?中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)六大策略
1、學(xué)會運(yùn)用函數(shù)與方程思想。
從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當(dāng)設(shè)定未知數(shù)，把所研究的數(shù)學(xué)問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組的數(shù)學(xué)模型，從而使問題得到解決的思維方法
2、學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。
數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學(xué)思想。
3、要學(xué)會搶得分點(diǎn)。
一道中考數(shù)學(xué)壓軸題解不出來，不等于“一點(diǎn)不懂、一點(diǎn)不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)。
4、學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想。
在研究數(shù)學(xué)問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
5、學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想。
如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點(diǎn)。
6、轉(zhuǎn)化思想:
體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
常見的轉(zhuǎn)化要領(lǐng)有：
（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為根基定理、根基公式或根基圖形問題。
（2）換元法：運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較龐大的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的根基問題。
（3）數(shù)形結(jié)正當(dāng)：研究原問題中數(shù)量干系（解析式）與空間形式（圖形)干系，通過相互調(diào)動得到轉(zhuǎn)化途徑。
（4）等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，到達(dá)化歸的目的
（5）特殊化要領(lǐng)：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，使結(jié)論適合原問題。
（6）結(jié)構(gòu)法：“結(jié)構(gòu)”一個符合的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題。
（7）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計較要領(lǐng)解決幾許問題也是轉(zhuǎn)化要領(lǐng)的一個重要途徑。
考點(diǎn)11 二次函數(shù)

二次函數(shù)是非常重要的函數(shù),年年都會考查,總分值為18~20分，預(yù)計2021年各地中考還會考,它經(jīng)常以一個壓軸題獨(dú)立出現(xiàn)，有的地區(qū)也會考察二次函數(shù)的應(yīng)用題，小題的考察主要是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及或與幾何圖形結(jié)合來考查.

一、二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．
二、二次函數(shù)解析式的三種形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)．
(2)頂點(diǎn)式：y=a(x–h)2+k(a，h，k為常數(shù)，a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)．
(3)交點(diǎn)式：y=a(x–x1)(x–x2)，其中x1，x2是二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a≠0．
三、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
1．二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
解析式
二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)
對稱軸
x=–
頂點(diǎn)
(–，)
a的符號
a>0
a0
開口向上
a0(a與b同號)
對稱軸在y軸左側(cè)
ab0
與y軸正半軸相交
c0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)；
(2)b2–4ac=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個交點(diǎn)；
(3)b2–4ac0，b＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、三、四象限，A錯誤；B、∵二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，∴a>0，b>0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、三象限，B正確；C、∵二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，∴a0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第一、二、四象限，C錯誤；D、∵二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，∴a＜0，b＜0，∴一次函數(shù)圖象應(yīng)該過第二、三、四象限，D錯誤．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)a、b的正負(fù)確定一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限是解題的關(guān)鍵．

1．(2020·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題)已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)可得c＞0，根據(jù)拋物線開口向下可得a＜0，由對稱軸在y軸右邊可得a、b異號，故b＞0，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)與一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系畫出圖象可得答案．
【解析】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)可得c＞0，根據(jù)拋物線開口向下可得a＜0，由對稱軸在y軸右邊可得a、b異號，故b＞0，則反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，
一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖象確定出a、b、c的符號．

考向三 二次函數(shù)的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系

1．(2020·湖北荊門·中考真題)如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，對稱軸為直線，給出下列結(jié)論：①；②若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則的面積可以等于2；③是拋物線上兩點(diǎn)，若，則；④若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則方程的兩根為，3其中正確結(jié)論的序號為_______．

【答案】①④
【分析】①根據(jù)拋物線的開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)來判斷a,b,c的正負(fù)情況，即可．
②根據(jù)圖形可知AB的值大于4，利用三角形的面積求法，即可得面積會大于2．
③利用圖形的對稱性，離對稱軸越小，函數(shù)值越大．
④把點(diǎn)代入拋物線，可求得x=3是方程的解，再利用圖形的對稱可求另一個解．
【解析】解：① 開口向下， a0， abc4,>， ，故錯誤．
③ ，從圖像可知 到1的距離小于 到1的距離，從圖像可知，越靠近對稱軸，函數(shù)值越大； ，故錯誤．
④把點(diǎn)(3，-1)代入拋物線得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根據(jù)拋物線的對稱性，所以另一解為-1，故正確．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，函數(shù)的對稱性，函數(shù)的增減性以及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵要熟練掌握拋物線的性質(zhì)，以及看圖能力，本題也可以采用一些特殊值代入法來解．
2．(2020·山東日照·中考真題)如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，下列結(jié)論：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m為任意實(shí)數(shù)，則有a﹣bm≤am2+b； ④若圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣3，﹣2)，方程ax2+bx+c+2＝0的兩根為x1，x2(|x1|＜|x2|)，則2x1﹣x2＝5．其中正確的結(jié)論的個數(shù)是(　　)

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】C
【分析】由圖象可知a＜0，c＞0，由對稱軸得b=2a＜0，則abc＞0，故①錯誤；當(dāng)x=1時，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正確；由x=-1時，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③錯誤；由題意得二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=-2的一個交點(diǎn)為(-3，-2)，另一個交點(diǎn)為(1，-2)，即x1=1，x2=-3，進(jìn)而得出④正確，即可得出結(jié)論．
【解析】解：由圖象可知：a＜0，c＞0， ，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①abc＜0錯誤；
當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，∴3a＜﹣c，故②3a＜﹣c正確；
∵x＝﹣1時，y有最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c(m為任意實(shí)數(shù))，
即a﹣b≥am2+bm，即a﹣bm≥am2+b，故③錯誤；
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)圖象經(jīng)過點(diǎn)(﹣3，﹣2)，方程ax2+bx+c+2＝0的兩根為x1，x2(|x1|＜|x2|)，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣2的一個交點(diǎn)為(﹣3，﹣2)，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣2的另一個交點(diǎn)為(1，﹣2)，
即x1＝1，x2＝﹣3，∴2x1﹣x2＝2﹣(﹣3)＝5，故④正確．所以正確的是②④；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時，對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于(0，c)．

1．(2020·浙江寧波·中考真題)如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a＞0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，它的對稱軸為直線x＝﹣1．則下列選項(xiàng)中正確的是(　　)

A．a(chǎn)bc＜0 B．4ac﹣b2＞0 C．c﹣a＞0 D．當(dāng)x＝﹣n2﹣2(n為實(shí)數(shù))時，y≥c
【答案】D
【分析】由圖象開口向上，可知a＞0，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知c＞0，根據(jù)對稱軸方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A錯誤；根據(jù)一次函數(shù)y=ax2+bx+c(a＞0)的圖象與x軸的交點(diǎn)，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故B錯誤；根據(jù)對稱軸方程得到b=2a，當(dāng)x=-1時，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故C錯誤；當(dāng)x=-n2-2(n為實(shí)數(shù))時，代入解析式得到y(tǒng)=ax2+bx+c=a(-n2-2)+b(-n2-2)=an2(n2+2)+c，于是得到y(tǒng)=an2(n2+2)+c≥c，故D正確．
【解析】解：由圖象開口向上，可知a＞0，與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，可知c＞0，
又對稱軸方程為x＝﹣1，所以﹣＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A錯誤；
∴一次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a＞0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B錯誤；
∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C錯誤；
當(dāng)x＝﹣n2﹣2(n為實(shí)數(shù))時，y＝ax2+bx+c＝a(﹣n2﹣2)+b(﹣n2﹣2)＝an2(n2+2)+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2(n2+2)+c≥c，故D正確，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)與方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．(2020·廣東中考真題)如圖，拋物線的對稱軸是．下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的有( )

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】由拋物線的性質(zhì)和對稱軸是，分別判斷a、b、c的符號，即可判斷①；拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，可判斷②；由，得，令，求函數(shù)值，即可判斷③；令時，則，令時，，即可判斷④；然后得到答案．
【解析】解：根據(jù)題意，則，，∵，∴，∴，故①錯誤；
由拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，則，故②正確；
∵，令時，，∴，故③正確；
在中，令時，則，令時，，
由兩式相加，得，故④正確；∴正確的結(jié)論有：②③④，共3個；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練判斷各個式子的符號．

考向四 二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)的解析式中，a決定拋物線的形狀和開口方向，h、k僅決定拋物線的位置．若兩個二次函數(shù)的圖象形狀完全相同且開口方向相同，則它們的二次項(xiàng)系數(shù)a必相等．

1．(2020·江蘇南京·中考真題)下列關(guān)于二次函數(shù)(為常數(shù))的結(jié)論，①該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)；③當(dāng)時，y隨x的增大而減?。虎茉摵瘮?shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中所有正確的結(jié)論序號是__________．
【答案】①②④
【分析】①兩個二次函數(shù)可以通過平移得到，由此即可得兩個函數(shù)的圖象形狀相同；②求出當(dāng)時，y的值即可得；③根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得；④先求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證即可得．
【解析】當(dāng)時，將二次函數(shù)的圖象先向右平移m個單位長度，再向上平移個單位長度即可得到二次函數(shù)的圖象；當(dāng)時，將二次函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度即可得到二次函數(shù)的圖象
該函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象形狀相同，結(jié)論①正確
對于 當(dāng)時，即函數(shù)圖象一定經(jīng)過點(diǎn)，②正確
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小，③錯誤
的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 對于二次函數(shù) 當(dāng)時，
即該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，結(jié)論④正確
綜上，所有正確的結(jié)論序號是①②④故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2.(2020·湖北黃石·中考真題)若二次函數(shù)的圖象，過不同的六點(diǎn)、、、、、，則、、的大小關(guān)系是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，把A、B、C三點(diǎn)代入解析式，求出，再求出拋物線的對稱軸，利用二次根式的對稱性，即可得到答案．
【解析】解：根據(jù)題意，把點(diǎn)、、代入，則
，消去c，則得到，解得：，
∴拋物線的對稱軸為：，
∵與對稱軸的距離最近；與對稱軸的距離最遠(yuǎn)；拋物線開口向上，∴；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征的理解和掌握，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出拋物線的對稱軸進(jìn)行解題．
3．(2020·浙江嘉興·中考真題)已知二次函數(shù)y＝x2，當(dāng)a≤x≤b時m≤y≤n，則下列說法正確的是(　　)
A．當(dāng)n﹣m＝1時，b﹣a有最小值 B．當(dāng)n﹣m＝1時，b﹣a有最大值
C．當(dāng)b﹣a＝1時，n﹣m無最小值 D．當(dāng)b﹣a＝1時，n﹣m有最大值
【答案】B
【分析】①當(dāng)b﹣a＝1時，先判斷出四邊形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，進(jìn)而得出AC＝n﹣m，即tan＝n﹣m，再判斷出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范圍；
②當(dāng)n﹣m＝1時，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，進(jìn)而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判斷出45°≤∠MNH＜90°，即可得出結(jié)論．
【解析】解：①當(dāng)b﹣a＝1時，如圖1，過點(diǎn)B作BC⊥AD于C， ∴∠BCD＝90°，

∵∠ADE＝∠BED＝90°，∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，∴四邊形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，
∵點(diǎn)A，B在拋物線y＝x2上，∴0°≤∠ABC＜90°，∴tan∠ABC≥0，∴n﹣m≥0，
即n﹣m無最大值，有最小值，最小值為0，故選項(xiàng)C，D都錯誤；
②當(dāng)n﹣m＝1時，如圖2，過點(diǎn)N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝，∵點(diǎn)M，N在拋物線y＝x2上，∴m≥0，
當(dāng)m＝0時，n＝1，∴點(diǎn)N(0，0)，M(1，1)，∴NH＝1，此時，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴≥1，
當(dāng)a,b異號時，且m=0,n=1時，a,b的差距是最大的情況，此時b-a=2,
∴b﹣a無最小值，有最大值，最大值為2，故選項(xiàng)A錯誤；故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，確定出∠MNH的范圍是解本題的關(guān)鍵．

1．(2020·貴州黔東南·初三月考)已知二次函數(shù)，則下列關(guān)于這個函數(shù)圖象和性質(zhì)的說法，正確的是( )
A．圖象的開口向上 B．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是
C．當(dāng)時，y隨x的增大而增大 D．圖象與x軸有唯一交點(diǎn)
【答案】C
【分析】由拋物線的二次項(xiàng)的系數(shù)判斷A，把拋物線寫成頂點(diǎn)式，可判斷B，由得拋物線的圖像在對稱軸的左側(cè)，從而得到y(tǒng)隨x的增大而增大，利用的值，判斷D．
【解析】解：＜ 所以拋物線的開口向下，故A錯誤，
所以拋物線的頂點(diǎn)為： 故B錯誤，
當(dāng)，即在拋物線的對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，故C正確，
＞
所以拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，故D錯誤，故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，增減性，及與軸的交點(diǎn)個數(shù)的判斷方法是解題的關(guān)鍵．
2．(2020·山東臨沂·中考真題)已知拋物線．設(shè)點(diǎn)，在拋物線上，若，則m的取值范圍 ．
【答案】當(dāng)a＞0時，；當(dāng)a＜0時，或．
【分析】根據(jù)拋物線的對稱性求得點(diǎn)Q關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得到的取值范圍．
【解析】∵拋物線的對稱軸為，∴關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
當(dāng)a＞0時，若，則-1＜m＜3；
當(dāng)a＜0時，若，則m＜-1或m＞3.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)對稱軸，以及根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求不等式的取值范圍，熟知相關(guān)計算是解題的關(guān)鍵．
3．(2020·西藏中考真題)當(dāng)﹣1≤x≤3時，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5有最大值m，則m＝_____．
【答案】10
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，可以求得m的值，本題得以解決．
【解析】∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5＝(x﹣2)2+1，∴該函數(shù)開口向上，對稱軸為x＝2，
∵當(dāng)﹣1≤x≤3時，二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5有最大值m，
∴當(dāng)x＝﹣1時，該函數(shù)取得最大值，此時m＝(﹣1﹣2)2+1＝10，故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

考向五 二次函數(shù)的平移
1．拋物線在平移的過程中，a的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點(diǎn)的位置，且與平移方向有關(guān)．
2．涉及拋物線的平移時，首先將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x–h)2+k的形式．
3．拋物線的移動主要看頂點(diǎn)的移動，y=ax2的頂點(diǎn)是(0，0)，y=a(x–h)2+k的頂點(diǎn)是(h，k)．
4．拋物線的平移口訣：自變量加減左右移，函數(shù)值加減上下移．

1．(2020·浙江衢州·中考真題)二次函數(shù)y=x2的圖象平移后經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，則下列平移方法正確的是(　　)
A．向左平移2個單位，向下平移2個單位 B．向左平移1個單位，向上平移2個單位
C．向右平移1個單位，向下平移1個單位 D．向右平移2個單位，向上平移1個單位
【答案】C
【分析】求出平移后的拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法解決問題即可．
【解析】解：A、平移后的解析式為y=(x+2)2﹣2，當(dāng)x=2時，y=14，本選項(xiàng)不符合題意．
B、平移后的解析式為y=(x+1)2+2，當(dāng)x=2時，y=11，本選項(xiàng)不符合題意．
C、平移后的解析式為y=(x﹣1)2﹣1，當(dāng)x=2時，y=0，函數(shù)圖象經(jīng)過(2，0)，本選項(xiàng)符合題意．
D、平移后的解析式為y=(x﹣2)2+1，當(dāng)x=2時，y=1，本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移問題，掌握二次函數(shù)的平移特征是解題的關(guān)鍵．
2．(2020·湖北孝感·中考真題)將拋物線向左平移1個單位長度，得到拋物線，拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，則拋物線的解析式為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平移的規(guī)律:左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式，再因?yàn)殛P(guān)于x軸對稱的兩個拋物線，自變量x的取值相同，函數(shù)值y互為相反數(shù)，由此可直接得出拋物線的解析式．
【解析】解：拋物線向左平移1個單位長度，得到拋物線：，即拋物線：;由于拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，則拋物線的解析式為：.
故選：A．
【點(diǎn)睛】主要考查了函數(shù)圖象的平移、對稱，要求熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減，上加下減.并用規(guī)律求函數(shù)解析式以及關(guān)于x軸對稱的兩個拋物線，自變量x的取值相同，函數(shù)值y互為相反數(shù)．


1．(2020·陜西中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2﹣(m﹣1)x+m(m＞1)沿y軸向下平移3個單位．則平移后得到的拋物線的頂點(diǎn)一定在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據(jù)平移規(guī)律得到平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合的取值范圍判斷新拋物線的頂點(diǎn)所在的象限即可．
【解析】解：，該拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)是，，
將其沿軸向下平移3個單位后得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，，
，，，
，
點(diǎn)，在第四象限；故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平移的性質(zhì)、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)等知識；熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
2．(2020·黑龍江哈爾濱·中考真題)將拋物線向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度，所得的拋物線為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用頂點(diǎn)式表達(dá)式，按照拋物線平移的公式即可求解．
【解析】解：將拋物線先向上平移3個單位長度，再向右平移5個單位長度后，
函數(shù)的表達(dá)式為：．故選：D．
【點(diǎn)睛】主要考查了函數(shù)圖象的平移，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．

考向六　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的綜合
拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的交點(diǎn)個數(shù)及相應(yīng)的一元二次方程根的情況都由Δ=b2–4ac決定.
1．當(dāng)Δ>0，即拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，這兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程的兩個根．
2．當(dāng)Δ=0，即拋物線與x軸有一個交點(diǎn)(即頂點(diǎn))時，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，此時一元二次方程的根即為拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
3．當(dāng)Δ0時)或在x軸的下方(a0，∴拋物線開口向上，∵拋物線經(jīng)過第四象限的點(diǎn)(1，-1)
∴方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，一個大于1另一個小于1，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖像和性質(zhì)，判斷出拋物線的圖像是解題關(guān)鍵．
2．(2020·四川中考真題)已知不等式ax+b0的解集為x2，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是(　　)
(1)2a+b＝0；(2)當(dāng)ca時，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)；
(3)當(dāng)c0時，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y＝ax+b的上方；
(4)如果b3且2a﹣mb﹣m＝0，則m的取值范圍是﹣m0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由不等式的解集得出a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，從而得出2a+b=0，即可判斷(1)；根據(jù)△=4a(a﹣c)＞0即可判斷(2)；求得拋物線的頂點(diǎn)為(1，a﹣c)即可判斷(3)；求得0＜﹣＜3，得出不等式組的解集為﹣＜m＜0即可判斷(4)．
【解析】(1)∵不等式ax+b＞0的解集為x＜2，∴a＜0，﹣=2，即b=﹣2a，∴2a+b=0，故結(jié)論正確；
(2)函數(shù)y=ax2+bx+c中，令y=0，則ax2+bx+c=0，∵b=﹣2a，∴△=b2﹣4ac=(﹣2a)2﹣4ac=4a(a﹣c)，
∵a＜0，c＞a，∴△=4a(a﹣c)＞0，
∴當(dāng)c＞a時，函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點(diǎn)，故結(jié)論錯誤；
(3)∵b=﹣2a，∴﹣=1，==c﹣a，∴拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為(1，c﹣a)，
當(dāng)x=1時，直線y=ax+b=a+b=a﹣2a=﹣a＞0當(dāng)c＞0時，c﹣a＞﹣a＞0，
∴拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)在直線y=ax+b的上方，故結(jié)論正確；
(4)∵b=﹣2a，∴由2a﹣mb﹣m=0，得到﹣b﹣mb﹣m=0，∴b=﹣，如果b＜3，則0＜﹣＜3，
∴﹣＜m＜0，故結(jié)論正確；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，由題意得到b=﹣2a是解題的關(guān)鍵．

1．(2020·云南昆明·中考真題)如圖，拋物線y＝ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x＝1，與y軸交于點(diǎn)B(0，﹣2)，點(diǎn)A(﹣1，m)在拋物線上，則下列結(jié)論中錯誤的是(　　)

A．a(chǎn)b＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正實(shí)數(shù)根在2和3之間
C．a(chǎn)＝ D．點(diǎn)P1(t，y1)，P2(t+1，y2)在拋物線上，當(dāng)實(shí)數(shù)t＞時，y1＜y2
【答案】D
【分析】由拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對稱軸方程得到b＝?2a＜0，則可對A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)在(2，0)與(3，0)之間，則根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題可對B選項(xiàng)進(jìn)行判斷；把B(0，?2)，A(?1，m)和b＝?2a代入拋物解析式可對C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的增減性對D進(jìn)行判斷．
【解析】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＜0，∴ab＜0，所以A選項(xiàng)的結(jié)論正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)在(0，0)與(﹣1，0)之間，
∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)在(2，0)與(3，0)之間，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正實(shí)數(shù)根在2和3之間，所以B選項(xiàng)的結(jié)論正確；
把B(0，﹣2)，A(﹣1，m)代入拋物線得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，∴a＝，所以C選項(xiàng)的結(jié)論正確；
∵點(diǎn)P1(t，y1)，P2(t+1，y2)在拋物線上，
∴當(dāng)點(diǎn)P1、P2都在直線x＝1的右側(cè)時，y1＜y2，此時t≥1；
當(dāng)P1在直線x＝1的左側(cè)，點(diǎn)P2在直線x＝1的右側(cè)時，y1＜y2，此時0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即＜t＜1，
∴當(dāng)＜t＜1或t≥1時，y1＜y2，所以D選項(xiàng)的結(jié)論錯誤；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根：利用二次函數(shù)圖象的對稱性確定拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到一元二次方程的根．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
2．(2020·貴州畢節(jié)·中考真題)已知的圖象如圖所示，對稱軸為直線，若，是一元二次方程的兩個根，且，，則下列說法正確的是( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函數(shù)圖象對稱軸位置及拋物線與軸交點(diǎn)的位置，分別判斷四個結(jié)論正確性．
【解析】解：，是一元二次方程的兩個根，、是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
拋物線的對稱軸為，，即，故選項(xiàng)錯誤；
由圖象可知，，，解得：，故選項(xiàng)正確；
拋物線與軸有兩個交點(diǎn)，，故選項(xiàng)錯誤；
由對稱軸可知，可知，故選項(xiàng)錯誤．故選：．
【點(diǎn)睛】主要考查二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，會利用對稱軸的值求拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的數(shù)量關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換，根的判別式的熟練運(yùn)用．

考向六　二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
在生活中，我們常會遇到與二次函數(shù)及其圖象有關(guān)的問題，解決這類問題的一般思路：首先要讀懂題意，弄清題目中牽連的幾個量的關(guān)系，并且建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，再根據(jù)題目中的已知條件建立數(shù)學(xué)模型，即列出函數(shù)關(guān)系式，然后運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)去解決實(shí)際問題．考察背景主要有：經(jīng)濟(jì)問題；物體運(yùn)動軌跡問題；拱橋問題等

1．(2020·四川綿陽·中考真題)三孔橋橫截面的三個孔都呈拋物線形，兩小孔形狀、大小完全相同．當(dāng)水面剛好淹沒小孔時，大孔水面寬度為10米，孔頂離水面1.5米；當(dāng)水位下降，大孔水面寬度為14米時，單個小孔的水面寬度為4米，若大孔水面寬度為20米，則單個小孔的水面寬度為(　　)

A．4米 B．5米 C．2米 D．7米
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的拋物線，然后即可得到大孔所在拋物線解析式，再求出頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式，將x=﹣10代入可求解．
【解析】解：如圖，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=，

設(shè)大孔所在拋物線解析式為y=ax2+，∵BC=10，∴點(diǎn)B(﹣5，0)，∴0=a×(﹣5)2+，∴a=-，
∴大孔所在拋物線解析式為y=-x2+，設(shè)點(diǎn)A(b，0)，則設(shè)頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式為y=m(x﹣b)2，∵EF=14，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-7，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(-7，-)，
∴-=m(x﹣b)2，∴x1=+b，x2=-+b，∴MN=4，∴|+b-(-+b)|=4
∴m=-，∴頂點(diǎn)為A的小孔所在拋物線的解析式為y=-(x﹣b)2，
∵大孔水面寬度為20米，∴當(dāng)x=-10時，y=-，∴-=-(x﹣b)2，∴x1=+b，x2=-+b，
∴單個小孔的水面寬度=|(+b)-(-+b)|=5(米)，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
2．(2020·湖北鄂州·中考真題)一大型商場經(jīng)營某種品牌商品，該商品的進(jìn)價為每件3元，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y(件)與售價x(元件)(x為正整數(shù))之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：
x(元/件)
4
5
6
y(件)
10000
9500
9000
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式(不求自變量的取值范圍)；(2)在銷售過程中要求銷售單價不低于成本價，且不高于15元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤和售價分別為多少元？(3)抗疫期間，該商場這種商品售價不大于15元/件時，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈m元()，捐贈后發(fā)現(xiàn)，該商場每周銷售這種商品的利潤仍隨售價的增大而增大．請直接寫出m的取值范圍．
【答案】(1)；(2)這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價為12元；(3)．
【分析】(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，代入表中的數(shù)據(jù)求解即可；
(2)設(shè)這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w，根據(jù)總利潤=單件利潤×銷售量列出函數(shù)關(guān)系式求最大值，注意x的取值范圍；(3)寫出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)當(dāng)x≤15時，利潤仍隨售價的增大而增大，可得，求解即可．
【解析】解：(1)設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
代入(4，10000)，(5，9500)可得：，解得：，
即y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
(2)設(shè)這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w，
根據(jù)題意可得：，解得：，

∵，∴當(dāng)x=12時，w有最大值，w=54000，
答：這一周該商場銷售這種商品獲得的最大利潤為54000元，售價為12元．
(3)設(shè)這一周該商場銷售這種商品獲得的利潤為w，當(dāng)每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈m元時，

由題意，當(dāng)x≤15時，利潤仍隨售價的增大而增大，可得：，解得：m≥3，
∵∴故m的取值范圍為：．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用——最大利潤問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，通過配方法找到最大值．

1．(2020·浙江紹興·中考真題)如圖1，排球場長為18m，寬為9m，網(wǎng)高為2.24m．隊員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動到最高點(diǎn)A時，高度為2.88m．即BA＝2.88m．這時水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2．(1)若球向正前方運(yùn)動(即x軸垂直于底線)，求球運(yùn)動的高度y(m)與水平距離x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x取值范圍)．并判斷這次發(fā)球能否過網(wǎng)？是否出界？說明理由；
(2)若球過網(wǎng)后的落點(diǎn)是對方場地①號位內(nèi)的點(diǎn)P(如圖1，點(diǎn)P距底線1m，邊線0.5m)，問發(fā)球點(diǎn)O在底線上的哪個位置？(參考數(shù)據(jù)：取1.4)

【答案】(1)這次發(fā)球過網(wǎng)，但是出界了，理由詳見解析；(2)發(fā)球點(diǎn)O在底線上且距右邊線0.1米處．
【分析】(1)求出拋物線表達(dá)式，再確定x＝9和x＝18時，對應(yīng)函數(shù)的值即可求解；(2)當(dāng)y＝0時，y＝﹣(x﹣7)2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5(舍去﹣5)，求出PQ＝6＝8.4，即可求解．
【解析】(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a(x﹣7)2+2.88，將x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a＝﹣，
故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣(x﹣7)2+2.88；當(dāng)x＝9時，y＝﹣(x﹣7)2+2.88＝2.8＞2.24，
當(dāng)x＝18時，y＝﹣(x﹣7)2+2.88＝0.64＞0，故這次發(fā)球過網(wǎng)，但是出界了；
(2)如圖，分別過點(diǎn)作底線、邊線的平行線PQ、OQ交于點(diǎn)Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，

當(dāng)y＝0時，y＝﹣(x﹣7)2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5(舍去﹣5)，
∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6＝8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴發(fā)球點(diǎn)O在底線上且距右邊線0.1米處.
【點(diǎn)睛】此題考查求二次函數(shù)的解析式，利用自變量求對應(yīng)的函數(shù)值的計算，勾股定理解直角三角形，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,正確理解題意，明確“能否過網(wǎng)”，“是否出界”詞語的含義找到解題的方向是解答此題的關(guān)鍵.
2．(2020·貴州貴陽·中考真題)2020年體育中考，增設(shè)了考生進(jìn)入考點(diǎn)需進(jìn)行體溫檢測的要求．防疫部門為了解學(xué)生錯峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計人數(shù)(人)與時間(分鐘)的變化情況，數(shù)據(jù)如下表：(表中9-15表示)
時間(分鐘)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9~15
人數(shù)(人)
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
(1)根據(jù)這15分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計人數(shù)與時間的變化規(guī)律，利用初中所學(xué)函數(shù)知識求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開始測量體溫，體溫檢測點(diǎn)有2個，每個檢測點(diǎn)每分鐘檢測20人，考生排隊測量體溫，求排隊人數(shù)最多時有多少人？全部考生都完成體溫檢測需要多少時間？(3)在(2)的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個檢測點(diǎn)？
【答案】(1)；(2)隊人數(shù)最多時是490人，全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘；(3)至少增加2個檢測點(diǎn)
【分析】(1)先根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化趨勢猜想：①當(dāng)時，是的二次函數(shù)．根據(jù)提示設(shè)出拋物線的解析式，再從表中選擇兩組對應(yīng)數(shù)值，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再檢驗(yàn)其它數(shù)據(jù)是否滿足解析式，從而可得答案； (2)設(shè)第分鐘時的排隊人數(shù)是，列出與第分鐘的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求排隊的最多人數(shù)，利用檢測點(diǎn)的檢測人數(shù)列方程求解檢測時間；
(3)設(shè)從一開始就應(yīng)該增加個檢測點(diǎn)，根據(jù)題意列出不等式，利用不等式在正整數(shù)解可得答案．
【解析】解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化趨勢可知：
①當(dāng)時，是的二次函數(shù)．∵當(dāng)時，，∴二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為．
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
將它們分別代入關(guān)系式得解得．∴二次函數(shù)的關(guān)系式為．
將表格內(nèi)的其他各組對應(yīng)值代入此關(guān)系式，均滿足．
②當(dāng)時，．∴與的關(guān)系式為．
(2)設(shè)第分鐘時的排隊人數(shù)是，根據(jù)題意，得
①當(dāng)時，．∴當(dāng)時，．
②當(dāng)時，，隨的增大而減小，∴．
∴排隊人數(shù)最多時是490人．要全部考生都完成體溫檢測，根據(jù)題意，
得，解得．∴排隊人數(shù)最多時是490人，全部考生都完成體溫檢測需要20.25分鐘．
(3)設(shè)從一開始就應(yīng)該增加個檢測點(diǎn)，根據(jù)題意，得，解得．
∵是整數(shù)，∴的最小整數(shù)是2．∴一開始就應(yīng)該至少增加2個檢測點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查的根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)探究各數(shù)據(jù)符合的函數(shù)形式，同時考查待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)，同時考查一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

考向七 存在性問題與動點(diǎn)問題
此類問題一般是通過分析動點(diǎn)在幾何圖形邊上的運(yùn)動情況，確定出有關(guān)動點(diǎn)函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點(diǎn)在哪條邊上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運(yùn)動過程中對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判別圖象的變化．

1．(2020·山東菏澤·中考真題)如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，，，直線是拋物線的對稱軸，在直線右側(cè)的拋物線上有一動點(diǎn)，連接，，，．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在軸的下方，當(dāng)?shù)拿娣e是時，求的面積；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)，以為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)；(2)；(3)存在，或或．
【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法可求得函數(shù)解析式；(2)先求出函數(shù)的對稱軸和直線BC的函數(shù)表達(dá)式，過D作DE⊥OB交OB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E，用式子表示出的面積從而求出D的坐標(biāo)，進(jìn)一步可得的面積；(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，結(jié)合對稱軸和點(diǎn)D坐標(biāo)易得點(diǎn)N的坐標(biāo)．
【解析】解：(1)∵OA=2，OB=4，∴A(-2，0)，B(4，0)，
將A(-2，0)，B(4，0)代入得：，解得：
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：；
(2)由(1)可得拋物線的對稱軸l：，，
設(shè)直線BC：，可得：解得，∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：，
如圖1，過D作DE⊥OB交OB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)E，

設(shè)，則，∴，
由題意可得整理得解得(舍去)，∴，
∴ ∴；
(3)存在 由(1)可得拋物線的對稱軸l：，由(2)知，
①如圖2 當(dāng)時，四邊形BDNM即為平行四邊形，

此時MB=ND=4，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，四邊形BDNM即為平行四邊形，
∴由對稱性可知N點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1，將x=-1代入 解得
∴此時，四邊形BDNM即為平行四邊形．
②如圖3 當(dāng)時，四邊形BDMN為平行四邊形，
過點(diǎn)N做NP⊥x軸，過點(diǎn)D做DF⊥x軸，由題意可得NP=DF
∴此時N點(diǎn)縱坐標(biāo)為 將y=代入，得，解得：
∴此時或，四邊形BDMN為平行四邊形．
綜上所述， 或或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合，首先要掌握待定系數(shù)法求解析式，其次要添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，靈活運(yùn)用面積公式和平行四邊形的判定和性質(zhì)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解題．
2．(2020·安徽中考真題)如圖和都是邊長為的等邊三角形，它們的邊在同一條直線上，點(diǎn)，重合，現(xiàn)將沿著直線向右移動，直至點(diǎn)與重合時停止移動．在此過程中，設(shè)點(diǎn)移動的距離為，兩個三角形重疊部分的面積為，則隨變化的函數(shù)圖像大致為( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)圖象可得出重疊部分三角形的邊長為x,根據(jù)特殊角三角函數(shù)可得高為,由此得出面積y是x的二次函數(shù),直到重合面積固定,再往右移動重疊部分的邊長變?yōu)?4－x),同時可得
【解析】C點(diǎn)移動到F點(diǎn),重疊部分三角形的邊長為x,由于是等邊三角形,則高為,
面積為y=x··=,
B點(diǎn)移動到F點(diǎn),重疊部分三角形的邊長為(4－x),高為,
面積為y=(4－x)··=,
兩個三角形重合時面積正好為.由二次函數(shù)圖象的性質(zhì)可判斷答案為A,故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查三角形運(yùn)動面積和二次函數(shù)圖像性質(zhì),關(guān)鍵在于通過三角形面積公式結(jié)合二次函數(shù)圖形得出結(jié)論.

1．(2020·浙江寧波·初三月考)如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)，，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)是x軸上的一動點(diǎn)，軸，交直線于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．
(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)①若點(diǎn)P僅在線段上運(yùn)動，如圖1．求線段的最大值；
②若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】(1)；(2)①，②存在，
【分析】(1)把代入中求出b，c的值即可；
(2)①由點(diǎn)得，從而得，整理，化為頂點(diǎn)式即可得到結(jié)論；
②分MN=MC和兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于m的方程，求解即可．
【解析】解：(1)把代入中，
得 解得∴．
(2)設(shè)直線的表達(dá)式為，把代入．
得，解這個方程組，得 ∴．
∵點(diǎn)是x軸上的一動點(diǎn)，且軸．∴．
∴．
∵，∴此函數(shù)有最大值．又∵點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，且
∴當(dāng)時，有最大值．
②∵點(diǎn)是x軸上的一動點(diǎn)，且軸．∴．
∴
(i)當(dāng)以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，

∵C(0，-3)∴MC= ∴整理得，
∵，∴，解得，，
∴當(dāng)時，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=∴Q(0，)；
當(dāng)m=時，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=∴Q(0，)；
(ii)若，如圖，則有整理得，
∵，∴，解得，，
當(dāng)m=-1時，MN=CQ=2，∴Q(0，-1)，
當(dāng)m=-5時，MN=-10＜0(不符合實(shí)際，舍去)
綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解(1)的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解(2)的關(guān)鍵是利用線段的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，解(3)的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏。
2．(2020·遼寧盤錦·中考真題)如圖，四邊形是邊長為1的正方形，點(diǎn)是射線上的動點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，連接，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接．設(shè)，四邊形的面積為，下列圖象能正確反映出與的函數(shù)關(guān)系的是( )
A．B．C．D．

【答案】B
【分析】連接DC，根據(jù)已知條件證明所求得四邊形是平行四邊形，從而可得，再分類討論即可得到結(jié)果；
【解析】連接DC，如圖所示，由題可得DE=GE，AE=AF，∠DAE=∠BAF=90°,

∴△DAE≌△BAF，∴DE=BF,∠EDA=∠FBA,又∵DE=EG,∴GE=BF,
∵∠GEB+∠DEA=∠EDA+∠DEA =90°,∴∠GEB=∠EDA，∴∠GEB=∠FBA，
∴GE//BF,且GE=BF，∴四邊形GEFB是平行四邊形，
∵，當(dāng) ∴，，，
∴，
當(dāng)x＞1時，∴，，，
∴，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的判斷，準(zhǔn)確根據(jù)圖象進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．


1．(2020·山東棗莊·中考模擬)拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2，4)，則代數(shù)式的值為( )
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【解析】∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)(2，4)，∴，即．
∴．故選C．
2．(2020·黑龍江綏化·中考真題)將拋物線向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物線的解析式是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】按照“左加右減，上加下減”的平移法則，變換解析式，然后化簡即可．
【解析】將拋物線向左平移3個單位長度，得到，
再向下平移2個單位長度，得到，整理得，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，掌握“左加右減，上加下減”的法則是解題關(guān)鍵．
3．(2020·四川甘孜·中考真題)如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，B兩點(diǎn)，下列說法錯誤的是( )

A． B．圖象的對稱軸為直線 C．點(diǎn)B的坐標(biāo)為 D．當(dāng)時，y隨x的增大而增大
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：由圖可知二次函數(shù)的圖象的開向下，所以a0時，二次函數(shù)與x軸有兩個交點(diǎn)，一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)?

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)24 概率：

這是一份中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)24 概率，共50頁。試卷主要包含了學(xué)會運(yùn)用函數(shù)與方程思想，學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，要學(xué)會搶得分點(diǎn)，學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想，學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想，10等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)23 統(tǒng)計：

這是一份中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)23 統(tǒng)計，共53頁。試卷主要包含了學(xué)會運(yùn)用函數(shù)與方程思想，學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，要學(xué)會搶得分點(diǎn)，學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想，學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想，71，33等內(nèi)容，歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)17 圓：

這是一份中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)17 圓，共68頁。試卷主要包含了學(xué)會運(yùn)用函數(shù)與方程思想，學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，要學(xué)會搶得分點(diǎn)，學(xué)會運(yùn)用等價轉(zhuǎn)換思想，學(xué)會運(yùn)用分類討論的思想，轉(zhuǎn)化思想等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)01 實(shí)數(shù)

中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過 考點(diǎn)01 實(shí)數(shù)
初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 考點(diǎn)11 二次函數(shù)-中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過

初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 考點(diǎn)11 二次函數(shù)-中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過
初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 考點(diǎn)11 二次函數(shù)-備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過

初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 考點(diǎn)11 二次函數(shù)-備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過
考點(diǎn)11 二次函數(shù)-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過（含答案解析）試卷

考點(diǎn)11 二次函數(shù)-備戰(zhàn)2021年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過（含答案解析）試卷
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部