2020-2021學(xué)年河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷(1)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．B．C．D．
2．（3分）已知x＞y，則下列不等式不成立的是（）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣3x＜﹣3yD．﹣3x+2＞﹣3y+2
3．（3分）下列選項(xiàng)中a，b的取值，可以說(shuō)明“若a＞b，則|a|＞|b|”是假命題的反例為（）
A．a(chǎn)＝﹣5 b＝﹣6B．a(chǎn)＝6 b＝5C．a(chǎn)＝﹣6 b＝5D．a(chǎn)＝6 b＝﹣5
4．（3分）下列因式分解正確的是（）
A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2
5．（3分）下列用數(shù)軸表示不等式組的解集正確的是（）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE，若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，則∠ADE的大小為（）
A．60°B．50°C．45°D．40°
7．（3分）如圖，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D為BC邊上的點(diǎn)，AD＝AC，BD＝2，則DC＝（）
A．0.5B．1C．1.5D．2
8．（3分）如圖，函數(shù)y＝kx﹣2b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），則關(guān)于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
9．（3分）若多項(xiàng)式5x2+17x﹣12可因式分解為（x+a）（bx+c），其中a、b、c均為整數(shù)，則a﹣c的值是（）
A．1B．7C．11D．13
10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），將AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AC1，AC1交BC于點(diǎn)H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，則點(diǎn)B到線段AD的距離為（）
A．2B．C．4D．3
二、填空題（每題3分，共15分）
11．（3分）如圖，△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，連接AE，若AC＝2cm，BC＝5cm，則△AEC的周長(zhǎng)是 cm．
12．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（3，﹣2）向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，那么平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A'的坐標(biāo)是．
13．（3分）關(guān)于x的不等式組的解集在數(shù)軸上如圖表示，則a的值為．
14．（3分）若a2+a﹣1＝0，則a4+a3﹣2a2﹣a+2021的值為．
15．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接CQ，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CQ的最小值為．
三.解答颶（共55分）
16．（5分）求當(dāng)x為何值時(shí)，代數(shù)式的值不小于代數(shù)式4x+1的值？在數(shù)軸上表示其解集，并求出滿足條件的最大整數(shù)x的值．
17．（7分）如圖，三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過(guò)某種平移得到的，點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B'，點(diǎn)C與點(diǎn)C′分別對(duì)應(yīng)，且這六個(gè)點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)B'的坐標(biāo)，并說(shuō)明三角形A′B′C'是由三角形ABC經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的．
（2）連接BC'，直接寫(xiě)出∠CBC′與∠B′C′O之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若點(diǎn)M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N（2a﹣7，4﹣b）．求a和b的值．
18．（8分）直線y1＝﹣x+3和直線y2＝kx﹣2分別交y軸于點(diǎn)A，B，兩直線交于點(diǎn)C（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）求△ABC的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)y1＞y2時(shí)，自變量x的取值范圍．
19．（8分）對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+6a+9，可以用公式法將它分解成（a+3）2的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+6a+8，就不能直接應(yīng)用完全平方式了，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)9，使其成為完全平方式，再減去9這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值保持不變，于是有：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）
請(qǐng)仿照上面的做法，將下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2+2ax﹣3a2．
20．（8分）求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半．根據(jù)條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言補(bǔ)充寫(xiě)出“已知”和“求證”．
已知：在△ABC中，∠A為銳角，AB＝AC，．
求證：．
證明：．
21．（8分）某班對(duì)期中考試進(jìn)步的同學(xué)進(jìn)行表彰，若購(gòu)買(mǎi)百樂(lè)筆15支，晨光筆20支，需花費(fèi)250元；若購(gòu)買(mǎi)百樂(lè)筆10支，晨光筆25支，需花費(fèi)225元．
（1）求百樂(lè)筆、晨光筆的單價(jià)；
（2）如果再次購(gòu)買(mǎi)百樂(lè)筆、晨光筆共35支，并且購(gòu)買(mǎi)兩種筆的總費(fèi)用不超過(guò)300元，求至多購(gòu)買(mǎi)多少支百樂(lè)筆？
22．（11分）綜合與實(shí)踐﹣﹣探究特殊三角形中的相關(guān)問(wèn)題
問(wèn)題情境：
某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2，AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P．
（1）初步探究：
勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝時(shí)，△AMC是等腰三角形；
（2）深入探究：
敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請(qǐng)幫他們證明；
（3）再探究：
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝30°時(shí)，求△ABC與△AFE重疊的面積；
（4）拓展延伸：
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由．
2020-2021學(xué)年河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（每題3分，共30分）
1．（3分）下列圖案中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形與中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
B、既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意；
C、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念：軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分沿對(duì)稱(chēng)軸折疊后可重合；中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．（3分）已知x＞y，則下列不等式不成立的是（）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣3x＜﹣3yD．﹣3x+2＞﹣3y+2
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，
∴選項(xiàng)A不符合題意；
∵x＞y，
∴2x＞2y，
∴選項(xiàng)B不符合題意；
∵x＞y，
∴﹣3x＜﹣3y，
∴﹣3x+6＜﹣3y+6，
∴選項(xiàng)C不符合題意；
∵﹣3x＜﹣3y，
∴﹣3x﹣2＜﹣3y﹣2，
∴選項(xiàng)D符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；（3）不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變．
3．（3分）下列選項(xiàng)中a，b的取值，可以說(shuō)明“若a＞b，則|a|＞|b|”是假命題的反例為（）
A．a(chǎn)＝﹣5 b＝﹣6B．a(chǎn)＝6 b＝5C．a(chǎn)＝﹣6 b＝5D．a(chǎn)＝6 b＝﹣5
【分析】根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則、絕對(duì)值的性質(zhì)判斷即可．
【解答】解：當(dāng)a＝﹣5，b＝﹣6時(shí)，a＞b，但|a|＜|b|，
∴“若a＞b，則|a|＞|b|”是假命題，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．
4．（3分）下列因式分解正確的是（）
A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）B．﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y）
C．x2﹣2xy+4y2＝（x﹣2y）2D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2
【分析】直接利用提取公因式以及公式法分解因式得出答案．
【解答】解：A、2x2﹣2＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），無(wú)法分解因式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、x2﹣2xy+4y2，無(wú)法直接利用公式法分解因式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，故此選項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
5．（3分）下列用數(shù)軸表示不等式組的解集正確的是（）
A．
B．
C．
D．
【分析】選項(xiàng)A根據(jù)“同大取大”判斷即可；
選項(xiàng)B根據(jù)“同小取小”判斷即可；
選項(xiàng)C根據(jù)“大小小大中間找”，包含實(shí)心圓點(diǎn)2，不包含空心圓點(diǎn)1；
選項(xiàng)D根據(jù)“大小小大中間找”，包含實(shí)心圓點(diǎn)1，不包含空心圓點(diǎn)2．
【解答】解：A、不等式組的解集為x≥2，故本選項(xiàng)不合題意；
B、不等式組的解集為x＜1，故本選項(xiàng)不合題意；
C、不等式組的解集為1＜x≤2，故本選項(xiàng)符合題意；
D、不等式組的解集為1≤x＜2，故本選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE，若點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，則∠ADE的大小為（）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠B的度數(shù)，進(jìn)而可得∠ADE的大?。?br>【解答】解：如圖，點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：
AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
∴∠ADE＝∠B＝40°．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，已知△ABC，AB＝5，∠ABC＝60°，D為BC邊上的點(diǎn)，AD＝AC，BD＝2，則DC＝（）
A．0.5B．1C．1.5D．2
【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，得到E是CD的中點(diǎn)，在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，求出BE＝，進(jìn)而求出DE＝﹣2＝，即可求CD．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵AD＝AC，
∴E是CD的中點(diǎn)，
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABC＝60°，
∴BE＝，
∵BD＝2，
∴DE＝﹣2＝，
∴CD＝1，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形與直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）如圖，函數(shù)y＝kx﹣2b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，0），則關(guān)于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集是（）
A．x＞3B．x＜3C．x＞4D．x＜4
【分析】觀察函數(shù)圖象得到即可．
【解答】解：由圖象可得：當(dāng)x＜3時(shí)，kx﹣2b＞0，
所以關(guān)于x的不等式kx﹣2b＞0的解集是x＜3，
所以關(guān)于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集為x﹣1＜3，
即：x＜4，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y＝ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
9．（3分）若多項(xiàng)式5x2+17x﹣12可因式分解為（x+a）（bx+c），其中a、b、c均為整數(shù)，則a﹣c的值是（）
A．1B．7C．11D．13
【分析】根據(jù)“十字相乘法”將多項(xiàng)式5x2+17x﹣12進(jìn)行因式分解后，確定a、b、c的值即可．
【解答】解：因?yàn)?x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）＝（x+a）（bx+c），
所以a＝4，b＝5，c＝﹣3，
所以a﹣c＝4﹣（﹣3）＝7，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正確分解因式的前提，確定a、b、c的值是得出正確答案的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），將AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AC1，AC1交BC于點(diǎn)H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，則點(diǎn)B到線段AD的距離為（）
A．2B．C．4D．3
【分析】過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于F，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性質(zhì)可得CE＝BE＝8，∠C＝∠ABC，由勾股定理可求AE的長(zhǎng)，由“SAS”可證△ACD≌△AC1D，可得∠C＝∠C1，可求AB＝DB＝10，由面積法可求解．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AD于F，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，AE⊥BC，
∴CE＝BE＝8，∠C＝∠ABC，
∴AE＝＝＝6，
∵將AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AC1，
∴AC＝AC1，
∵AD平分∠CAC1，
∴∠CAD＝∠C1AD，
在△ACD和△AC1D中，
，
∴△ACD≌△AC1D（SAS），
∴∠C＝∠C1，
∵DC1∥AB，
∴∠C1＝∠HAB，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠DAB＝∠DAC1+∠HAB，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴AB＝DB＝10，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
∴AD＝＝＝2，
∵S△ABD＝×BD×AE＝×AD×BF，
∴10×6＝2×BF，
∴BF＝3，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求出AD的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．
二、填空題（每題3分，共15分）
11．（3分）如圖，△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，連接AE，若AC＝2cm，BC＝5cm，則△AEC的周長(zhǎng)是 7 cm．
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴EA＝EB，
∴△AEC的周長(zhǎng)＝AC+EC+EA＝AC+EC+EB＝AC+BC＝7（cm），
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（3，﹣2）向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，那么平移后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A'的坐標(biāo)是（5，﹣2）．
【分析】根據(jù)平移時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律“左減右加”進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：根據(jù)題意，從點(diǎn)A平移到點(diǎn)A′，點(diǎn)A′的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是3+2＝5，
故點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（5，﹣2）．
故答案為：（5，﹣2）．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)變化和平移之間的聯(lián)系，平移時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律是“上加下減，左減右加”．
13．（3分）關(guān)于x的不等式組的解集在數(shù)軸上如圖表示，則a的值為 3 ．
【分析】根據(jù)數(shù)軸解第二個(gè)方程，利用已知不等式組的解集得出關(guān)于a的等式，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：，
解②得x＜，
由數(shù)軸可知＝3，
解得a＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確得出關(guān)于a的等式是解題關(guān)鍵．
14．（3分）若a2+a﹣1＝0，則a4+a3﹣2a2﹣a+2021的值為 2020 ．
【分析】根據(jù)a2+a﹣1＝0，得到a2+a＝1，然后整體代入求值即可．
【解答】解：∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴原式＝a2（a2+a）﹣2a2﹣a+2021
＝a2﹣2a2﹣a+2021
＝﹣a2﹣a+2021
＝﹣（a2+1）+2021
＝﹣1+2021
＝2020．
故答案為：2020．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，把a(bǔ)2+a＝1整體代入求值是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ，連接CQ，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段CQ的最小值為 4 ．
【分析】將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到Rt△EBD，則此時(shí)E，C，B三點(diǎn)在同一直線上，得出Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段ED，當(dāng)CQ⊥ED時(shí)，CQ的長(zhǎng)度最小，由直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線定理可得出答案．
【解答】解：將Rt△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到Rt△EBD，
則此時(shí)E，C，B三點(diǎn)在同一直線上，
∵∠ABC＝60°，∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠EBQ，
隨著P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，總有AB＝EB，PB＝QB，
∴總有△APB≌△EQB（SAS），即E，Q，D三點(diǎn)在同一直線上，
∴Q的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段ED，
∴當(dāng)CQ⊥ED時(shí)，CQ的長(zhǎng)度最小，
Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝16，
∴BC＝BD＝8，EC＝8，即C為EB的中點(diǎn)，
∵CQ⊥ED，∠D＝90°，
∴CQ∥BD，CQ為△EBD的中位線，
∴CQ＝BD＝4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三.解答颶（共55分）
16．（5分）求當(dāng)x為何值時(shí)，代數(shù)式的值不小于代數(shù)式4x+1的值？在數(shù)軸上表示其解集，并求出滿足條件的最大整數(shù)x的值．
【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式，再根據(jù)解不等式的基本步驟求解可得．
【解答】解：根據(jù)題意，得：≥4x+1，
去分母，得：4x﹣11≥20x+5，
移項(xiàng)、合并，得：﹣16x≥16，
系數(shù)化為1，得：x≤﹣1，
將解集表示在數(shù)軸上如下：
．
則滿足條件的最大整數(shù)為﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．
17．（7分）如圖，三角形A′B′C′是由三角形ABC經(jīng)過(guò)某種平移得到的，點(diǎn)A與點(diǎn)A′，點(diǎn)B與點(diǎn)B'，點(diǎn)C與點(diǎn)C′分別對(duì)應(yīng)，且這六個(gè)點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）分別寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)B'的坐標(biāo)，并說(shuō)明三角形A′B′C'是由三角形ABC經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的．
（2）連接BC'，直接寫(xiě)出∠CBC′與∠B′C′O之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）若點(diǎn)M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N（2a﹣7，4﹣b）．求a和b的值．
【分析】（1）根據(jù)圖形，可以直接寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)B'的坐標(biāo)，然后即可寫(xiě)出三角形A′B′C'是由三角形ABC經(jīng)過(guò)怎樣的平移得到的；
（2）根據(jù)圖形，通過(guò)變換，可以得到∠CBC′與∠B′C′O之間的數(shù)量關(guān)系；
（3）根據(jù)（1）中的結(jié)果和題目中的條件，可以得到a和b的二元一次方程組，從而可以求得a、b的值．
【解答】解：（1）由圖可得，
點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)B'的坐標(biāo)是（﹣1，﹣2），
三角形A′B′C'是由三角形ABC先向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的；
（2）∠CBC′＝90°+∠B′C′O，
理由：由圖可知，
∠CBC′+∠CBD＝180°，∠B′C′O＝∠BCD，
∵∠CBD＝90°﹣∠BCD，
∴∠CBD＝90°﹣∠B′C′O，
∴∠CBC′+（90°﹣∠B′C′O）＝180°，
∴∠CBC′＝90°+∠B′C′O；
（3）由（1）知，三角形A′B′C'是由三角形ABC先向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，
∵點(diǎn)M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，它隨三角形ABC按（1）中方式平移后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)N（2a﹣7，4﹣b），
∴，
解得，
即a和b的值分別為3，4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
18．（8分）直線y1＝﹣x+3和直線y2＝kx﹣2分別交y軸于點(diǎn)A，B，兩直線交于點(diǎn)C（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）求△ABC的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)y1＞y2時(shí)，自變量x的取值范圍．
【分析】（1）先把C（2，m）代入y1＝﹣x+3可求出m的值，從而確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y2＝kx﹣2即可求出k的值；
（2）先確定A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜2時(shí)，直線y1＝﹣x+3都在直線y2＝kx﹣2的上方．
【解答】解：（1）把C（2，m）代入y1＝﹣x+3得m＝﹣2+3＝1，
所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），
把C（2，1）代入y2＝kx﹣2得2k﹣2＝1，解得k＝．
綜上所述，m＝1，k＝．
（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣0+3＝3，則A（0，3）；
當(dāng)x＝0時(shí)，y2＝×0﹣2＝﹣2，則B（0，﹣2），
所以△ABC的面積＝×（3+2）×2＝5；
（3）如圖所示，當(dāng)x＜2時(shí)，y1＞y2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩條直線相交或平行問(wèn)題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么它們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．
19．（8分）對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+6a+9，可以用公式法將它分解成（a+3）2的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式a2+6a+8，就不能直接應(yīng)用完全平方式了，我們可以在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)9，使其成為完全平方式，再減去9這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值保持不變，于是有：
a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）
請(qǐng)仿照上面的做法，將下列各式因式分解：
（1）x2﹣6x﹣16；
（2）x2+2ax﹣3a2．
【分析】根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是兩數(shù)的平方和加上或減去它們乘積的2倍，因此對(duì)一些不完全符合完全平方公式的代數(shù)式，可在保證代數(shù)式不變的情況下通過(guò)加項(xiàng)或減項(xiàng)的方法配成完全平方公式，據(jù)此解答即可．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣16
＝x2﹣6x+9﹣9﹣16
＝（x﹣3）2﹣25
＝（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）
＝（x+2）（x﹣8）；
（2）x2+2ax﹣3a2
＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2
＝（x+a）2﹣（2a）2
＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）
＝（x+3a）（x﹣a）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了公式法因式分解，熟記完全平方公式和平方差公式，并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．因此要牢記完全平方公式和平方差公式的結(jié)構(gòu)特征．
20．（8分）求證：頂角是銳角的等腰三角形腰上的高與底邊夾角等于其頂角的一半．根據(jù)條件和結(jié)論，結(jié)合圖形，用符號(hào)語(yǔ)言補(bǔ)充寫(xiě)出“已知”和“求證”．
已知：在△ABC中，∠A為銳角，AB＝AC， CD⊥AB于D ．
求證： ∠BCD＝∠A ．
證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC ．
【分析】根據(jù)題意寫(xiě)出已知和求證；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，根據(jù)同角的余角相等即可證得∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
【解答】已知：在△ABC中，∠A為銳角，AB＝AC，CD⊥AB于D，
求證：∠BCD＝∠A，
證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
故答案為：CD⊥AB于D，
∠BCD＝∠A，
過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CE＝∠BAC，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE+∠B＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠BAE＝∠BAC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的證明，掌握等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
21．（8分）某班對(duì)期中考試進(jìn)步的同學(xué)進(jìn)行表彰，若購(gòu)買(mǎi)百樂(lè)筆15支，晨光筆20支，需花費(fèi)250元；若購(gòu)買(mǎi)百樂(lè)筆10支，晨光筆25支，需花費(fèi)225元．
（1）求百樂(lè)筆、晨光筆的單價(jià)；
（2）如果再次購(gòu)買(mǎi)百樂(lè)筆、晨光筆共35支，并且購(gòu)買(mǎi)兩種筆的總費(fèi)用不超過(guò)300元，求至多購(gòu)買(mǎi)多少支百樂(lè)筆？
【分析】（1）設(shè)百樂(lè)筆的單價(jià)為x元，晨光筆的單價(jià)為y元，由購(gòu)買(mǎi)百樂(lè)筆15支，晨光筆20支，需花費(fèi)250元；若購(gòu)買(mǎi)百樂(lè)筆10支，晨光筆25支，需花費(fèi)225元，列出方程組計(jì)算即可求解；
（2）設(shè)需要購(gòu)買(mǎi)a支百樂(lè)筆，由總費(fèi)用不超過(guò)300元，列出不等式計(jì)算即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)百樂(lè)筆的單價(jià)為x元，晨光筆的單價(jià)為y元，
由題意可得：，
解得：．
答：百樂(lè)筆的單價(jià)為10元，晨光筆的單價(jià)為5元；
（2）設(shè)需要購(gòu)買(mǎi)a支百樂(lè)筆，
由題意可得：10a+5（35﹣a）≤300，
解得：a≤25．
答：至多需要購(gòu)買(mǎi)25支百樂(lè)筆．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，分別得出等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題關(guān)鍵．
22．（11分）綜合與實(shí)踐﹣﹣探究特殊三角形中的相關(guān)問(wèn)題
問(wèn)題情境：
某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過(guò)程中，將兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如圖1所示位置放置，且Rt△ABC的較短直角邊AB為2，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖2，AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P．
（1）初步探究：
勤思小組的同學(xué)提出：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝ 60°或15° 時(shí)，△AMC是等腰三角形；
（2）深入探究：
敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中．如果連接AP，CE，那么AP所在的直線是線段CE的垂直平分線，請(qǐng)幫他們證明；
（3）再探究：
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝30°時(shí)，求△ABC與△AFE重疊的面積；
（4）拓展延伸：
在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△CPN是否能成為直角三角形？若能，直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)；若不能，說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由題意可知，AB＝AF，∠B＝∠F，∠E＝∠C，AE＝AC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BAM＝∠FAN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM＝AN，PE＝PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)已知條件得到△ABM是直角三角形，求得EM＝，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（4）當(dāng)∠CNP＝90°時(shí)，依據(jù)對(duì)頂角相等可求得∠ANF＝90°，然后依據(jù)∠F＝60°可求得∠FAN的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的定義可求得∠α的度數(shù)；當(dāng)∠CPN＝90°時(shí)．由∠C＝30°，∠CPN＝90°，可求得∠CNP的度數(shù)，然后依據(jù)對(duì)頂角相等可得到∠ANF的度數(shù)，然后由∠F＝60°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠FAN的度數(shù)，于是可得到∠α的度數(shù)．
【解答】解：（1）當(dāng)AM＝CM，即∠CAM＝∠C＝30°時(shí)，△AMC是等腰三角形；
∵∠BAC＝90°，
∴α＝90°﹣30°＝60°，
當(dāng)AM＝CM，即∠CAM＝∠CMA時(shí)，△AMC是等腰三角形，
∵∠C＝30°，
∴∠CAM＝∠AMC＝75°，
∵∠BAC＝90°，
∴α＝15°，
綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝60°或15°時(shí)，△AMC是等腰三角形，
故答案為：60°或15°；
（2）由題意可知，AB＝AF，∠B＝∠F，∠E＝∠C，AE＝AC，
∵現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），
∴∠BAM＝∠FAN，
在△ABM與△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN，
∵AE＝AC，
∴EM＝CN，
∵∠E＝∠C，∠MPE＝∠NPC，
∴△MPE≌△NPC（AAS），
∴PE＝PC，
∴點(diǎn)P在CE的垂直平分線上，
∵AE＝AC，
∴點(diǎn)A在CE的垂直平分線上，
∴AP所在的直線是線段CE的垂直平分線；
（3）∵α＝30°，∠B＝60°，
∴∠AMB＝90°，
∴△ABM是直角三角形，
∵AB＝2，
∴BM＝AB?sin30°＝1，AM＝AB?cs30°＝，
∴S△ABM＝AM?MB＝1×＝，
∵AE＝AC＝AB?tan60°＝2，AM＝，
∴EM＝，
∵∠BAE＝α＝∠E＝30°，∠EMP＝90°，
∴△AMB≌△EPM（ASA），
由（2）可知△ABM≌△AFN，
∴S△AFN＝S△EFM＝S△ABM＝，
∵S△AEF＝AF?AE＝×2×2＝2，
∴△ABC與△AFE重疊的面積＝S△AEF﹣S△AFN﹣S△EPM＝2﹣2×＝；
（4）如答題圖1所示：當(dāng)∠CNP＝90°時(shí)．
∵∠CNP＝90°，
∴∠ANF＝90°．
又∵∠AFN＝60°，
∴∠FAN＝180°﹣60°﹣90°＝30°．
∴∠α＝30°．
如答題圖2所示：當(dāng)∠CPN＝90°時(shí)．
∵∠C＝30°，∠CPN＝90°，
∴∠CNP＝60°．
∴∠ANF＝60°．
又∵∠F＝60°，
∴∠FAN＝60°．
∴∠α＝60°．
綜上所述，∠α＝30°或60°．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是幾何變換的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等邊三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
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