中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān) 回歸教材重難點(diǎn)07 幾何最值問題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?中考數(shù)學(xué)第三輪復(fù)習(xí)策略
第三輪復(fù)習(xí)的形式是模擬中考的綜合拉練，查漏補(bǔ)缺，這好比是一個(gè)建筑工程的驗(yàn)收階段，考前練兵。
1、同學(xué)們應(yīng)當(dāng)注重研究歷年的中考題，訓(xùn)練答題技巧、考場心態(tài)、臨場發(fā)揮的能力等。2、第三輪復(fù)習(xí)應(yīng)該注意的幾個(gè)問題：
（1）模擬題必須要有模擬的特點(diǎn)。時(shí)間的安排，題量的多少，低、中、高檔題的比例，總體難度的控制等要貼近中考題。
（2）模擬題的難度應(yīng)當(dāng)立足中考又要高于中考。
（3）詳細(xì)統(tǒng)計(jì)模擬測試失分情況。
（4）對錯(cuò)題進(jìn)行糾錯(cuò)和消化，與之相關(guān)的基礎(chǔ)知識要再記憶再鞏固。
（5）適當(dāng)?shù)摹敖夥拧?，但?yīng)保持適度緊張的精神狀態(tài)。實(shí)踐證明，適度緊張是正?；蛘叱０l(fā)揮的最佳狀態(tài)。
（6）調(diào)節(jié)生物鐘。盡量把學(xué)習(xí)、思考的時(shí)間調(diào)整得與中考答卷時(shí)間相吻合。

回歸教材重難點(diǎn)07 幾何最值問題

幾何最值問題是初中幾何章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，考查的范圍比較廣，把幾何圖形性質(zhì)與平移、翻折等圖形變換結(jié)合起來。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以壓軸題形式出現(xiàn)。通過熟練的幾何模型的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。
本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為選填題的壓軸題。

1.將軍飲馬模型；
2.瓜豆模型；
3.隱圓模型

1．（2021·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，AD＝，點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)．以DP為折痕將△DAP翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'．連結(jié)AA'，AA' 交PD于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為線段BC上一點(diǎn)，連結(jié)AQ，MQ，則AQ＋MQ的最小值是________

【答案】
【分析】如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)T，取AD的中點(diǎn)R，連接BT，QT，RT，RM．想辦法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根據(jù)QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)T，取AD的中點(diǎn)R，連接BT，QT，RT，RM．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，
∴RT＝，
∵A，A′關(guān)于DP對稱，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，
∵M(jìn)T≥RT?RM，∴MT≥4，
∴MT的最小值為4，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，
∴QA＋QM≥4，
∴QA＋QM的最小值為4．
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是求出MT的最小值，屬于中考?？碱}型．
2．（2021·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且，按以下步驟操作：第一步，沿直線翻折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在對角線上，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為，則線段的長為_______；第二步，分別在上取點(diǎn)M，N，沿直線繼續(xù)翻折，使點(diǎn)F與點(diǎn)E重合，則線段的長為_______．

【答案】???? 1????
【分析】第一步：設(shè)EF與AA’交于點(diǎn)O，連接AF，易證明△AOE△ADC，利用對應(yīng)邊成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，從而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由對應(yīng)邊成比例可得AE、FC的關(guān)系式，設(shè)BF=x，則FC=8-x，由關(guān)系式可求得x的值；
第二步：連接NE，NF，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到NF=NE，設(shè)B’N=m，分別在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出結(jié)果．
【詳解】如圖所示，連接AF，

設(shè)EF與AA’交于點(diǎn)O，由折疊的性質(zhì)得到AA’⊥EF，
∵四邊形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC
∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴ ，∴OA=2OE，
在直角△AOE中，由勾股定理得：，∴OE=，∴OA=，
在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ，∴OC=，
令BF=x，則FC=8-x，
∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴ ，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3解得：,∴的長為1．
連接NE，NF，如圖，

根據(jù)折疊性質(zhì)得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，
設(shè)B’N=m，則，解得：m=3，則NF= ，
∵EF=，∴MF=，
∴MN=，
故答案為：1，．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，熟練運(yùn)用這些知識是解決本題的關(guān)鍵，本題還涉及到方程的運(yùn)用．
3．（2021·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，已知正方形的邊長為6，點(diǎn)F是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)E是邊上一動點(diǎn)，連接，則長度的最小值為___________．

【答案】-3
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，點(diǎn)F在以DC為直徑的半圓上移動，，如圖，設(shè)CD的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AD對稱的正方形APGD，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是P，連接PO交AD于E，交半圓O于F，則線段FP的長即為BE＋FE的長度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵，∴∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠DFC＝90°，∴點(diǎn)F在以DC為直徑的半圓上移動，
如圖，設(shè)CD的中點(diǎn)為O，作正方形ABCD關(guān)于直線AD對稱的正方形APGD，則點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是P，
連接PO交AD于E，交半圓O于F，則線段FP的長即為BE＋FE的長度最小值，OF＝3，
∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OP＝，∴FP＝-3，
∴BE＋FE的長度最小值為-3，
故答案為：-3．

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及圓的基本性質(zhì)．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．
4．（2021·山東聊城·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B（﹣4，6），D（0，4），線段EF在邊OA上移動，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為__________．

【答案】
【分析】先得出D點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為H（0，-4），再通過轉(zhuǎn)化，將求四邊形BDEF的周長的最小值轉(zhuǎn)化為求FG+BF的最小值，再利用兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)F、G、B三點(diǎn)共線時(shí)FG+BF的值最小，用待定系數(shù)法求出直線BG的解析式后，令y=0，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，最后得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【詳解】解：如圖所示，∵D（0，4），∴D點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為H（0，-4），∴ED=EH，
將點(diǎn)H向左平移3個(gè)單位，得到點(diǎn)G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴EH=FG，∴FG =ED，∵B（-4，6），∴BD=，
又∵EF＝3，∴四邊形BDEF的周長=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四邊形BDEF的周長最小，則應(yīng)使FG+BF的值最小，而當(dāng)F、G、B三點(diǎn)共線時(shí)FG+BF的值最小，
設(shè)直線BG的解析式為：
∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，
當(dāng)y=0時(shí)，，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了軸對稱的性質(zhì)、最短路徑問題、平移的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識，解決問題的關(guān)鍵是“轉(zhuǎn)化”，即將不同的線段之間通過轉(zhuǎn)化建立相等關(guān)系，將求四邊形的周長的最小值問題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線和最短的問題等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化的思想方法等．
5．（2021·廣東·中考真題）在中，．點(diǎn)D為平面上一個(gè)動點(diǎn)，，則線段長度的最小值為_____．
【答案】
【分析】由已知，，根據(jù)定角定弦，可作出輔助圓，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半可知，點(diǎn)在以為圓心為半徑的圓上，線段長度的最小值為．
【詳解】如圖：以為半徑作圓，過圓心作，
以為圓心為半徑作圓，則點(diǎn)在圓上，
，，
,，

，線段長度的最小值為: ．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，圓外一點(diǎn)到圓上的線段最短距離，勾股定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
6．（2021·河南周口·三模）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上移動，AF＝BE，AE和DF交于點(diǎn)P，點(diǎn)M為邊AB上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一動點(diǎn)，CN＝1，則NM+MP的最小值是 ___．

【答案】2-3
【分析】首先證明∠APD=90°，推出點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上運(yùn)動，設(shè)圓心為T，作點(diǎn)T關(guān)于AB的對稱點(diǎn)R，以R為圓心，AR為半徑作⊙R，則點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)L，在⊙R上，連接CR，RL，ML．根據(jù)RL+ML+MN+NC≥CR，MP=ML，求出CR，可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠DAF=90°，AD=AB，
在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠BAE=∠ADF，
∵∠BAE+∠DAP=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，
∴點(diǎn)P在以AD為直徑的圓上運(yùn)動，設(shè)圓心為T，作點(diǎn)T關(guān)于AB的對稱點(diǎn)R，以R為圓心，AR為半徑作⊙R，則點(diǎn)P關(guān)于AB的對稱點(diǎn)L，在⊙R上，連接CR，RL，ML．
∵CN=1，∴點(diǎn)N在以C為圓心，半徑為1的⊙C上運(yùn)動，
在Rt△CDR中，CR===2，
∵RL+ML+MN+NC≥CR，MP=ML，∴PM+MN≥2-2-1，
∴PM+MN≥2-3，
∴PM+MN的最小值為2-3．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱最短問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，軌跡等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短，屬于中考填空題中的壓軸題．
7．（2021·河南鄭州·一模）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是AB邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連接PD，過點(diǎn)B作BM⊥PD交DP的延長線于點(diǎn)M，連接AM，過點(diǎn)A作AN⊥AM交PD于點(diǎn)N，連接BN，CN，則△BNC面積的最小值為________．

【答案】
【分析】點(diǎn)N在正方形內(nèi)部，所以S△AND+S△BNC＝S正方形ABCD＝，由BM⊥PD可得點(diǎn)M在以BD中點(diǎn)為圓心，BD長為半徑的圓上，先證明△AMB與△ADN全等，然后求△ABM最大面積即可求出△BNC的最小面積．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，???∴AD＝AB，∠BAD＝∠BAN+∠NAD＝90°，
∵∠MAB+∠BAN＝∠MAN＝90°，∴∠MAB＝∠NAD，
∵∠BMP+∠BPM+∠MBP＝∠PAD+∠PDA+∠APD＝180°，
∠MPB＝∠APD，∠BMP＝∠DAP＝90°，∴∠MBP＝∠ADP，
在△AMB和△AND中，，∴△AMB≌△AND（ASA）．∴S△AMB＝S△AND，
∵S△AND+S△BNC＝S正方形ABCD＝，∴當(dāng)S△AMB面積最大時(shí)，S△BNC面積最小，
∵∠BMD＝90°，∴點(diǎn)M在以BD中點(diǎn)為圓心，BD長為半徑的圓上，
當(dāng)△ABM面積最大時(shí)，OM⊥AB，如圖，

∵點(diǎn)O為BD中點(diǎn)，OM∥AD，∴OK＝AD＝2，
∵BD＝BC＝，∴OM＝BD＝，∴MK＝OM﹣OK＝﹣2，∴S△AMB＝AB?MK＝，
∴S△BNC＝8﹣S△AMB＝8﹣（）＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、三角形面積計(jì)算、全等三角形的判定、圓周角定理等知識點(diǎn)，將求△BNC的最小面積轉(zhuǎn)化為求△ABM最大面積并找出M點(diǎn)運(yùn)動軌跡是解題關(guān)鍵．
8．（2021·河南·三模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的動點(diǎn)，且EF＝6，點(diǎn)G，M分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，連接BM，DG交于點(diǎn)O．將△EFA沿EF折疊得到△EFA'，點(diǎn)H是邊EF上一動點(diǎn)，連接A'H，HO，OA'．當(dāng)A'H+HO的值最小時(shí)，OA'的長為 __________________．

【答案】
【分析】連接AH、AO，由折疊的性質(zhì)，點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于直線EF對稱，則可得當(dāng)A、H、O三點(diǎn)共線時(shí)，A'H+HO的值最小，連接OC、AH，過點(diǎn)O作NO⊥BC于點(diǎn)N，可知四邊形AFA'E是正方形，∠ACB＝45°，設(shè)CN＝x，則ON＝CN＝x，BN＝8﹣x，可證明△BON∽△BMC，可求出CN＝，CO＝，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝8，所以A'O＝AC﹣AA'﹣OC＝．
【詳解】解：連接AH、AO，如圖，

由折疊的性質(zhì)，點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，
三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，
連接OC、AH，過點(diǎn)O作NO⊥BC于點(diǎn)N，如圖2，

四邊形是正方形，，三點(diǎn)共線，
是中點(diǎn)，
設(shè)CN＝x，則ON＝CN＝x，BN＝8﹣x，
，，即，，

在中，由勾股定理得，

故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
9．（2021·四川綿陽·一模）等邊△ABC的邊長為6，P是AB上一點(diǎn)，AP＝2，把AP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，P點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為P′，連接BP′，BP′的中點(diǎn)為Q，連接CQ．則CQ長度的最小值是_____．

【答案】
【分析】取AB中點(diǎn)D，連接DQ，CD，AP'，利用等邊三角形求出CD＝,根據(jù)三角形中位線定理得到DQ＝1，利用三角形三邊關(guān)系得出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，取AB中點(diǎn)D，連接DQ，CD，AP'，

∵AP＝2，把AP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，∴AP'＝2，
∵等邊△ABC的邊長為6，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，∴BD＝AD＝3，CD⊥AB，∴CD＝，
∵點(diǎn)Q是BP'是中點(diǎn)，∴BQ＝QP'，
又∵AD＝BD，∴DQ＝AP'＝1，
在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，∴CQ的最小值為3﹣1，故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑、中位線、等邊三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是已知中點(diǎn)的常見思路：等腰三角形中構(gòu)造三線合一，一般三角形中構(gòu)造中位線．
10．（2021·福建·廈門五緣實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y（k＞0）的圖象與半徑為5的⊙O交于M、N兩點(diǎn)，△MON的面積為3.5，若動點(diǎn)P在x軸上，則PM+PN的最小值是______．

【答案】
【詳解】設(shè)點(diǎn)M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac，同理：bd，即可得出ac﹣bc＝0，最后用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，

設(shè)點(diǎn)M（a，b），N（c，d），∴ab＝k，cd＝k，
∵點(diǎn)M，N在⊙O上，∴a2+b2＝c2+d2＝25，
作出點(diǎn)N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N'（c，﹣d），∴MN'即為PM+PN的最小值
∴S△OMNk（b+d）（a﹣c）k＝3.5，∴ad﹣ bc＝7，∴7，∴ac，
同理：bd，∴ac﹣bc[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，
∵M(jìn)（a，b），N'（c，﹣d），
∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，∴MN'＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式，判斷出ac-bd=0是解本題的關(guān)鍵．
11．（2021·廣東·雷州市第八中學(xué)一模）如圖，把矩形ABCD沿EF對折，使B與D重合，折痕EF交BD于G，連AG，若tan∠AGE＝，BF＝8，P為DG上一個(gè)動點(diǎn)，則PF+PC的最小值為_____．

【答案】10
【分析】如圖，連接BE，CE，PE，取BE的中點(diǎn)O，連接OA，OG．首先證明△EGD≌△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再證明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想辦法求出EC即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接BE，CE，PE，取BE的中點(diǎn)O，連接OA，OG．

由題意，EF垂直平分線段BD，∴EB=ED，BG=GD，
∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDG=∠FBG，
∵∠EGD=∠FGB，∴△EGD≌△FGB（ASA），∴BF=DE=8，EG=FG，
∵DB⊥EF，∴PE=PF，∴PF+PC=PE+PC≥EC，
∵∠BAE=∠BGE=90°，OB=OE，∴OA=OB=OE=OG，
∴A，B，G，E四點(diǎn)共圓，∴∠ABE=∠AGE，∴tan∠ABE=tan∠AGE==，
設(shè)AE=k，AB=3k，
∵AB2+AE2=BE2，BE=DE=8，∴（k）2+（3k）2=82，∴k=2，∴AB=CD=6，
∵∠EDC=90°，∴EC==10，∴PF+PC≥10，∴PF+PC的最小值為10．
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，四點(diǎn)共圓等知識，本題綜合性比較強(qiáng)．
12．（2022·上?！ひ荒＃┤鐖D，在中，，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，，直線，相交于點(diǎn)，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值為__________．

【答案】
【分析】取AB的中點(diǎn)H，連接CH、FH，設(shè)EC，DF交于點(diǎn)G，在△ABC中，由勾股定理得到AB=，由旋轉(zhuǎn)可知：△DCE≌△ACB，從而∠DCA=∠BCE，∠ADC=∠BEC，由∠DGC=∠EGF，可得∠AFB=90o，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得FH=CH=AB=，在△FCH中，當(dāng)F、C、H在一條直線上時(shí)，CF有最大值為.
【詳解】取AB的中點(diǎn)H，連接CH、FH，設(shè)EC，DF交于點(diǎn)G，

在△ABC中，∠ACB=90o，
∵AC=，BC=2，
∴AB=，
由旋轉(zhuǎn)可知：△DCE≌△ACB，
∴∠DCE=∠ACB，DC=AC，CE=CB，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠ADC=(180o-∠ACD) ，∠BEC= (180o-∠BCE)，∴∠ADC=∠BEC，
∵∠DGC=∠EGF，∴∠DCG=∠EFG=90o，∴∠AFB=90o，
∵H是AB的中點(diǎn)，∴FH=AB，
∵∠ACB=90o，
∴CH=AB，
∴FH=CH=AB=，
在△FCH中，F(xiàn)H+CH>CF，
當(dāng)F、C、H在一條直線上時(shí)，CF有最大值，
∴線段CF的最大值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等的性質(zhì).
13．（2022·重慶·一模）如圖，已知，外心為，，，分別以，為腰向形外作等腰直角三角形與，連接，交于點(diǎn)，則的最小值是______．

【答案】
【分析】由與是等腰直角三角形，得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得在以為直徑的圓上，由的外心為，，得到，如圖，當(dāng)時(shí)，的值最小，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】解：與是等腰直角三角形，，，
在與中，，≌，，，
，在以為直徑的圓上，
的外心為，，，
如圖，當(dāng)時(shí)，的值最小，
，，，
，，．則的最小值是，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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