從分析問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把所研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組的數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得到解決的思維方法
2、學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。
數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問(wèn)題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來(lái)研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問(wèn)題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會(huì)搶得分點(diǎn)。
一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來(lái)，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會(huì)”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)換思想。
在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們通常是將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。
5、學(xué)會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想。
如果不注意對(duì)各種情況分類(lèi)討論，就有可能造成錯(cuò)解或漏解，縱觀近幾年的中考?jí)狠S題分類(lèi)討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:
體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，把未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。
常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化要領(lǐng)有：
（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為根基定理、根基公式或根基圖形問(wèn)題。
（2）換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較龐大的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的根基問(wèn)題。
（3）數(shù)形結(jié)正當(dāng)：研究原問(wèn)題中數(shù)量干系（解析式）與空間形式（圖形)干系，通過(guò)相互調(diào)動(dòng)得到轉(zhuǎn)化途徑。
（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，到達(dá)化歸的目的
（5）特殊化要領(lǐng)：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問(wèn)題，使結(jié)論適合原問(wèn)題。
（6）結(jié)構(gòu)法：“結(jié)構(gòu)”一個(gè)符合的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題。
（7）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)較要領(lǐng)解決幾許問(wèn)題也是轉(zhuǎn)化要領(lǐng)的一個(gè)重要途徑。
考點(diǎn)12 平面幾何初步及相交線與平行線
該版塊內(nèi)容是初中幾何的基礎(chǔ)，是非?；A(chǔ)也是非常重要的，年年都會(huì)考查，分值為6分左右，預(yù)計(jì)2021年各地中考還將出現(xiàn)，大部分地區(qū)在選填題中考察可能性較大，主要考察平行線的性質(zhì)和判定、方位角、角度的大小等知識(shí)，這些知識(shí)點(diǎn)考查較容易，另外平行線的性質(zhì)可能在綜合題中出現(xiàn)，考查學(xué)生能力，比如：作平行的輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，此類(lèi)題目有一定難度，需要學(xué)生靈活掌握。.
一、直線、射線、線段
1．直線的性質(zhì)：1)兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)；2)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線；
3)直線的基本事實(shí)：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線．
2．線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)確定一條直線，兩點(diǎn)之間，線段最短，兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間的距離．
3．線段的中點(diǎn)性質(zhì)：若C是線段AB中點(diǎn)，則AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．
4．兩條直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)，兩條直線只有兩種位置關(guān)系：平行和相交．
5．垂線的性質(zhì)：1)兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線；2)①經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短．
6．點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)向已知直線作垂線，這一點(diǎn)和垂足之間線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線的距離．
二、角
1．角：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形．
2．角平分線
(1)定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線
(2)性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
3．度、分、秒的運(yùn)算方法：1°=60′，1′=60″，1°=3600″． 1周角=2平角=4直角=360°．
4．余角和補(bǔ)角
1) 余角：∠1＋∠2＝90°?∠1與∠2互為余角；2)補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180°?∠1與∠2互為補(bǔ)角．
3)性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等．
5．方向角和方位角：在描述方位角時(shí)，一般應(yīng)先說(shuō)北或南，再說(shuō)偏西或偏東多少度，而不說(shuō)成東偏北(南)多少度或西偏北(南)多少度．當(dāng)方向角在45°方向上時(shí)，又常常說(shuō)成東南、東北、西南、西北方向．
三、相交線
1．三線八角
1)直線a，b被直線l所截，構(gòu)成八個(gè)角(如圖)．
∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是內(nèi)錯(cuò)角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁?xún)?nèi)角．
2)除了基本模型外，我們還經(jīng)常會(huì)遇到稍難一些的平行線加折線模型，主要是下面兩類(lèi)：

做這類(lèi)題型時(shí)，一般在折點(diǎn)處作平行線，進(jìn)而把線的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角的關(guān)系，如上圖：
2．垂直
1)定義：兩條直線相交所形成的四個(gè)角中有一個(gè)是直角時(shí)叫兩條直線互相垂直．
2)性質(zhì)：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；垂線段最短．
3．點(diǎn)到直線的距離：從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這點(diǎn)到這條直線的距離．
4．鄰補(bǔ)角
1)定義：兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．
2)鄰補(bǔ)角是補(bǔ)角的一種特殊情況：鄰補(bǔ)角既包含位置關(guān)系，又包含數(shù)量關(guān)系，數(shù)量上兩角的和是180°，位置上有一條公共邊．
3)鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)的一個(gè)角不能稱(chēng)為鄰補(bǔ)角，兩條直線相交形成四對(duì)鄰補(bǔ)角．
5．對(duì)頂角
1)定義：兩個(gè)角有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．
2)性質(zhì)：對(duì)頂角相等．但相等的角不一定是對(duì)頂角．
四、平行線
1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．
2．平行線的判定
1)同位角相等，兩直線平行．2)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．3)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
4)平行于同一直線的兩直線互相平行．5)垂直于同一直線的兩直線互相平行．
3．平行線的性質(zhì)
1)兩直線平行，同位角相等．2)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．3)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．
4．平行線間的距離
1)定義：同時(shí)垂直于兩條平行線，并且?jiàn)A在這兩條平行線的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線的距離．
2)性質(zhì)：兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的平行線段相等．
考向一 直線、射線、線段
在解答有關(guān)線段的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，一般要注意以下幾個(gè)方面：①按照已知條件畫(huà)出圖形是正確解題的關(guān)鍵；②觀察圖形，找出線段之間的關(guān)系；③簡(jiǎn)單的問(wèn)題可通過(guò)列算式求出，復(fù)雜的問(wèn)題可設(shè)未知數(shù)，利用方程解決．
1．(2020·四川涼山彝族自治州·)點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的三等分點(diǎn)．若線段，則線段BD的長(zhǎng)為( )
A．10cmB．8cmC．8cm或10cmD．2cm或4cm
【答案】C
【分析】根據(jù)題意作圖，由線段之間的關(guān)系即可求解．
【詳解】如圖，∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴AC=BC=AB=6cm
當(dāng)AD=AC=4cm時(shí)，CD=AC-AD=2cm∴BD=BC+CD=6+2=8cm；
當(dāng)AD=AC=2cm時(shí)，CD=AC-AD=4cm∴BD=BC+CD=6+4=10cm；故選C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查線段之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知線段的和差關(guān)系．
2．(2020·吉林中考真題)如圖，某單位要在河岸上建一個(gè)水泵房引水到處，他們的做法是：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，將水泵房建在了處．這樣做最節(jié)省水管長(zhǎng)度，其數(shù)學(xué)道理是_______．
【答案】垂線段最短．
【分析】直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短．
【詳解】通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連結(jié)的所有線段中，垂線段最短．
故答案為：垂線段最短．
【點(diǎn)睛】此題主要考查點(diǎn)到直線的距離，動(dòng)手比較、發(fā)現(xiàn)結(jié)論是解題關(guān)鍵．
1．(2020·河北中考真題)如圖，在平面內(nèi)作已知直線的垂線，可作垂線的條數(shù)有( )
A．0條B．1條C．2條D．無(wú)數(shù)條
【答案】D
【分析】在同一平面內(nèi)，過(guò)已知直線上的一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線；但畫(huà)已知直線的垂線，可以畫(huà)無(wú)數(shù)條．
【詳解】在同一平面內(nèi)，畫(huà)已知直線的垂線，可以畫(huà)無(wú)數(shù)條；故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查在同一平面內(nèi)，垂直于平行的特征，解題的關(guān)鍵是熟知垂直的定義．
2．(2019·吉林中考真題)曲橋是我國(guó)古代經(jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風(fēng)光。如圖，兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長(zhǎng)度，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是( )
A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．平行于同一條直線的兩條直線平行 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線
【答案】A
【分析】由題意，可以使路程變長(zhǎng)，就用到兩點(diǎn)間線段最短定理．
【解析】解： 公園湖面上架設(shè)曲橋，可以增加游客在橋上行走的路程，從而使游客觀賞湖面景色的時(shí)間變長(zhǎng)， 其中數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短.故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查線段的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，屬基礎(chǔ)題.
考向二 角
1．角平分線必須同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件：①是從角的頂點(diǎn)引出的射線；②在角的內(nèi)部；③將已知角平分．
2．類(lèi)似地，也有角的n等分線，如三等分線，如圖，∠1=∠2=∠3=∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．
1．(2020·山東東營(yíng)市·中考真題)如圖，直線相交于點(diǎn)射線平分若，則等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出∠AOD=180°-∠AOC，再求出∠BOD=180°-∠AOD，最后根據(jù)角平分線平分角即可求解．
【詳解】解：由題意可知：∠AOD=180°-∠AOC=180°-42°=138°，∴∠BOD=180°-∠AOD=42°，
又OM是∠BOD的角平分線，∴∠DOM=∠BOD=21°，∴∠AOM=∠DOM+∠AOD=159°．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及平角的定義，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和平角的定義是解決此類(lèi)題的關(guān)鍵．
2．(2020·湖北中考真題)如圖，將一副三角板重疊放在起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O．若，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系求解即可．
【詳解】解：∵，∴，
∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查角度的計(jì)算問(wèn)題．弄清角與角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
1．(2020·四川樂(lè)山市·中考真題)如圖，是直線上一點(diǎn)，，射線平分，．則( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)射線平分，得出∠CEB=∠BEF=70°，再根據(jù)，可得∠GEB=∠GEF-∠BEF即可得出答案．
【詳解】∵，∴∠CEF=140°，∵射線平分，∴∠CEB=∠BEF=70°，
∵，∴∠GEB=∠GEF-∠BEF=90°-70°=20°，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．
2．(2020·湖北孝感市·中考真題)如圖，直線，相交于點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)．若，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】已知，，根據(jù)鄰補(bǔ)角定義即可求出的度數(shù)．
【詳解】∵∴
∵∴故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的性質(zhì)，兩條直線垂直，形成的夾角是直角；利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求角的度數(shù)，平角度數(shù)為180°．
考向三 對(duì)頂角和余角、(鄰)補(bǔ)角
1．識(shí)別對(duì)頂角時(shí)，要抓住兩個(gè)關(guān)鍵要素：一是頂點(diǎn)，二是邊．先看兩個(gè)角是否有公共頂點(diǎn)，再看兩個(gè)角的兩邊是否分別互為反向延長(zhǎng)線．兩條直線相交形成兩對(duì)對(duì)頂角．
2．互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角；一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，但一個(gè)角的補(bǔ)角可以有很多個(gè)．
1．(2020·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題)如圖，將一副三角尺按下列位置擺放，使和互余的擺放方式是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合互余的定義判斷即可．
【詳解】解：A、∠α與∠β互余，故本選項(xiàng)正確；B、∠α+∠β＞90°，即不互余，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、∠α+∠β=270°，即不互余，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠α+∠β=180°，即互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)余角和補(bǔ)角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力．
2．(2020·廣東廣州市·中考真題)已知，則的補(bǔ)角等于________．
【答案】80
【分析】根據(jù)補(bǔ)角的概念計(jì)算即可．
【詳解】∠A的補(bǔ)角=180°－100°=80°,故答案為:80．
【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)角的概念,關(guān)鍵在于牢記基礎(chǔ)知識(shí)．
1．(2020·四川南充市·中考真題)如圖，兩直線交于點(diǎn)O，若∠1+∠2=76°，則∠1=________度．
【答案】38
【分析】直接利用對(duì)頂角的性質(zhì)結(jié)合已知得出答案．
【詳解】解：∵兩直線交于點(diǎn)O，∴∠1=∠2，∵∠1+∠2=76°，∴∠1=38°．故答案為：38．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了對(duì)頂角，正確把握對(duì)頂角的定義是解題關(guān)鍵．
2．(2020·陜西中考真題)若∠A＝23°，則∠A余角的大小是( )
A．57°B．67°C．77°D．157°
【答案】B
【分析】根據(jù)∠A的余角是90°﹣∠A，代入求出即可．
【詳解】解：∵∠A＝23°，∴∠A的余角是90°﹣23°＝67°．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角的定義，注意：如果∠A和∠B互為余角，那么∠A=90°-∠B．
考向四 平行線的性質(zhì)
平行線的性質(zhì)：
1)兩直線平行，同位角相等．2)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．3)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．
1．(2020·山東濱州市·中考真題)如圖，AB//CD，點(diǎn)P為CD上一點(diǎn)，PF是∠EPC的平分線，若∠1＝55°，則∠EPD的大小為( )
A．60°B．70°C．80°D．100°
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線和角平分線的定義即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CPF=55°，
∵PF是∠EPC的平分線，∴∠CPE=2∠CPF=110°，∴∠EPD=180°-110°=70°，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．(2020·廣東深圳市·中考真題)一把直尺與30°的直角三角板如圖所示，∠1=40°，則∠2=( )
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【分析】如圖：根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，然后再根據(jù)兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)解答即可．
【詳解】解：如圖：∵含30°直角三角形∴
∵直尺兩邊平行∴∠1+∠2+∠3=180°∴．故答案為D．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，其中靈活運(yùn)用兩直線平行、同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
1．(2020·湖南長(zhǎng)沙市·中考真題)如圖，一塊直角三角板的60度的頂點(diǎn)A與直角頂點(diǎn)C分別在平行線上，斜邊AB平分，交直線GH于點(diǎn)E，則的大小為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用角平分線的性質(zhì)求得∠DAE的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求得∠ACE的度數(shù)，即可求解．
【詳解】∵AB平分，∠CAB=60，∴∠DAE=60，
∵FD∥GH，∴∠ACE+∠CAD=180，∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60，
∵∠ACB=90，∴∠ECB=90-∠ACE=30，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．
2．(2020·湖北宜昌市·中考真題)光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)射向另一種介質(zhì)時(shí)會(huì)發(fā)生折射，如圖，水面與水杯下沿平行，光線從水中射向空氣時(shí)發(fā)生折射，光線變成，點(diǎn)G在射線上，已知，求的度數(shù)．
【答案】25°
【分析】使用平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)得到結(jié)果．
【詳解】解：∵∴
∵∴
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，及角度間的加減計(jì)算，熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考向五 平行線的判定
平行線的判定
1)同位角相等，兩直線平行．2)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．3)同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．
4)平行于同一直線的兩直線互相平行．5)垂直于同一直線的兩直線互相平行．
1．(2020·浙江金華市·中考真題)如圖，工人師傅用角尺畫(huà)出工件邊緣AB的垂線a和b，得到a∥b，理由是( )
A．連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短
B．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行
C．在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線
D．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行
【答案】B
【分析】根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行判斷即可．
【詳解】解：
∵由題意a⊥AB，b⊥AB，∴∠1=∠2∴a∥b
所以本題利用的是：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，平行公理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
2．(2020·湖北武漢市·中考真題)如圖，直線分別與直線，交于點(diǎn)，．平分，平分，且∥．求證：∥．
【答案】證明見(jiàn)解析．
【分析】先根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得證．
【詳解】平分，平分
，即．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟記平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
1．(2020·湖北咸寧市·中考真題)如圖，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)一個(gè)條件，使結(jié)論成立：∵_(dá)_________，∴．
【答案】∠1=∠4(答案不唯一)
【分析】根據(jù)平行線的判定添加條件即可.
【詳解】解：如圖，若∠1=∠4，則a∥b，故答案為：∠1=∠4(答案不唯一)
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角解答.
2．(2020·湖南郴州市·中考真題)如圖，直線被直線所截下列條件能判定的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用平行線的判定方法進(jìn)而分析得出答案．
【詳解】A、當(dāng)∠1=∠3時(shí)，c∥d，不能判定a∥b，故此選項(xiàng)不合題意；
B、當(dāng)∠2+∠4=180°時(shí)，c∥d，不能判定a∥b，故此選項(xiàng)不合題意；
C、當(dāng)∠4=∠5時(shí)，c∥d，不能判定a∥b，故此選項(xiàng)不合題意；
D、當(dāng)∠1=∠2時(shí)，a∥b，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定，正確掌握判定方法是解題關(guān)鍵．
考向六 平行線有關(guān)的輔助線問(wèn)題
1．(2020·湖南中考真題)如圖，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，則∠BCE的度數(shù)為( )
A．70°B．65°C．35°D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，從而可得∠BCE的度數(shù)，本題得以解決．
【詳解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥DE，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答．
2．(2020·江蘇南通市·中考真題)如圖，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，則∠C的度數(shù)是( )
A．36°B．34°C．32°D．30°
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，由EF∥AB，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出∠AEF的度數(shù)，結(jié)合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度數(shù)，由EF∥CD，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可求出∠C的度數(shù)．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則EF∥CD，如圖所示．
∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．
1．(2020·遼寧朝陽(yáng)市·中考真題)如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與點(diǎn)B、點(diǎn)C不重合)，則的值為( )
A．1B．C．2D．無(wú)法確定
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)D作交AO于點(diǎn)E，由平行的性質(zhì)可知，等量代換可得的值.
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作交AO于點(diǎn)E，

四邊形是矩形

故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，靈活的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.
2．(2020·四川綿陽(yáng)市·中考真題)在螳螂的示意圖中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，則∠ACD＝( )
A．16°B．28°C．44°D．45°
【答案】C
【分析】延長(zhǎng)，交于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，
【詳解】解：延長(zhǎng)，交于，
是等腰三角形，，，，，
，，故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
考向七 平行線與方位角
1．(2020·河北中考真題)如圖，從筆直的公路旁一點(diǎn)出發(fā)，向西走到達(dá)；從出發(fā)向北走也到達(dá)．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．從點(diǎn)向北偏西45°走到達(dá) B．公路的走向是南偏西45°
C．公路的走向是北偏東45°D．從點(diǎn)向北走后，再向西走到達(dá)
【答案】A
【分析】根據(jù)方位角的定義及勾股定理逐個(gè)分析即可．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)P點(diǎn)作AB的垂線PH，
選項(xiàng)A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB為等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，
又PH⊥AB，∴△PAH為等腰直角三角形，∴PH=km，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：站在公路上向西南方向看，公路的走向是南偏西45°，故選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C：站在公路上向東北方向看，公路的走向是北偏東45°，故選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D：從點(diǎn)向北走后到達(dá)BP中點(diǎn)E，此時(shí)EH為△PEH的中位線，故EH=AP=3，故再向西走到達(dá)，故選項(xiàng)D正確．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了方位角問(wèn)題及等腰直角三角形、中位線等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，方向角一般以觀測(cè)者的位置為中心，所以觀測(cè)者不同，方向就正好相反，但角度不變．
2．(2020·云南昆明市·中考真題)如圖，點(diǎn)C位于點(diǎn)A正北方向，點(diǎn)B位于點(diǎn)A北偏東50°方向，點(diǎn)C位于點(diǎn)B北偏西35°方向，則∠ABC的度數(shù)為_(kāi)____°．
【答案】95
【分析】按照題意，將點(diǎn)A、B、C的位置關(guān)系表示在圖中，過(guò)點(diǎn)B作一條平行于AC的線，并標(biāo)注出已知角的度數(shù)，兩平行線間內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠1=∠BAC，則∠ABC的度數(shù)就可求得．
【詳解】解：如下圖所示：過(guò)點(diǎn)B作一條平行于AC的線，
由題意可得，∠1＝∠A＝50°(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，
則∠ABC＝180°-35°-50°＝95°，故答案為：95．
【點(diǎn)睛】本題主要考察了方位角的表示、平行線的性質(zhì)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，在圖中表示出各個(gè)角的度數(shù)，同時(shí)還要掌握平行線的性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．
1．(2020·廣西玉林市·中考真題)如圖是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東35度方向，B島在A島的北偏東80度方向，C島在B島的北偏西55度方向，則A，B，C三島組成一個(gè)( )
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等邊三角形
【答案】A
【分析】先根據(jù)方位角的定義分別可求出，再根據(jù)角的和差、平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，最后根據(jù)等腰直角三角形的定義即可得．
【詳解】由方位角的定義得：
由題意得：
由三角形的內(nèi)角和定理得：是等腰直角三角形
即A，B，C三島組成一個(gè)等腰直角三角形故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了方位角的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、等腰直角三角形的定義等知識(shí)點(diǎn)，掌握理解方位角的概念是解題關(guān)鍵．
2．(2019·山東淄博市·中考真題)如圖，小明從處沿北偏東方向行走至點(diǎn)處，又從點(diǎn)處沿東偏南方向行走至點(diǎn)處，則等于( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)方位角的概念，畫(huà)圖正確表示出方位角，即可求解．
【詳解】如圖：
∵小明從處沿北偏東方向行走至點(diǎn)處，又從點(diǎn)處沿東偏南方向行走至點(diǎn)處，
∴，，
∵向北方向線是平行的，即，∴，
∵，∴，
∴，故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查方位角，解題的關(guān)鍵是畫(huà)圖正確表示出方位角.
1．(2019·湖南懷化市·中考真題)與的角互為余角的角的度數(shù)是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用互為余角的定義分析得出答案．
【解析】與的角互為余角的角的度數(shù)是：．故選B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了互為余角的定義，正確把握互為余角的定義是解題關(guān)鍵．
2．(2020·山東德州市·中考模擬)如圖,將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中與互余的是( )
A．圖①B．圖②C．圖③D．圖④
【答案】A
【解析】根據(jù)平角的定義，同角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等和鄰補(bǔ)角的定義對(duì)各小題分析判斷即可得解．
圖①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；圖②，根據(jù)同角的余角相等，∠α=∠β；
圖③，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等∠α=∠β；圖④，∠α+∠β=180°，互補(bǔ)．故選A．
點(diǎn)睛：本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，熟記概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．(2020·廣西梧州市·中考模擬)已知∠A=55°，則它的余角是( )
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解析】【分析】根據(jù)余角的定義進(jìn)行解答即可得.
【詳解】∵∠A=55°，∴它的余角是90°﹣∠A=90°﹣55°=35°，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了余角與補(bǔ)角，熟知互余兩角的和為90度是解本題的關(guān)鍵.
4．(2020·福建寧德市·中考模擬)如圖，點(diǎn)M在線段AB上，則下列條件不能確定M是AB中點(diǎn)的是( )
A．BM=ABB．AM+BM=ABC．AM=BMD．AB=2AM
【答案】B
【解析】直接利用兩點(diǎn)之間的距離定義結(jié)合線段中點(diǎn)的性質(zhì)分別分析得出答案．
A、當(dāng)BM=AB時(shí)，則M為AB的中點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、AM+BM=AB時(shí)，無(wú)法確定M為AB的中點(diǎn)，符合題意；
C、當(dāng)AM=BM時(shí)，則M為AB的中點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、當(dāng)AB=2AM時(shí)，則M為AB的中點(diǎn)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．
考點(diǎn)：線段中點(diǎn)的定義.
5．(2020·江蘇宿遷市·中考真題)如圖，直線a，b被直線c所截，a∥b，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)為( )
A．40°B．50°C．130°D．150°
【答案】B
【分析】由a∥b，利用“兩直線平行，同位角相等”可求出∠2的度數(shù)．
【詳解】∵a∥b，∴∠2=∠1=50°．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，牢記“兩直線平行，同位角相等”是解題的關(guān)鍵．
6．(2020·四川自貢市·中考真題)如圖，∥，，則的度數(shù)為 ( )
A．40°B．50°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】利用平行線的性質(zhì)與對(duì)頂角相等即可求出．
【詳解】?jī)善叫芯€同位角相等，再根據(jù)對(duì)頂角相等即可得到答案.故答案為B．
【點(diǎn)晴】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與對(duì)頂角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7．(2020·貴州黔西南布依族苗族自治州·)如圖，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，當(dāng)∠2＝37°時(shí)，∠1的度數(shù)為( )
A．37°B．43°C．53°D．54°
【答案】C
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)即可求解．
【詳解】∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝37°，∵∠FEG＝90°，∴
∴∠1＝90°－∠3＝90°－37°＝53° 故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和平角的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．(2020·河南中考真題)如圖，，若，則的度數(shù)為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】如圖，∵，∴∠1+∠3=180o，∵∠1=70o，∴∴∠3=180o-70o=110o，∵，∴∠2=∠3=110o，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
9．(2020·湖南懷化市·中考真題)如圖，已知直線，被直線所截，且，若，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠1的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)．
【詳解】解：∵＝40°，∴∠1＝＝40°，∵a∥b，∴＝∠1＝40°，故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了對(duì)頂角相等和平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．
10．(2019·貴州畢節(jié)市·中考真題)如圖，△ABC中，CD是AB邊上的高，CM是AB邊上的中線，點(diǎn)C到邊AB所在直線的距離是( )
A．線段CA的長(zhǎng)度 B．線段CM的長(zhǎng)度 C．線段CD的長(zhǎng)度 D．線段CB的長(zhǎng)度
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)C到邊AB所在直線的距離是點(diǎn)C到直線AB的垂線段的長(zhǎng)度進(jìn)行求解即可.
【解析】點(diǎn)C到邊AB所在直線的距離是點(diǎn)C到直線AB的垂線段的長(zhǎng)度，而CD是點(diǎn)C到直線AB的垂線段，故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，熟知點(diǎn)到直線的距離的概念是解題的關(guān)鍵.
11．(2020·江蘇常州市·中考真題)如圖，直線a、b被直線c所截，，，則的度數(shù)是( )
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角相等求得∠3，然后再根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等即可解答．
【詳解】解：∵∠1+∠3=180°，∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°
∵∴∠2=∠3=40°．故答案為B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等”是解答本題的關(guān)鍵．
12．(2020·廣西百色市·中考模擬)如圖，為的平分線，下列等式錯(cuò)誤的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵AM為∠BAC的平分線，
∴∠BAC=∠BAM，∠BAM=∠CAM，∠BAM=∠CAM，2∠CAM=∠BAC．故選C．
考點(diǎn)：角平分線的定義．
13．(2020·湖北宜昌市·中考模擬)已知M，N，P，Q四點(diǎn)的位置如圖所示，下列結(jié)論中，正確的是( )
A．∠NOQ＝42° B．∠NOP＝132° C．∠PON比∠MOQ大 D．∠MOQ與∠MOP互補(bǔ)
【答案】C
【解析】如圖所示：∠NOQ=138°，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；∠NOP=48°，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
如圖可得∠PON=48°，∠MOQ=42°，所以∠PON比∠MOQ大，選項(xiàng)C正確；
由以上可得，∠MOQ與∠MOP不互補(bǔ)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故答案選C．
考點(diǎn)：角的度量.
14．(2019·廣西河池市·中考真題)如圖，，要使，則的大小是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可求解．
【詳解】解：如果， 那么． 所以要使，則的大小是．故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定定理，掌握同位角相等，兩直線平行是解題的關(guān)鍵．
15．(2019·貴州遵義市·中考真題)如圖，∠1+∠2＝180°，∠3＝104°，則∠4的度數(shù)是( )
A．74°B．76°C．84°D．86°
【答案】B
【分析】求出∠5=∠2，根據(jù)平行線的判定得出a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出即可．
【解析】解：
∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠5＝180°，∴∠2＝∠5，∴a∥b，∴∠4＝∠6，
∵∠3＝104°，∴∠6＝180°﹣∠3＝76°，∴∠4＝76°，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能正確利用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
16．(2020·河北中考模擬)如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處， 它以每小時(shí)40海里的速度向正北方向航行，2小時(shí)后到 達(dá)位于燈塔P的北偏東40°的N處，則N處與燈塔P的 距離為
A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里
【答案】D
【解析】依題意，知MN＝40海里/小時(shí)×2小時(shí)＝80海里，
∵根據(jù)方向角的意義和平行的性質(zhì)，∠M＝70°，∠N＝40°，
∴根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠MPN＝70°．∴∠M＝∠MPN＝70°．
∴NP＝NM＝80海里．故選D．
17．(2020·山東德州市·中考模擬)如圖，為抄近路踐踏草坪是一種不文明的現(xiàn)象，請(qǐng)你用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋出這一現(xiàn)象的原因_____．
【答案】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短
【分析】根據(jù)線段的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：為抄近路踐踏草坪原因是：兩點(diǎn)之間線段最短．
故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短．
【點(diǎn)睛】本題考查線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；三角形三邊關(guān)系．
18．(2020·遼寧阜新市·中考真題)如圖，直線a，b過(guò)等邊三角形頂點(diǎn)A和C，且，，則的度數(shù)為_(kāi)_______．
【答案】102°
【分析】根據(jù)題意可求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等即可得出答案．
【詳解】三角形ABC為等邊三角形
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
19．(2020·廣西貴港市·中考真題)如圖，點(diǎn)，在直線上，平分，若，，則_______________．
【答案】62°
【分析】根據(jù)和平分，計(jì)算出的度數(shù)，便可求解．
【詳解】解：如圖：
∵∴，
∵平分 故答案為62°
【點(diǎn)睛】本題考查平行線性質(zhì)，以及角平分線性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
20．(2019·山東中考真題)如圖，已知AB＝8cm，BD＝3cm，C為AB的中點(diǎn)，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)____cm．
【答案】1
【分析】先根據(jù)中點(diǎn)定義求BC的長(zhǎng)，再利用線段的差求CD的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵C為AB的中點(diǎn)，AB＝8cm，∴BC＝AB＝×8＝4(cm)，
∵BD＝3cm，∴CD＝BC﹣BD＝4﹣3＝1(cm)，則CD的長(zhǎng)為1cm；故答案為：1．
【點(diǎn)睛】此題主要考查線段的長(zhǎng)度，解題的關(guān)鍵是熟知線段長(zhǎng)度的運(yùn)算關(guān)系.
21．(2019·江蘇南京市·中考真題)結(jié)合下圖，用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)定理“同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”的推理形式：∵_(dá)___________，∴a∥b．
【答案】
【分析】?jī)蓷l直線被第三條直線所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．
【詳解】解：∵∠1＋∠3＝180°，∴a∥b(同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平)．故答案為∠1＋∠3＝180°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行的判定，兩條直線被第三條直線所截，如果同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．
22．(2019·廣東廣州市·中考真題)如圖，點(diǎn)A，B，C在直線l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，則點(diǎn)P到直線l的距離是_____cm.
【答案】5.
【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離是直線外的點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，可得答案．
【解析】解：∵PB⊥l，PB=5cm，∴P到l的距離是垂線段PB的長(zhǎng)度5cm，故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.
1．(2020·甘肅金昌市·中考真題)若，則的補(bǔ)角的度數(shù)是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得．
【詳解】的補(bǔ)角的度數(shù)是故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角的定義，熟記定義是解題關(guān)鍵．
2．(2020·湖北襄陽(yáng)市·中考真題)如圖，，直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分，若，則的大小是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用平行線的性質(zhì)求解，利用角平分線求解，再利用平行線的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：，
平分，
故選．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
3．(2020·湖北鄂州市·中考真題)如圖，，一塊含的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在其中一條直線上，若，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作平行a和b的平行線,再根據(jù)平行的性質(zhì)可知,再算出即可得出．
【詳解】如圖所示,過(guò)直角頂點(diǎn)作c∥a，∵，∴a∥b∥c，
∴,∴,∴．故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查平行的性質(zhì),關(guān)鍵在于利用割補(bǔ)法將直角分成兩個(gè)角度進(jìn)行轉(zhuǎn)換．
4．(2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題)如圖，直線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是( )
A．120°B．100°C．150°D．160°
【答案】C
【分析】延長(zhǎng)AE，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出∠AFC的度數(shù)，再利用外角的性質(zhì)求出∠ECF，從而求出∠ECD．
【詳解】解：延長(zhǎng)AE，與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，
∵AB∥CD，∴∠A+∠AFC=180°，∵，∴∠AFC=60°，
∵AE⊥CE，∴∠AEC=90°，而∠AEC=∠AFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEC-∠F =30°，
∴∠ECD=180°-30°=150°，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)，正確作出輔助線和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．(2020·遼寧營(yíng)口市·中考真題)如圖，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分線EG交CD于點(diǎn)G，則∠GEB的度數(shù)為( )
A．66°B．56°C．68°D．58°
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠BEF，再根據(jù)角平分線的定義求得∠GEB．
【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，∴∠GEB＝58°．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，解答本題時(shí)注意：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．
6．(2020·江西中考真題)如圖，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可對(duì)B進(jìn)行判斷；求出∠C，根據(jù)大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊可對(duì)D進(jìn)行判斷；求出可對(duì)C進(jìn)行判斷．
【詳解】，，故選項(xiàng)A正確；，，
又，，故選項(xiàng)B正確；
，，，，故選項(xiàng)D正確；
，，
而，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握性質(zhì)與判定是解答此題的關(guān)鍵．
7．(2020·湖南岳陽(yáng)市·中考真題)如圖，，，，則的度數(shù)是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平行線的判定和性質(zhì)，即可求出答案．
【詳解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．
8．(2019·遼寧丹東市·中考真題)如圖，點(diǎn)C在∠AOB的邊OA上，用尺規(guī)作出了CP∥OB，作圖痕跡中，是( )
A．以點(diǎn)C為圓心、OD的長(zhǎng)為半徑的弧 B．以點(diǎn)C為圓心、DM的長(zhǎng)為半徑的弧
C．以點(diǎn)E為圓心、DM的長(zhǎng)為半徑的弧 D．以點(diǎn)E為圓心、OD的長(zhǎng)為半徑的弧
【答案】C
【分析】根據(jù)平行線的判定，作一個(gè)角等于已知角的方法即可判斷．
【詳解】解：由作圖可知作圖步驟為：
①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧DM，分別交OA，OB于M，D．
②以點(diǎn)C為圓心，以O(shè)M為半徑畫(huà)弧EN，交OA于E．
③以點(diǎn)E為圓心，以DM為半徑畫(huà)弧FG，交弧EN于N．④過(guò)點(diǎn)N作射線CP．
根據(jù)同位角相等兩直線平行，可得CP∥OB．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
9．(2019·湖南邵陽(yáng)市·中考真題)如圖，已知兩直線與被第三條直線所截，下列等式一定成立的是( )
A．B．C．=180°D．=180°
【答案】D
【分析】由三線八角以及平行線的性質(zhì)可知，A，B，C成立的條件題目并沒(méi)有提供，而D選項(xiàng)中鄰補(bǔ)角的和為180°一定正確．
【解析】與是同為角，與是內(nèi)錯(cuò)角，與是同旁?xún)?nèi)角，由平行線的性質(zhì)可知，選項(xiàng)A，B，C成立的條件為時(shí)，故A、B、C選項(xiàng)不一定成立，
∵與是鄰補(bǔ)角，∴∠1+∠4=180°，故D正確．故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查三線八角的識(shí)別及平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角的概念．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大．
10．(2020·河北中考模擬題)如圖，快艇從P處向正北航行到A處時(shí)，向左轉(zhuǎn)50°航行到B處，再向右轉(zhuǎn)80°繼續(xù)航行，此時(shí)的航行方向?yàn)? )
A．北偏東30°B．北偏東80°C．北偏西30°D．北偏西50°
【答案】A
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠2，根據(jù)角的和差，可得答案．
【解析】如圖，AP∥BC，∴∠2=∠1=50°，
∵∠EBF=80°=∠2+∠3，∴∠3=∠EBF﹣∠2=80°﹣50°=30°，∴此時(shí)的航行方向?yàn)楸逼珫|30°，故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，利用平行線的性質(zhì)得出∠2是解題關(guān)鍵．
11．(2019·江蘇常州市·中考真題)如圖，在線段、、、中，長(zhǎng)度最小的是( )
A．線段B．線段C．線段D．線段
【答案】B
【解析】
【分析】由垂線段最短可解．
【詳解】由直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，可知答案為B．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短，這屬于基本的性質(zhì)定理，屬于簡(jiǎn)單題．
12．(2020·貴州·中考模擬)如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，其運(yùn)用到的數(shù)學(xué)原理是( )
A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．垂線段最短 D．過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行
【答案】B
【解析】解：建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常在兩個(gè)墻腳的位置分別插一根木樁，然后拉一條直的參照線，這種做法運(yùn)用到的數(shù)學(xué)原理是：兩點(diǎn)確定一條直線．故選B．
13．(2019·廣西梧州市·中考真題)如圖，鐘表上10點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘? )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)鐘面分成12個(gè)大格，每格的度數(shù)為30°即可解答．
【詳解】解：∵鐘面分成12個(gè)大格，每格的度數(shù)為30°，
∴鐘表上10點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘?0°故選B．
【點(diǎn)睛】鐘面角.了解鐘面特點(diǎn)是關(guān)鍵.
14．(2020·山東淄博市·中考真題)如圖，在四邊形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，則∠DCA等于( )
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】C
【詳解】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余可得∠CAB＝40°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠CAB的度數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．
15．(2020·遼寧沈陽(yáng)市·中考真題)如圖，直線，且于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為( )
A．65°B．55°C．45°D．35°
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得到的度數(shù)．
【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和、平行線的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
1．(2020·湖南長(zhǎng)沙市·中考真題)如圖，一塊直角三角板的60度的頂點(diǎn)A與直角頂點(diǎn)C分別在平行線上，斜邊AB平分，交直線GH于點(diǎn)E，則的大小為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用角平分線的性質(zhì)求得∠DAE的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求得∠ACE的度數(shù)，即可求解．
【詳解】∵AB平分，∠CAB=60，∴∠DAE=60，
∵FD∥GH，∴∠ACE+∠CAD=180，∴∠ACE=180-∠CAB-∠DAE=60，
∵∠ACB=90，∴∠ECB=90-∠ACE=30，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．
17．(2020·四川雅安市·中考真題)如圖，與都相交，，則_________．
【答案】130°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，再用補(bǔ)角的定義得出∠2.
【詳解】解：∵a∥b，∴∠1=∠3=50°，∴∠2=180°-50°=130°，故答案為130°.
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和補(bǔ)角的定義，解題的關(guān)鍵掌握兩直線平行，同位角相等.
18．(2020·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題)如圖，點(diǎn)O在直線上，，則的度數(shù)是______．
【答案】
【分析】根據(jù)補(bǔ)角的定義，進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】解：由圖可知：∠AOC和∠BOC互補(bǔ)，∵，
∴∠BOC=180°-=，故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)角的定義，和角的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握角的運(yùn)算方法.
19．(2020·黑龍江大慶市·中考真題)將兩個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)重合為如圖所示的位置，若，則_________．
【答案】
【分析】由∠AOB=∠COD=90°，∠AOC=∠BOD，進(jìn)而∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°，由此能求出∠BOC．
【詳解】解： ∠AOB=∠COD=90°， ∠AOC=∠BOD， 又∠AOD=108°，
∠AOC=∠BOD=108°-90°=18°， ∠BOC=90°-18°=72°． 故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差，兩銳角的互余，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
20．(2020·貴州銅仁市·中考真題)設(shè)AB，CD，EF是同一平面內(nèi)三條互相平行的直線，已知AB與CD的距離是12cm，EF與CD的距離是5cm，則AB與EF的距離等于_____cm．
【答案】7或17．
【分析】分兩種情況討論，EF在AB，CD之間或EF在AB，CD同側(cè)，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】解：分兩種情況：
①當(dāng)EF在AB，CD之間時(shí)，如圖：
∵AB與CD的距離是12cm，EF與CD的距離是5cm，∴EF與AB的距離為12﹣5＝7(cm)．
②當(dāng)EF在AB，CD同側(cè)時(shí)，如圖：
∵AB與CD的距離是12cm，EF與CD的距離是5cm，∴EF與AB的距離為12+5＝17(cm)．
綜上所述，EF與AB的距離為7cm或17cm．故答案為：7或17．
【點(diǎn)睛】此題主要考查線段之間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況作圖進(jìn)行求解．
21．(2020·山東日照市·中考真題)如圖，有一個(gè)含有30°角的直角三角板，一頂點(diǎn)放在直尺的一條邊上，若∠2＝65°，則∠1的度數(shù)是_____．
【答案】25°
【分析】延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，根據(jù)題意及直角三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)EF交BC于點(diǎn)G，
∵直尺，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3＝65°，又∵30°角的直角三角板，∴∠1＝90°﹣65°＝25°．故答案為：25°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
22．(2020·江蘇鹽城市·中考真題)如圖，直線被直線所截，．那么_______．
【答案】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】∵∴
∵∠2+∠3=180°∴∠2=120°故答案為：120．
【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

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