?中考數(shù)學總復(fù)習六大策略
1、學會運用函數(shù)與方程思想。
從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，適當設(shè)定未知數(shù)，把所研究的數(shù)學問題中已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組的數(shù)學模型，從而使問題得到解決的思維方法
2、學會運用數(shù)形結(jié)合思想。
數(shù)形結(jié)合思想是指從幾何直觀的角度,利用幾何圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，尋求代數(shù)問題的解決方法（以形助數(shù)），或利用數(shù)量關(guān)系來研究幾何圖形的性質(zhì)，解決幾何問題（以數(shù)助形）的一種數(shù)學思想。
3、要學會搶得分點。
一道中考數(shù)學壓軸題解不出來，不等于“一點不懂、一點不會”，要將整道題目解題思路轉(zhuǎn)化為得分點。
4、學會運用等價轉(zhuǎn)換思想。
在研究數(shù)學問題時，我們通常是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。
5、學會運用分類討論的思想。
如果不注意對各種情況分類討論，就有可能造成錯解或漏解，縱觀近幾年的中考壓軸題分類討論思想解題已成為新的熱點。
6、轉(zhuǎn)化思想:
體現(xiàn)在數(shù)學上也就是要把難的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，把未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題。
常見的轉(zhuǎn)化要領(lǐng)有：
（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為根基定理、根基公式或根基圖形問題。
（2）換元法：運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較龐大的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的根基問題。
（3）數(shù)形結(jié)正當：研究原問題中數(shù)量干系（解析式）與空間形式（圖形)干系，通過相互調(diào)動得到轉(zhuǎn)化途徑。
（4）等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，到達化歸的目的
（5）特殊化要領(lǐng)：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題，使結(jié)論適合原問題。
（6）結(jié)構(gòu)法：“結(jié)構(gòu)”一個符合的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題。
（7）坐標法：以坐標系為工具，用計較要領(lǐng)解決幾許問題也是轉(zhuǎn)化要領(lǐng)的一個重要途徑。
考點05 一元二次方程

本考點內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達定理(根與系數(shù)的關(guān)系)、一元二次方程的應(yīng)用題為主,既有單獨考查,也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題,年年考查,分值為20分左右,預(yù)計2021年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型,為避免丟分,學生應(yīng)扎實掌握.

一、一元二次方程的概念
1．一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式：(其中為常數(shù)，)，其中分別叫做二次項、一次項和常數(shù)項，分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．
注意：(1)在一元二次方程的一般形式中要注意，因為當時，不含有二次項，即不是一元二次方程；(2)一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
二、一元二次方程的解法
1．直接開平方法：適合于或形式的方程．
2．配方法：(1)化二次項系數(shù)為1；(2)移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；
(3)方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；(4)把方程整理成的形式；
(5)運用直接開平方法解方程．
3．公式法：(1)把方程化為一般形式，即；(2)確定的值；(3)求出的值；(4)將的值代入即可．
4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系
1．根的判別式：一元二次方程是否有實數(shù)根，由的符號來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．
2．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系
(1)當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)當時，方程有1個(兩個相等的)實數(shù)根；
(3)當時，方程沒有實數(shù)根．
3．根與系數(shù)關(guān)系：對于一元二次方程(其中為常數(shù)，)，設(shè)其兩根分別為，，則，．
四、利用一元二次方程解決實際問題
列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟類和面積類問題是?？純?nèi)容．
1．增長率等量關(guān)系
(1)增長率=增長量÷基礎(chǔ)量．(2)設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當為平均下降率時，則有．
2．利潤等量關(guān)系：(1)利潤=售價－成本．(2)利潤率=×100％．
3．面積問題
(1)類型1：如圖1所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．
(2)類型2：如圖2所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．
(3)類型3：如圖3所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．

圖1 圖2 圖3
4. 碰面問題(循環(huán)問題)
(1)重疊類型(雙循環(huán))：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m。
∵1支球隊要和剩下的(n－1)支球隊比賽，∴1支球隊需要比(n－1)場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n(n－1)場
∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分.
∴m=12n(n?1)
(2)不重疊類型(單循環(huán))：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m。
∵1支球隊要和剩下的(n－1)支球隊比賽，∴1支球隊需要比(n－1)場
∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n(n－1)場.
∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.
∴m=n(n?1)

考向一 一元二次方程的解
緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解。

1．(2020·江蘇常州·中考真題)若關(guān)于x的方程有一個根是1，則_________．
【答案】1
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=1代入方程得到關(guān)于a的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解析】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，解得a=1．故答案是：1．
【點睛】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．

1．(2020·甘肅金昌·中考真題)已知是一元二次方程的一個根，則的值為( )
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【分析】首先把x=1代入，解方程可得m1=2，m2=-1，再結(jié)合一元二次方程定義可得m的值
【解析】解：把x=1代入得：=0，解得：m1=2，m2=﹣1
∵是一元二次方程，∴ ，∴，∴，故選：B．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的解和定義，關(guān)鍵是注意方程二次項的系數(shù)不等于0．

考向二 解一元二次方程
一元二次方程的常見解法及適用情形：
一般形式：
直接開平方法
形如的方程，可直接開方求解，則，
因式分解法
可化為的方程，用因式分解法求解，則，
配方法
若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為，再直接開方求解
公式法
利用求根公式：

1．(2020·遼寧營口·中考真題)一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解為(　　)
A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝﹣2，x2＝3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝2，x2＝3
【答案】D
【分析】利用因式分解法解方程．
【解析】解：(x﹣2)(x﹣3)＝0， x﹣2＝0或x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝3．故選：D．
【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
2．(2020·山東聊城·中考真題)用配方法解一元二次方程，配方正確的是( )．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照配方法的步驟進行求解即可得答案.
【解析】解： 移項得，二次項系數(shù)化1的，
配方得即故選：A
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟為(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；(2)把二次項的系數(shù)化為1；(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．
3．(2019·西藏中考真題)一元二次方程的根是_____．
【答案】．
【分析】先計算判別式的值，然后利用求根公式解方程．
【解析】，a=1，b=－1，c=－1，，
，所以，故答案為：．

1．(2020·山東泰安·中考真題)將一元二次方程化成(a，b為常數(shù))的形式，則a，b的值分別是( )
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【分析】根據(jù)配方法步驟解題即可．
【解析】解：移項得，配方得，
即，∴a=-4，b=21．故選：A
【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，解題關(guān)鍵是配方：在二次項系數(shù)為1時，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
2．(2020·四川樂山·中考真題)已知，且．則的值是_________．
【答案】4或-1
【分析】將已知等式兩邊同除以進行變形，再利用換元法和因式分解法解一元二次方程即可得．
【解析】將兩邊同除以得：
令 則 因式分解得：解得或
即的值是4或 故答案為：4或．
【點睛】本題考查了利用換元法和因式分解法解一元二次方程，將已知等式進行正確變形是解題關(guān)鍵．
3．(2020·湖南張家界·中考真題)已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程的兩根，則該等腰三角形的底邊長為( )
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【答案】A
【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論邊長，即可得出答案．
【解析】解：x2－6x+8=0 (x－4)(x－2)=0 解得：x=4或x=2，
當?shù)妊切蔚娜厼?，2，4時，不符合三角形三邊關(guān)系定理，此時不能組成三角形；
當?shù)妊切蔚娜厼?，4，4時，符合三角形三邊關(guān)系定理，此時能組成三角形，
所以三角形的底邊長為2，故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，解一元二次方程，能求出方程的解并能夠判斷三角形三邊存在的條件是解此題的關(guān)鍵．

考向三 一元二次方程根的判別式
對于方程，，①若，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②若，方程有兩個相等的實數(shù)根；③若，方程沒有實數(shù)根．

1．(2020·山東濱州·中考真題)對于任意實數(shù)k，關(guān)于x的方程的根的情況為( )
A．有兩個相等的實數(shù)根 B．沒有實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法判定
【答案】B
【分析】先根據(jù)根的判別式求出“△”的值，再根據(jù)根的判別式的內(nèi)容判斷即可．
【解析】解：，
，
不論k為何值，，即，所以方程沒有實數(shù)根，故選：B．
【點睛】本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程ax2-bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a≠0)，當△=b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，當△=b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，當△=b2-4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．
2．(2020·黑龍江雞西·中考真題)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，則實數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．且
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式列不等式，再解不等式即可．
【解析】解： 關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，

故選B．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，掌握一元二次方程的根的判別式是解題的關(guān)鍵．
3．(2020·湖南懷化·中考真題)已知一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得方程的判別式△=0，進而可得關(guān)于k的方程，解方程即得答案．
【解析】解：由題意，得：，解得：．故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，屬于基礎(chǔ)題型，熟知一元二次方程的根的判別式與方程根的個數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．


1．(2020·湖北荊州·中考真題)定義新運算，對于任意實數(shù)a，b滿足，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算，例如，若(k為實數(shù)) 是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是( )
A．有一個實根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有兩個相等的實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
【答案】B
【分析】將按照題中的新運算方法展開，可得，所以可得，化簡得：，，可得，即可得出答案.
【解析】解：根據(jù)新運算法則可得：，
則即為，整理得：，則，
可得：
，；，方程有兩個不相等的實數(shù)根；故答案選：B.
【點睛】本題考查新定義運算以及一元二次方程根的判別式.注意觀察題干中新定義運算的計算方法，不能出錯；在求一元二次方程根的判別式時，含有參數(shù)的一元二次方程要尤其注意各項系數(shù)的符號.
2．(2020·安徽中考真題)下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)根的判別式逐一判斷即可．
【解析】A.變形為，此時△=4-4=0，此方程有兩個相等的實數(shù)根，故選項A正確；
B.中△=0-4=-4＜0，此時方程無實數(shù)根，故選項B錯誤；
C.整理為，此時△=4+12=16＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項錯誤；
D.中，△=4＞0，此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選項D錯誤.故選：A.
【點睛】本題主要考查根的判別式，熟練掌握根的情況與判別式間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．(2020·四川攀枝花·中考真題)若關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，則的值可以為( )．
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根，判斷出△＜0，求出m的取值范圍，再找出符合條件的m的值．
【解析】解：∵關(guān)于的方程沒有實數(shù)根，
∴△=＜0，解得：，故選項中只有A選項滿足，故選A.
【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，需要掌握一元二次方程沒有實數(shù)根相當于判別式小于零.

考向四 根與系數(shù)關(guān)系
設(shè)一元二次方程的兩根分別為，，則，．

1．(2020·江蘇南京·中考真題)關(guān)于x的方程(為常數(shù))根的情況下，下列結(jié)論中正確的是( )
A．兩個正根 B．兩個負根 C．一個正根，一個負根 D．無實數(shù)根
【答案】C
【分析】先將方程整理為一般形式，再根據(jù)根的判別式得出方程由兩個不等的實數(shù)根，然后又根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的正負即可．
【解析】解：，整理得：，
∴，∴方程有兩個不等的實數(shù)根，設(shè)方程兩個根為、，
∵，∴兩個異號，而且負根的絕對值大．故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式△=b2-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：，
2．(2019·廣東廣州·中考真題)關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，則k的值( )
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】將化簡可得，，
利用韋達定理，，解得，k＝±2，由題意可知△＞0，
可得k＝2符合題意.
【解析】解：由韋達定理，得：＝k－1，,
由，得：，
即，所以，,
化簡，得：，解得：k＝±2，
因為關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，
所以，△＝＝〉0，k＝－2不符合，所以，k＝2故選D.
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)鍵.
3．(2020·四川宜賓·中考真題)一元二次方程的兩根為，則_____
【答案】
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系表示出和即可；
【解析】∵，∴，，，
∴，，∴，
=，=．故答案為．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，準確利用知識點化簡是解題的關(guān)鍵．

1．(2019·四川成都·中考真題)已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且，則的值為____.
【答案】-2
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.
【解析】∵x1+x2=-2，x1.x2=k-1,=4-3(k-1)=13,K=-2.故答案為:-2.
【點睛】此題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用.
2．(2019·廣西玉林·中考真題)若一元二次方程的兩根為，，則的值是( )
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.
【解析】根據(jù)題意得，，
所以．故選A．
【點睛】此題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的性質(zhì).
3．(2020·湖北黃石·中考真題)已知：關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；(2)設(shè)方程的兩根為、，且滿足，求m的值．
【答案】(1)m≥0(2)9
【分析】(1)根據(jù)題意可得△＞0，再代入相應(yīng)數(shù)值解不等式即可；
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得=-，=-2，根據(jù)可得關(guān)于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【解析】(1)根據(jù)題意得△＝()2?4×(?2)≥0，且m≥0，
解得m≥?8且m≥0．故m的取值范圍是m≥0；
(2)方程的兩根為、，∴=-，=-2
∵∴ 即m+8=17解得m＝9∴m的值為9．
【點睛】本題主要考查了根的判別式，以及根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：(1)△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)△＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)△＜0?方程沒有實數(shù)根．以及根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根時，x1＋x2＝?，x1?x2＝．

考向五 一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用
列一元二次方程解實際問題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程．其中分析實際問題是解決問題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實際問題．

1．(2020·湖北鄂州·中考真題)目前以等為代表的戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展．某市2019年底有用戶2萬戶，計劃到2021年底全市用戶數(shù)累計達到8.72萬戶．設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長率為，則值為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先用含x的代數(shù)式表示出2020年底、2021年底用戶的數(shù)量，然后根據(jù)2019年底到2021年底這三年的用戶數(shù)量之和=8.72萬戶即得關(guān)于x的方程，解方程即得答案．
【解析】解：設(shè)全市用戶數(shù)年平均增長率為，根據(jù)題意，得：，
解這個方程，得：，(不合題意，舍去)．∴x的值為40%．故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用之增長率問題，屬于?？碱}型，正確理解題意、找準相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．(2020·貴州黔南·中考真題)在2020年新冠肺炎疫情期間，某中學響應(yīng)政府有“停課不停學”的號召，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源進行網(wǎng)上學習，九年級1班的全體同學在自主完成學習任務(wù)的同時，彼此關(guān)懷，全班每兩個同學都通過一次電話，互相勉勵，共同提高，如果該班共有48名同學，若每兩名同學之間僅通過一次電話，那么全同學共通過多少次電話呢？我們可以用下面的方式來解決問題．用點分表示第1名同學、第2名同學、第3名同學…第48名同學，把該班級人數(shù)x與通電話次數(shù)y之間的關(guān)系用如圖模型表示：

(1)填寫上圖中第四個圖中y的值為_______，第五個圖中y的值為_______．
(2)通過探索發(fā)現(xiàn)，通電話次數(shù)y與該班級人數(shù)x之間的關(guān)系式為_____，當時，對應(yīng)的______．
(3)若九年級1班全體女生相互之間共通話190次，問：該班共有多少名女生？
【答案】(1)10，15；(2)，1128；(3)20
【分析】(1)觀察圖形，可以找出第四和第五個圖中的y值；
(2)根據(jù)y值隨x值的變化，可找出，再代入可求出當時對應(yīng)的y值；
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論結(jié)合九年級1班全體女生相互之間共通話190次，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解析】解：(1)觀察圖形，可知：第四個圖中y的值為10，第五個圖中y的值為15．故答案為：10；15．
(2)∵，∴，
當時，．故答案為：；1128．
(3)依題意，得：，化簡，得：，
解得：(不合題意，舍去)．答：該班共有20名女生．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及圖形的變化規(guī)律，觀察圖形找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

1．(2020·湖南衡陽·中考真題)如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為( )

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個矩形，根據(jù)種植的面積為600列出方程即可．
【解析】解：如圖，設(shè)小道的寬為，則種植部分的長為，寬為
由題意得：．故選C．

【點睛】考查一元二次方程的應(yīng)用；利用平移的知識得到種植面積的形狀是解決本題的突破點；得到種植面積的長與寬是解決本題的關(guān)鍵．
2．(2020·山東濱州·中考真題)某水果商店銷售一種進價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500千克；若售價在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克．
(1)當售價為55元/千克時，每月銷售水果多少千克？(2)當月利潤為8750元時，每千克水果售價為多少元?(3)當每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？
【答案】(1)450千克；(2)當月銷售利潤為元時，每千克水果售價為元或元；(3)當該優(yōu)質(zhì)水果每千克售價為元時，獲得的月利潤最大
【分析】(1)根據(jù)銷售量的規(guī)律：500減去減少的數(shù)量即可求出答案；(2)設(shè)每千克水果售價為元，根據(jù)題意列方程解答即可；(3)設(shè)月銷售利潤為元，每千克水果售價為元，根據(jù)題意列函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)頂點式函數(shù)關(guān)系式的性質(zhì)解答即可．
【解析】解：當售價為元/千克時，每月銷售量為千克.
設(shè)每千克水果售價為元，由題意，得
即整理，得
配方，得解得
當月銷售利潤為元時，每千克水果售價為元或元
設(shè)月銷售利潤為元，每千克水果售價為元，由題意，得
即配方，得
，當時，有最大值當該優(yōu)質(zhì)水果每千克售價為元時，獲得的月利潤最大．
【點睛】此題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，頂點式二次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意，根據(jù)題意對應(yīng)的列方程或是函數(shù)關(guān)系式進行解答，并正確計算．
3．(2020·湖北宜昌·中考真題)資料：公司營銷區(qū)域面積是指公司營銷活動范圍內(nèi)的地方面積，公共營銷區(qū)域面積是指兩家及以上公司營銷活動重疊范圍內(nèi)的地方面積．
材料：某地有A，B兩家商貿(mào)公司(以下簡稱A，B公司)．去年下半年A，B公司營銷區(qū)域面積分別為m平方千米，n平方千米，其中，公共營銷區(qū)域面積與A公司營銷區(qū)域面積的比為；今年上半年，受政策鼓勵，各公司決策調(diào)整，A公司營銷區(qū)域面積比去年下半年增長了，B公司營銷區(qū)域面積比去年下半年增長的百分數(shù)是A公司的4倍，公共營銷區(qū)域面積與A公司營銷區(qū)域面積的比為，同時公共營銷區(qū)域面積與A，B兩公司總營銷區(qū)域面積的比比去年下半年增加了x個百分點．
問題：(1)根據(jù)上述材料，針對去年下半年，提出一個你喜歡的數(shù)學問題(如求去年下半年公共營銷區(qū)域面積與B公司營銷區(qū)域面積的比)，并解答；
(2)若同一個公司去年下半年和今年上半年每平方千米產(chǎn)生的經(jīng)濟收益持平，且A公司每半年每平方千米產(chǎn)生的經(jīng)濟收益均為B公司的1.5倍，求去年下半年與今年上半年兩公司總經(jīng)濟收益之比．
【答案】(1)見解析；(2)55:72
【分析】(1)根據(jù)題意任意寫出問題解答即可.
(2)根據(jù)題意列出等式，解出增長率再代入A，B的收益中計算即可.
【解析】解(1)問題1：求去年下半年公共營銷區(qū)域面積與B公司營銷區(qū)域面積的比
解答：
問題2：A公司營銷區(qū)域面積比B公司營銷區(qū)域的面積多多少？解答：
問題3：求去年下半年公共營銷區(qū)域面積與兩個公司總營銷區(qū)域面積的比
解答：
(2)法一
法二
法三：
解得，(舍去)
設(shè)B公司每半年每平方千米產(chǎn)生的經(jīng)濟收益為a，則A公司每半年每平方千米產(chǎn)生的經(jīng)濟收益為
今年上半年A，B公司產(chǎn)生的總經(jīng)濟收益為
去年下半年A，B公司產(chǎn)生的總經(jīng)濟收益為
去年下半年與今年上半年兩公司總經(jīng)濟收益之比為
【點睛】本題考查一元二次方程增長率的問題,關(guān)鍵在于理解題意列出等式方程.

















1．(2019·四川遂寧·中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程有一個根為，則a的值為( )
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，再將代入原式，即可得到答案.
【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個根為，
∴，，則a的值為：．故選D．
【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義.
2．(2020·上海中考真題)用換元法解方程+=2時，若設(shè)=y，則原方程可化為關(guān)于y的方程是(　　　)
A．y2﹣2y+1=0 B．y2+2y+1=0 C．y2+y+2=0 D．y2+y﹣2=0
【答案】A
【分析】方程的兩個分式具備倒數(shù)關(guān)系，設(shè)=y，則原方程化為y+=2，再轉(zhuǎn)化為整式方程y2-2y+1=0即可求解．
【解析】把=y代入原方程得：y+=2，轉(zhuǎn)化為整式方程為y2﹣2y+1=0．故選：A．
【點睛】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．
3．(2020·四川雅安·中考真題)如果關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么的取值范圍是( )
A． B．且 C．且 D．
【答案】C
【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有兩個實數(shù)根，知△=(-3)2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有兩個實數(shù)根，
∴△=(-3)2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故選：C．
【點睛】本題主要考查根的判別式與一元二次方程的定義，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．
4．(2020·湖北隨州·中考真題)將關(guān)于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如…，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得，代入即可得出答案．
【解析】∵，∴，，
∴=====，
∵，且，∴，∴原式=，故選：C．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是會將四次先降為二次，再將二次降為一次．
5．(2020·廣西河池·中考真題)某年級舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共要比賽36場，則參加此次比賽的球隊數(shù)是(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【分析】根據(jù)球賽問題模型列出方程即可求解．
【解析】解：設(shè)參加此次比賽的球隊數(shù)為x隊，根據(jù)題意得：x(x﹣1)＝36，
化簡，得x2﹣x﹣72＝0，解得x1＝9，x2＝﹣8(舍去)，
答：參加此次比賽的球隊數(shù)是9隊．故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程應(yīng)用問題中的球賽問題．
6．(2020·河南中考真題)國家統(tǒng)計局統(tǒng)計數(shù)據(jù) 顯示，我國快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加．2017年至2019年我國快遞業(yè)務(wù)收入由億元增加到億元．設(shè)我國2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為．則可列方程為( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)我國2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為，根據(jù)增長率的定義即可列出一元二次方程．
【解析】設(shè)我國2017年至2019年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為，
∵2017年至2019年我國快遞業(yè)務(wù)收入由億元增加到億元
即2019年我國快遞業(yè)務(wù)收入為億元，∴可列方程：，故選C．
【點睛】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系得到方程．
7．(2020·山西中考真題)如圖是一張長，寬的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分(陰影部分)可制成底面積是的有蓋的長方體鐵盒．則剪去的正方形的邊長為______．

【答案】
【分析】根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù),列出三組等式解出即可．
【解析】設(shè)底面長為a,寬為b,正方形邊長為x,由題意得:,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．解得x=2或x=9(舍去)．故答案為2．
【點睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,關(guān)鍵在于不怕設(shè)多個未知數(shù),利用代數(shù)表示列出方程．
8．(2019·山東威?！ぶ锌颊骖})已知，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是( )
A．2023 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【分析】根據(jù)題意可知b=3-b2，a+b=-1，ab=-3，所求式子化為a2-b+2019=a2-3+b2+2019=(a+b)2-2ab+2016即可求解.
【解析】，是方程的兩個實數(shù)根，∴，，，
∴；故選A．
【點睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系將所求式子進行化簡代入是解題的關(guān)鍵．
9．(2020·甘肅天水·中考真題)一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程的根，則該三角形的周長為_______．
【答案】13
【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長，則該三角形的
周長可求．
【解析】解：∵x2-8x+12=0，∴，∴x1=2，x2=6，
∵三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2-8x+12=0的根，當x=2時，2+2＜5，不符合題意，
∴三角形的第三邊長是6，∴該三角形的周長為：2+5+6=13．故答案為：13．
【點睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
10．(2019·湖北咸寧·中考真題)若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之即可得出實數(shù)的取值范圍．
【解析】關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，解得： 故選．
【點睛】本題考查了根的判別式，牢記“當時，方程有實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
11．(2020·浙江湖州·中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是(　　)
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根 D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)b的取值有關(guān)
【答案】A
【分析】先計算出判別式的值，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)判斷△＞0，然后利用判別式的意義對各選項進行判斷．
【解析】解：∵△＝b2﹣4×(﹣1)＝b2+4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．
【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．
12．(2020·湖北省·中考真題)關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為( )
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【分析】通過根與系數(shù)之間的關(guān)系得到，，由可求出m的值，通過方程有實數(shù)根可得到，從而得到m的取值范圍，確定m的值．
【解析】解：∵方程有兩個實數(shù)根，，
∴，，
∵，∴，
整理得，，解得，，，
若使有實數(shù)根，則，
解得，，所以，故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系和跟的判別式，注意使一元二次方程有實數(shù)根的條件是解題的關(guān)鍵．
13．(2020·貴州畢節(jié)·中考真題)關(guān)于的一元二次方程有一個根是，則的值是_______．
【答案】1
【分析】把方程的根代入原方程得到，解得k的值，再根據(jù)一元二次方程成立滿足的條件進行取舍即可．
【解析】∵方程是一元二次方程，∴k+2≠0，即k≠-2；
又0是該方程的一個根，∴，解得，，，由于k≠-2，所以，k=1．答案為：1．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解．解此類題時，要擅于觀察已知的是哪些條件，從而有針對性的選擇解題方法．同時要注意一元二次方程成立必須滿足的條件，這是容易忽略的地方．
14．(2019·四川瀘州·中考真題)已知，是一元二次方程的兩實根，則的值是_____．
【答案】16
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得， ，然后把所求式子利用多項式乘法法則展開后代入進行計算即可.
【解析】，是一元二次方程的兩實根，， ，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
15．(2019·四川眉山·中考真題)設(shè)、是方程的兩個實數(shù)根，則的值為_____．
【答案】-2017
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，將其代入中即可得出結(jié)論．
【解析】∵、是方程的兩個實數(shù)根，∴，，
∴．故答案為：-2017．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．
16．(2020·四川瀘州·中考真題)已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值是_________．
【答案】2
【分析】由已知結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得：=4，= -7，=，代入可得答案.
【解析】解：∵是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴=4，= -7，
∴===2，故答案為：2．
【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題
17．(2020·廣西中考真題)參加足球聯(lián)賽的每兩支球隊之間都要進行兩場比賽，共要比賽110場，設(shè)參加比賽的球隊有x支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是(　　)
A．x(x+1)＝110 B．x(x﹣1)＝110 C．x(x+1)＝110 D．x(x﹣1)＝110
【答案】D
【分析】設(shè)有x個隊參賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場場比賽，共要比賽110場，可列出方程．
【解析】解：設(shè)有x個隊參賽，則x(x﹣1)＝110．故選：D．
【點睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系列一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
18．(2020·湖南中考真題)閱讀理解：對于x3﹣(n2+1)x+n這類特殊的代數(shù)式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣(n2+1)x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x(x2﹣n2)﹣(x﹣n)＝x(x﹣n)(x+n)﹣(x﹣n)＝(x﹣n)(x2+nx﹣1)．
理解運用：如果x3﹣(n2+1)x+n＝0，那么(x﹣n)(x2+nx﹣1)＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣(n2+1)x+n＝0的解．
解決問題：求方程x3﹣5x+2＝0的解為_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【分析】將原方程左邊變形為x3﹣4x﹣x+2＝0，再進一步因式分解得(x﹣2)[x(x+2)﹣1]＝0，據(jù)此得到兩個關(guān)于x的方程求解可得．
【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x(x2﹣4)﹣(x﹣2)＝0，
∴x(x+2)(x﹣2)﹣(x﹣2)＝0，則(x﹣2)[x(x+2)﹣1]＝0，即(x﹣2)(x2+2x﹣1)＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1，故答案為：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【點睛】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到解方程的方法．
19．(2020·貴州黔東南·中考真題)若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x2﹣10x+24＝0的一個根，則該菱形ABCD的周長為(　　)
A．16 B．24 C．16或24 D．48
【答案】B
【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分兩種情況：①當AB＝AD＝4時，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；②當AB＝AD＝6時，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周長．
【解析】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：(x﹣4)(x﹣6)＝0，解得：x＝4或x＝6，
分兩種情況：①當AB＝AD＝4時，4+4＝8，不能構(gòu)成三角形；
②當AB＝AD＝6時，6+6＞8，∴菱形ABCD的周長＝4AB＝24．故選：B．

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
21．(2019·江蘇中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值等于_______．
【答案】2.
【分析】根據(jù)“關(guān)于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有兩個相等的實數(shù)根”，結(jié)合根的判別式公式，得到關(guān)于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
【解析】解：根據(jù)題意得：△＝4﹣4a(2﹣c)＝0，
整理得：4ac﹣8a＝﹣4，4a(c﹣2)＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，∴a≠0，
等式兩邊同時除以4a得：，則，故答案為2．
【點睛】本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關(guān)鍵．
22．(2020·湖南邵陽·中考真題)中國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？翻譯成數(shù)學問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步？利用方程思想，設(shè)寬為x步，則依題意列方程為____________．
【答案】x(x+12)=864
【分析】本題理清題意后，可利用矩形面積公式，根據(jù)假設(shè)未知數(shù)表示長與寬，按要求列方程即可．
【解析】因為寬為x，且寬比長少12，所以長為x+12，
故根據(jù)矩形面積公式列方程：x(x+12)=864，故答案：x(x+12)=864．
【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，此類型題目去除復(fù)雜題目背景后，按照常規(guī)公式，假設(shè)未知數(shù)，列方程求解即可．
23．(2019·甘肅蘭州·中考真題)是關(guān)于的一元一次方程的解，則( )
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整體代入的方法計算2a+4b的值
【解析】將x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，得a+2b＝－1，2a+4b＝2(a+2b)＝2×(－1)＝－2.故選A.
【點睛】此題考查一元二次方程的解，整式運算，掌握運算法則是解題關(guān)鍵
24．(2020·貴州遵義·中考真題)已知，是方程的兩根，則的值為( )
A．5 B．10 C．11 D．13
【答案】D
【分析】先利用完全平方公式，得到，再利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：，即可求解．
【解析】解：故選：D．
【點睛】此題主要考查完全平方公式的應(yīng)用和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，靈活運用完全平方公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．
25．(2020·江蘇南通·中考真題)若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．
【答案】2028
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的概念和根與系數(shù)的關(guān)系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2(x1+x2)計算可得．
【解析】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
則原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2(x1+x2)＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案為：2028．
【點睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=，x1x2=．
26．(2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題)解方程：x2﹣5x+6＝0
【答案】x1＝2，x2＝3
【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.
【解析】利用因式分解法求解可得．解：∵x2﹣5x+6＝0，∴(x﹣2)(x﹣3)＝0，
則x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．
【點睛】本題考查解一元二次方程因式分解法,關(guān)鍵在于熟練掌握因式分解的方法步驟.
27．(2020·四川南充·中考真題)已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合≥0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍；
(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1＋x2＝2，x1x2＝k＋2，結(jié)合，即可得出關(guān)于k的方程，解之即可得出k值，再結(jié)合(1)即可得出結(jié)論．
【解析】解：(1)∵一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴解得；
(2)由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，
∵，∴即，解得．
又由(1)知：，∴．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當△≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合，找出關(guān)于k的方程．
28．(2019·湖北黃石·中考真題)已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根.
(1)求的取值范圍.(2)若該方程的兩個實數(shù)根為、，且，求的值.
【答案】(1).(2).
【分析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍；(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，結(jié)合|x1-x2|=4可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．
【解析】(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有實數(shù)根，
∴△=(-6)2-4×1×(4m+1)≥0，解得：m≤2；
(2)∵方程x2-6x+(4m+1)=0的兩個實數(shù)根為x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=42，即32-16m=16，解得：m=1．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當△≥0時，方程有實數(shù)根”；(2)利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合|x1-x2|=4，找出關(guān)于m的一元一次方程．
29．(2019·四川南充·中考真題)已知關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根.
(1)求實數(shù)m的取值范圍；(2)當m=2時，方程的根為，求代數(shù)式的值.
【答案】(1)；(2)1.
【分析】(1)根據(jù)△≥0，解不等式即可；
(2)將m=2代入原方程可得：x2+3x+1=0，計算兩根和與兩根積，化簡所求式子，可得結(jié)論．
【解析】(1)△=
∵原方程有實根，∴△=解得
(2)當m=2時，方程為x2+3x+1=0，∴x1+x2=-3，x1x2=1，
∵方程的根為x1，x2，∴x12+3x1+1=0，x22+3x2+1=0，
∴(x12+2x1)(x22+4x2+2)=(x12+2x1+x1-x1)(x22+3x2+x2+2)=(-1-x1)(-1+x2+2)
=(-1-x1)(x2+1)=-x2-x1x2-1-x1=-x2-x1-2=3-2=1．
【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，根的判別式等知識，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．
30．(2019·遼寧錦州·中考真題)2019年在法國舉辦的女足世界杯，為人們奉獻了一場足球盛宴．某商場銷售一批足球文化衫，已知該文化衫的進價為每件40元，當售價為每件60元時，每個月可售出100件．根據(jù)市場行情，現(xiàn)決定漲價銷售，調(diào)查表明，每件商品的售價每上漲1元，每個月會少售出2件，設(shè)每件商品的售價為x元，每個月的銷量為y件．(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰好為2250元；(3)當每件商品的售價定為多少元時，每個月獲得利潤最大？最大月利潤為多少？
【答案】(1)y＝220﹣2x；(2)當每件商品的售價定為65元或85元時，每個月的利潤恰好為2250元；(3)當x＝75，即售價為75元時，月利潤最大，且最大月利潤為2450元．
【分析】(1)根據(jù)月銷量等于漲價前的月銷量，減去漲價(x-60)與漲價1元每月少售出的件數(shù)2的乘積，化簡可得；(2)月銷售量乘以每件的利潤等于利潤2250，解方程即可；
(3)根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式，由頂點式，可知何時取得最大值及最大值是多少．
【解析】(1)由題意得，月銷售量y＝100﹣2(x﹣60)＝220﹣2x(60≤x≤110，且x為正整數(shù))
答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝220﹣2x．
(2)由題意得：(220﹣2x)(x﹣40)＝2250化簡得：x2﹣150x+5525＝0解得x1＝65，x2＝85
答：當每件商品的售價定為65元或85元時，每個月的利潤恰好為2250元．
(3)設(shè)每個月獲得利潤w元，由(2)知w＝(220﹣2x)(x﹣40)＝﹣2x2+300x﹣8800
∴w＝﹣2(x﹣75)2+2450
∴當x＝75，即售價為75元時，月利潤最大，且最大月利潤為2450元．
【點睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于理解題意得到等量關(guān)系列出方程.
31．(2019·遼寧鐵嶺·中考真題)小李在景區(qū)銷售一種旅游紀念品，已知每件進價為6元，當銷售單價定為8元時，每天可以銷售200件．市場調(diào)查反映：銷售單價每提高1元，日銷量將會減少10件，物價部門規(guī)定：銷售單價不能超過12元，設(shè)該紀念品的銷售單價為x(元)，日銷量為y(件)，日銷售利潤為w(元)．
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式．(2)要使日銷售利潤為720元，銷售單價應(yīng)定為多少元？(3)求日銷售利潤w(元)與銷售單價x(元)的函數(shù)關(guān)系式，當x為何值時，日銷售利潤最大，并求出最大利潤．
【答案】(1)；(2)10元；(3)x為12時，日銷售利潤最大，最大利潤960元
【分析】(1)根據(jù)題意得到函數(shù)解析式；(2)根據(jù)題意列方程，解方程即可得到結(jié)論；
(3)根據(jù)題意得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】解：(1)根據(jù)題意得，，
故y與x的函數(shù)關(guān)系式為；
(2)根據(jù)題意得，，解得：，(不合題意舍去)，
答：要使日銷售利潤為720元，銷售單價應(yīng)定為10元；
(3)根據(jù)題意得，，
，∴當時，w隨x的增大而增大，當時，，
答：當x為12時，日銷售利潤最大，最大利潤960元．
【點睛】此題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的運用，利用總利潤=單個利潤×銷售數(shù)量建立函數(shù)關(guān)系式，進一步利用性質(zhì)的解決問題，解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
32．(2019·山東東營·中考真題)為加快新舊動能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟效益，某公司決定對近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進行降價促銷，使生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時售出，根據(jù)市場調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價定為元時，每天可售出個；若銷售單價每降低元，每天可多售出個．已知每個電子產(chǎn)品的固定成本為元，問這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為多少元時，公司每天可獲利元？
【答案】銷售單價為元時，公司每天可獲利元
【分析】根據(jù)題意設(shè)降價后的銷售單價為元，由題意得到，則可得到答案.
【解析】解：設(shè)降價后的銷售單價為元，則降價后每天可售出個，
依題意，得：，
整理，得：，解得：．，符合題意．
答：這種電子產(chǎn)品降價后的銷售單價為元時，公司每天可獲利元．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的實際應(yīng)用.










1．(2020·黑龍江鶴崗·中考真題)已知是關(guān)于的一元二次方程的一個實數(shù)根，則實數(shù)的值是( )
A．0 B．1 C．?3 D．?1
【答案】B
【分析】把x＝代入方程就得到一個關(guān)于m的方程，就可以求出m的值．
【解析】解：根據(jù)題意得，解得；故選：B．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解(根)的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
2．(2020·河南中考真題)定義運算：．例如．則方程的根的情況為( )
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根
【答案】A
【分析】先根據(jù)新定義得出方程，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式可得答案．
【解析】解：根據(jù)定義得：
＞
原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選
【點睛】本題考查了新定義，考查學生的學習與理解能力，同時考查了一元二次方程的根的判別式，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
3．(2019·黑龍江伊春·中考真題)某?！把袑W”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是，則這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)這種植物每個支干長出x個小分支，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是43，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論
【解析】設(shè)這種植物每個支干長出個小分支，依題意，得：，
解得： (舍去)，．故選C．
【點睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于列出方程
4．(2020·山東濰坊·中考真題)關(guān)于x的一元二次方程根的情況，下列說法正確的是( )
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定
【答案】A
【分析】先計算判別式，再進行配方得到△=(k-1)2+4，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，再利用判別式的意義即可得到方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
【解析】△=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4，
∴(k-1)2+4＞0，即△＞0，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．
【點睛】本題考查的是根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．
5．(2020·貴州黔西·中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是( )
A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1
【答案】D
【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式△≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍．
【解析】解：因為關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有實數(shù)根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因為(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．綜合知，m的取值范圍是m≤2且m≠1，因此本題選D．
【點睛】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零及根的判別式△≥0，找出關(guān)于m的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
6．(2020·浙江衢州·中考真題)某廠家2020年1～5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示．設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程(　　)

A．180(1﹣x)2=461 B．180(1+x)2=461 C．368(1﹣x)2=442 D．368(1+x)2=442
【答案】B
【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×(1+增長率)，如果設(shè)這個增長率為x，根據(jù)“2月份的180萬只，4月份的利潤將達到461萬只”，即可得出方程．
【解析】解：從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程：180(1+x)2=461，
故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．
7．(2019·山東濰坊·中考真題)關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根的平方和為12，則的值為(　　)
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】設(shè)，是的兩個實數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，再由代入即可.
【解析】設(shè)，是的兩個實數(shù)根，
∴，∴，∴，，
∴，
∴或，∴，故選A．
【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；牢記韋達定理，靈活運用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
8．(2020·貴州黔東南·中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一個根是2，則另一個根是(　　)
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【答案】A
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【解析】解：設(shè)另一個根為x，則x+2＝﹣5，解得x＝﹣7．故選：A．
【點睛】此題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
9．(2020·四川眉山·中考真題)設(shè)，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為______．
【答案】
【分析】由韋達定理可分別求出與的值，再化簡要求的式子，代入即可得解．
【解析】解：由方程可知，
．故答案為：
【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用韋達定理可簡便運算．
10．(2020·山東濟南·中考真題)如圖，在一塊長15m、寬10m的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余分栽種花草，要使綠化面積為126m2，則修建的路寬應(yīng)為_____米．

【答案】1
【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程求解即可．
【解析】解：設(shè)道路的寬為x m，根據(jù)題意得：(10﹣x)(15﹣x)＝126，
解得：x1＝1，x2＝24(不合題意，舍去)，則道路的寬應(yīng)為1米；故答案為：1．
【點睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，把中間修建的兩條道路分別平移到矩形地面的最上邊和最左邊是做本題的關(guān)鍵．
11．(2020·湖北荊門·中考真題)已知關(guān)于x的一元二次方程的一個根比另一個根大2，則m的值為_____．
【答案】1
【分析】利用因式分解法求出x1,x2，再根據(jù)根的關(guān)系即可求解．
【解析】解 (x-3m)(x-m)=0 ∴x-3m=0或x-m=0
解得x1=3m,x2=m，∴3m-m=2解得m=1故答案為：1．
【點睛】此題主要考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟知因式分解法的運用．
12．(2019·廣西桂林·中考真題)一元二次方程的根是_____．
【答案】
【分析】利用因式分解法把方程化為x-3=0或x-2=0，然后解兩個一次方程即可．
【解析】解：或，所以．故答案為．
【點睛】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13．(2020·四川甘孜·中考真題)三角形的兩邊長分別為4和7，第三邊的長是方程的解，則這個三角形的周長是________．
【答案】17
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系判斷能否構(gòu)成三角形，從而得出答案．
【解析】解：解方程得x1=2，x2=6，當x=2時，2+4=6-1；(2)1
【分析】(1)根據(jù)?>0列不等式求解即可；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b、ab的值，然后代入所給代數(shù)式計算即可.
【解析】解：(1)由題意得?=4+4k>0，∴k>-1；
(2)∵a+b=-2，ab=-k，∴== = =1.
【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式與根的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系，若x1，x2為方程的兩個根，則x1，x2與系數(shù)的關(guān)系式：，．
18．(2020·湖北隨州·中考真題)已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程有兩個實數(shù)根，，且，求的值．
【答案】(1)見解析；(2)．
【分析】(1)求出△的值即可證明；(2)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入，得到關(guān)于m的方程，然后解方程即可．
【解析】(1)證明：依題意可得
故無論m取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系可得：
由，得，解得．
【點睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2=?，x1x2=．
19．(2020·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題)閱讀理解：
材料一：若三個非零實數(shù)x，y，z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實教x，y，z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.
材料二：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的兩根分別為，，則有，．
問題解決：
(1)請你寫出三個能構(gòu)成“和諧三數(shù)組”的實數(shù) ；
(2)若，是關(guān)于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不為0)的兩根，是關(guān)于x的方程bx+c=0(b，c均不為0)的解．求證：x1 ，x2，x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；
(3)若A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三個點均在反比例函數(shù)的圖象上，且三點的縱坐標恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，求實數(shù)m的值．
【答案】(1)，2，3(答案不唯一)；(2)見解析；(3)m=﹣4或﹣2或2．
【分析】(1)根據(jù)“和諧三數(shù)組”的定義可以先寫出后2個數(shù)，取倒數(shù)求和后即可寫出第一個數(shù)，進而可得答案；(2)根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，然后再求出，只要滿足=即可；(3)先求出三點的縱坐標y1，y2，y3，然后由“和諧三數(shù)組”可得y1，y2，y3之間的關(guān)系，進而可得關(guān)于m的方程，解方程即得結(jié)果．
【解析】解：(1)∵，∴，2，3是“和諧三數(shù)組”；故答案為：，2，3(答案不唯一)；
(2)證明：∵，是關(guān)于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不為0)的兩根，
∴，，∴，
∵是關(guān)于x的方程bx+c=0(b，c均不為0)的解，∴，∴，∴=，
∴x1 ，x2，x3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；
(3)∵A(m，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三個點均在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，，，
∵三點的縱坐標y1，y2，y3恰好構(gòu)成“和諧三數(shù)組”，
∴或或，
即或或，解得：m=﹣4或﹣2或2．
【點睛】本題是新定義試題，主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征和對新知“和諧三數(shù)組”的理解與運用，正確理解題意、熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20.(2020·上海中考真題)去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．(1)求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；
(2)去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．
【答案】(1)504萬元；(2)20%．
【分析】(1)根據(jù)“前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%”即可求解；
(2)設(shè)去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，則十一黃金周的月營業(yè)額為350(1+x)2，根據(jù)“十一黃金周這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等”即可列方程求解．
【解析】解：(1)第七天的營業(yè)額是450×12%=54(萬元)，故這七天的總營業(yè)額是450+450×12%=504(萬元)．
答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．
(2)設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，依題意，得：350(1+x)2=504，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合題意，舍去)．
答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．
【點睛】本題考查了一元二次方程的增長率問題，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
21．(2020·遼寧丹東·中考真題)某服裝批發(fā)市場銷售一種襯衫，襯衫每件進貨價為50元，規(guī)定每件售價不低于進貨價，經(jīng)市場調(diào)查，每月的銷售量(件)與每件的售價(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表：
售價(元/件)
60
65
70
銷售量(件)
1400
1300
1200
(1)求出與之間的函數(shù)表達式；(不需要求自變量的取值范圍)
(2)該批發(fā)市場每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實惠，該如何給這種襯衫定價？
(3)物價部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤不允許高于進貨價的30%，設(shè)這種襯衫每月的總利潤為(元)，那么售價定為多少元可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】(1)與之間的函數(shù)表達式為；(2)這種襯衫定價為每件70元；(3)價定為65元可獲得最大利潤，最大利潤是19500元．
【分析】(1)根據(jù)題意可以設(shè)出y與x之間的函數(shù)表達式，然后根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)即可求得y與x之間的函數(shù)表達式；(2)根據(jù)“總利潤=每件商品的利潤×銷售量”列出方程并求解，最后根據(jù)盡量給客戶實惠，對方程的解進行取舍即可；(3)求出w的函數(shù)解析式，將其化為頂點式，然后求出定價的取值，即可得到售價為多少萬元時獲得最大利潤，最大利潤是多少．
【解析】解：(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0)，
把x=60，y=1400和x=65，y=1300代入解析式得，， 解得，，
∴與之間的函數(shù)表達式為；
(2)設(shè)該種襯衫售價為x元，根據(jù)題意得，(x-50)(-20x+2600)=24000解得，，，
∵批發(fā)商場想盡量給客戶實惠，∴，故這種襯衫定價為每件70元；
(3)設(shè)售價定為x元，則有：
=
∵ ∴
∵k=-20＜0，∴w有最大值，即當x=65時，w的最大值為-20(65-90)2+32000=19500(元)．
所以，售價定為65元可獲得最大利潤，最大利潤是19500元．
【點睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的頂點式解答．
22．(2020·重慶中考真題)為響應(yīng)“把中國人的飯碗牢牢端在自己手中”的號召，確保糧食安全，優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對A、B兩個玉米品種進行實驗種植對比研究．去年A、B兩個品種各種植了10畝．收獲后A、B兩個品種的售價均為2.4元/kg，且B品種的平均畝產(chǎn)量比A品種高100千克，A、B兩個品種全部售出后總收入為21600元．
(1)求A、B兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少千克？
(2)今年，科技小組優(yōu)化了玉米的種植方法，在保持去年種植面積不變的情況下，預(yù)計A、B兩個品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加a%和2a%．由于B品種深受市場歡迎，預(yù)計每千克售價將在去年的基礎(chǔ)上上漲a%，而A品種的售價保持不變，A、B兩個品種全部售出后總收人將增加，求a的值．
【答案】(1)A品種去年平均畝產(chǎn)量是400、B品種去年平均畝產(chǎn)量是500千克；(2)10．
【分析】(1)設(shè)A、B兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是x、y千克，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可得到答案；(2)根據(jù)題意分別表示A品種、B品種今年的收入，利用總收入等于A品種、B品種今年的收入之和，列出一元二次方程求解即可得到答案．
【解析】(1)設(shè)A、B兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是x、y千克，由題意得，
解得．答：A．B兩個品種去年平均畝產(chǎn)量分別是400、500千克
(2)根據(jù)題意得：．
令a%=m，則方程化為：．
整理得10m2-m=0，解得：m1=0(不合題意，舍去)，m2=0.1
所以a%=0.1，所以a=10，答：a的值為10．
【點睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，掌握列方程或方程組解應(yīng)用題的方法與步驟是解題的關(guān)鍵．
23．(2020·湖北荊州·中考真題)閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補充完整，求出x的值．
問題：解方程(提示：可以用換元法解方程)，
解：設(shè)，則有，原方程可化為：，
續(xù)解：
【答案】，．
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后進行檢驗確定原方程的解．
【解析】續(xù)解：，，解得，(不合題意，舍去)，
，，，，
經(jīng)檢驗都是方程的解．
【點睛】本題考查了換元法解方程，涉及了無理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解決本題的關(guān)鍵．換元法的一般步驟：設(shè)元、換元、解元、還元．

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