，
所以二面角B﹣A1M﹣C1的大小為135°；
（III）設點A到平面A1MC1的距離，
則．
所以點A到平面A1MC1的距離為．
【點評】本題考查了線面垂直的證明，二面角的求解以及點到平面的距離問題，屬于基礎題．
17．（13分）已知函數(shù)，且f（x）的最小正周期為π，再從條件①、條件②、條件③中選擇兩個作為一組已知條件．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）設，若g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為2，求m的最小值．
條件①：f（x）的最小值為﹣2；
條件②：f（x）的圖象經過點；
條件③；直線是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸．
【分析】（Ⅰ）先根據已知求出f（x）的最小正周期，即可求解ω，再根據所選條件，利用正弦函數(shù)的性質求解A和φ的值，從而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的圖象與性質可得關于m的不等式，即可求解．
【解答】解：由題意知T＝π，ω＝2，
（I）選條件①②：∵f（x）的最小值為﹣2；∴A＝2，則f（x）＝2sin（2x+φ），
∵f（x）的圖象經過點，得f（）＝2sin（2×+φ）＝，∴sinφ＝﹣，
∵|φ|＜，∴∵φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（2x﹣），
選條件①③：∵f（x）的最小值為﹣2；∴A＝2，則f（x）＝2sin（2x+φ），
∵直線是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸．
∴2×+φ＝+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，∴∵φ＝﹣，∴f（x）＝2sin（2x﹣），
選條件②③：∵直線是函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸．
∴2×+φ＝+kπ，k∈Z，即φ＝﹣+kπ，k∈Z，
∵|φ|＜，∴∵φ＝﹣，∴f（x）＝Asin（2x﹣），
∵f（x）的圖象經過點，得f（）＝Asin（2×﹣）＝，∴A＝2，
∴f（x）＝2sin（2x﹣），
（II）＝2sin（2x﹣）+2cos2x＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），
由x∈[0，m]，2x+∈[，2m+]，
若g（x）在區(qū)間[0，m]上的最大值為2，則2m+≥，∴m≥，
∴m的最小值為．
【點評】本題主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象與性質，考查運算求解能力，屬于中檔題．
18．（14分）某產業(yè)園生產的一種產品的成本為50元/件．銷售單價依產品的等級來確定，其中優(yōu)等品、一等品、二等品、普通品的銷售單價分別為80元、75元、65元、60元．為了解各等級產品的比例，檢測員從流水線上隨機抽取200件產品進行等級檢測，檢測結果如表所示．
產品等級
優(yōu)等品
一等品
二等品
普通品
樣本數(shù)量（件）
30
50
60
60
（Ⅰ）若從流水線上隨機抽取一件產品，估計該產品為優(yōu)等品的概率；
（Ⅱ）從該流水線上隨機抽取3件產品，記其中單件產品利潤大于20元的件數(shù)為X，用頻率估計概率，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅲ）為拓寬市場，產業(yè)園決定對抽取的200件樣本產品進行讓利銷售，每件產品的銷售價格均降低了5元．設降價前后這200件樣本產品的利潤的方差分別為s12，s22，比較s12，s22的大?。ㄕ堉苯訉懗鼋Y論）
【分析】（Ⅰ）求樣本空間中隨機抽取一件產品為優(yōu)等品的頻率作為概率即可；
（Ⅱ）由題意得X～B（3，0.4），從而求分布列及數(shù)學期望；
（Ⅲ）由方差的常用結論可判斷s12＝s22．
【解答】解：（Ⅰ）在樣本空間中，
隨機抽取一件產品為優(yōu)等品的頻率為＝15%，
故若從流水線上隨機抽取一件產品，
估計該產品為優(yōu)等品的概率為15%；
（Ⅱ）由題意得，
樣本空間中單件產品利潤大于20元的頻率為＝0.4，
故X～B（3，0.4），
P（X＝0）＝C?0.40×0.63＝0.216，
P（X＝1）＝C?0.41×0.62＝0.432，
P（X＝2）＝C?0.42×0.61＝0.288，
P（X＝3）＝C?0.43×0.60＝0.064，
故X的分布列為
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E（X）＝3×0.4＝1.2；
（Ⅲ）∵每件產品的銷售價格均降低了5元，
∴產品的平均銷售價格也降低了5元，
故由方差的定義知，
降價前后這200件樣本產品的利潤的方差不變，
即s12＝s22．
【點評】本題考查了二項分布的應用，屬于中檔題．
19．（15分）已知橢圓的離心率為，上下頂點分別為A，B，且|AB|＝4．過點（0，1）的直線與橢圓C相交于不同的兩點M，N（不與點A，B重合）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線AM與直線y＝4相交于點P，求證：B，P，N三點共線．
【分析】（Ⅰ）由題意得到關于a，b，c方程組，求解方程組即可確定橢圓方程．
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結合韋達定理即可證得三點共線．
【解答】（Ⅰ）解：根據題意，解得，a2＝8，b2＝4．
所以橢圓C的方程為：．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，A（0，2），B（0，﹣2）．
根據題意，直線MN的斜率一定存在，設直線MN的方程為y＝kx+1．
由得2k2+1）x2+4kx﹣6＝0．
根據題意，Δ＞0恒成立，設M（x1，y1），N（x2，y2）．
則．
直線AM的方程為，
令y＝4，得，所以．
因為B（0，﹣2），N（x2，y2），
則直線BN，BP的斜率分別為，
．
x1（y2+2）﹣3x2（y1﹣2）＝x1（kx2+3）﹣3x2（kx1﹣1）
＝﹣2kx1x2+3（x1+x2）
＝
＝0．
所以kBN＝kBP，
所以B，P，N三點共線．
【點評】本題主要考查橢圓方程的求解，直線與圓錐曲線的位置關系，韋達定理及其應用等知識，屬于中等題．
20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣bx+b，．
（Ⅰ）若曲線y＝f（x）與曲線y＝g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）無零點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當a＝b時，函數(shù)F（x）＝f（x）+g（x）在x＝1處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）根據導數(shù)的幾何意義列出方程組求解即可；
（Ⅱ）整理，設h（x）＝ex﹣ax（x＞0），通過研究h（x）的單調性進而可確定g（x）的零點，從而得到g（x）無零點時a的取值范圍，注意分情況討論；
（Ⅲ）a＝b時，，求導可得，結合（Ⅱ）中所求，分a≤1，1＜a≤e，a＞e三種情況求解即可．
【解答】解：（I）因為函數(shù)，
所以，
因為曲線y＝f（x）與曲線y＝g（x）在它們的交點（1，c）處具有公共切線，
所以f′（1）＝g′（1），f（1）＝g（1），
解得a﹣b＝0，e﹣a＝0，即a＝e，b＝e；
（II）由題意，，
設h（x）＝ex﹣ax（x＞0），h′（x）＝ex﹣a．
（1）當a≤0時，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上單調遞增，且h（x）＞h（0）＝1，
所以g（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上無零點，
當a＞0時，令h′（x）＝ex﹣a＝0，得x＝lna，
（2）當0＜a≤1，即lna≤0時，h′（x）＞0，h（x）在（0，+∞）上單調遞增，且h（x）＞h（0）＝1，
所以g（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上無零點，
當a＞1時，lna＞0，
h（x），h′（x）符號變化如下，
x
（0，lna）
lna
（lna，+∞）
h′（x）
﹣
0
+
h（x）
↘
極小值
↗
所以h（x）min＝h（x）極植＝h（lna）＝a（1﹣lna），
當1﹣lna＞0，即1＜a＜e時，h（x）＞0，
所以g（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上無零點．
當1﹣lna≤0，即a≥e時，由h（0）＝1＞0，h（lna）≤0，所以h（x）至少存在一個零點x0∈（0，lna]，
所以g（x）至少存在一個零點，
綜上，若g（x）無零點，實數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，e）；
（Ⅲ）當a＝b時，，定義域為（0，+∞）．
，
由（II）可知，
當a≤1時，h（x）＝ex﹣ax＞1，
當1＜a≤e時，h（x）min＝a（1﹣lna）≥0，
所以當a≤e時，h（x）＝ex﹣ax≥0在（0，+∞）上恒成立，
此時，當0＜x＜1時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減；
當x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調遞增，
所以F（x）在x＝1處取得極小值，
當a＞e時，lna＞1，
當1＜x＜lna時，x﹣1＞0，h（x）＜h（1）＝e﹣a＜0，
所以F′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減，
此時x＝1不是極小值點．即a＞e時，不合題意，
綜上，滿足條件的a的取值范圍為（﹣∞，e]．
【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點問題和極值點問題，屬于難題．
21．（15分）已知數(shù)列{an}，給出兩個性質：
①對于任意的i∈N*，存在ki∈R，當j＞i，j∈N*時，都有aj﹣ai≥ki（j﹣i）成立；
②對于任意的i∈N*，i≥2，存在ki∈R，當j＜i，j∈N*時，都有aj﹣ai≥ki（j﹣i）成立．
（Ⅰ）已知數(shù)列{an}滿足性質①，且ki＝2（i∈N*），a1＝1，a4＝7，試寫出a2，a3的值；
（Ⅱ）已知數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3×2n﹣1，證明：數(shù)列{bn}滿足性質①；
（Ⅲ）若數(shù)列{cn}滿足性質①②，且當i∈N*，i≥2，時，同時滿足性質①②的ki存在且唯一．證明：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列．
【分析】（I）由性質①，可求出a2≥3且a2≤3，可得a2＝3，同理可得a3的值；
（II）由bn＝3×2n﹣1，驗證性質①，即可證明；
（III）數(shù)列{cn}滿足性質①②，代入驗證，即可得當i≥2時，ci+1﹣ci＝ci﹣ci﹣1，即可證明滿足條件的數(shù)列{cn}是等差數(shù)列．
【解答】解：（I）因為數(shù)列{an}滿足性質①，且a1＝1，a4＝7，所以a2﹣a1≥k1＝2，所以a2≥3，
又因為a4﹣a2≥4，即7﹣a2≥4，所以a2≤3，所以a2＝3，同理可得a3＝5；
（II）證明：因為數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝3×2n﹣1，
所以對于任意的j＞i，i，j∈N*，令m＝j﹣i，則m∈N*，
＝＝＝3×2i﹣1×，
又2m﹣1＝＝1+2+?+2m﹣1，則2m﹣1≥m，≥1，
又2i﹣1≥1，所以3×2i﹣1×≥3，
即對于任意的j＞i，≥3，
所以數(shù)列{bn}滿足性質①；
（III）證明：由題意，數(shù)列{cn}滿足性質①②，且當i∈N*，i≥2時，同時滿足性質①②的ki存在．
即對于任意的i≥2，存在ki∈R，當j≠i時，都有cj﹣ci≥ki（j﹣i）成立，
所以，當i≥2時，ci+1﹣ci≥ki，ci﹣1﹣ci≥﹣ki，即ci+1﹣ci≥ki≥ci﹣ci﹣1，
對于任意的j＞i，有＝≥ci+1﹣ci，
對于任意的j＜i，有≤ki，
＝≤ci﹣ci﹣1，
又當i≥2時，ci+1﹣ci＝ci﹣ci﹣1，
所以滿足條件的數(shù)列{cn}是等差數(shù)列．
【點評】本題考查數(shù)列的應用，通過新的數(shù)列的定義，聯(lián)系所學的知識和方法，以及知識的遷移，屬中檔題．
聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布日期：2023/5/15 15:50:27；用戶：高中數(shù)學01；郵箱：pdsw9@xyh.com；學號：21616314

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