初中數(shù)學8.2 冪的乘方與積的乘方復習練習題-試卷下載-教習網(wǎng)

題型一整式乘法中的化簡求值問題
題型二整式乘法中不含某項求字母的值
題型三整式乘法中的看錯問題
題型四整式乘法中的遮擋問題
題型五整式乘法的應用問題
題型六整式乘法中的規(guī)律探究性問題
題型七整式乘法的新定義問題
題型八整式乘法的混合運算
【經(jīng)典例題一整式乘法中的化簡求值問題】
1、單項式的乘法法則
單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.
2、單項式與多項式相乘的運算法則
單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
即.
3、多項式與多項式相乘的運算法則
多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.
【例1】（2023秋·四川內江·八年級統(tǒng)考期末）已知，則當，的值為（）
A．25B．20C．15D．10
【變式訓練】
【變式1】（2021春·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期中）已知，則a＋b＋c＋d+1的值為（）
A．-1B．0C．1D．2
【變式2】（2021秋·全國·八年級專題練習）已知，，化簡的結果是__________．
【變式3】（2022秋·上海靜安·七年級上海市市西中學?？计谥校┲R再現(xiàn)：我們知道冪的運算法則有4條，分別是：①，②，③，④，反過來，這4條運算法則可以寫成：①，②，③，④．
問題解決：已知，且滿足等式，
(1)求代數(shù)式、的值；
(2)化簡代數(shù)式，并求當，時該代數(shù)式的值．
【經(jīng)典例題二整式乘法中不含某項求字母的值】
【解題技巧】整式乘法中不含某一項，合并同類項后系數(shù)為0。解決這類題目，首先要掌握單項式與多項式，多項式與多項式的乘法。
單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。根據(jù)乘法分配律，用單項式乘以多項式的每一項，再把所得的積相加。單項式乘以多項式的積仍是一個多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同；如果式中含有乘方運算，仍應先算乘方，在算乘法。
先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。運算過程中，需要關注符號的變化（負負得正，正負為負）；乘法運算的結果中，如果有同類項，需要合并同類項，化為最簡形式。
除此以外，還要注意區(qū)分未知數(shù)和參數(shù)，會合并同類項。同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項。合并同類項就是利用乘法分配律，同類項的系數(shù)相加，所得的結果作為系數(shù)，字母和指數(shù)不變，實際上就是乘法分配律的逆向運用。
【例2】（2022秋·重慶江北·八年級?？计谥校╆P于的三次三項式（其中，，，均為常數(shù)），關于的二次三項式（，均為非零常數(shù)），下列說法有幾個正確（）
①當?shù)慕Y果為關于的三次三項式時，則；
②若二次三項式能分解成，則；
③當多項式與的乘積中不含項時，則；
④．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式訓練】
【變式1】（2022秋·重慶萬州·八年級重慶市萬州新田中學校考期中）已知的計算結果中不含的項，則的值為（）
A．3B．C．D．0
【變式2】（2023春·七年級課時練習）若的積不含項，則___________．
【變式3】（2021秋·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）【感悟數(shù)學方法】
已知：，．
（1）計算：；
（2）若的值與字母的取值無關，求的值．
【解決實際問題】請利用上述問題中的數(shù)學方法解決下面問題：
新冠疫情期間，某醫(yī)藥器材經(jīng)銷商計劃同時購進一批甲、乙兩種型號的口罩．已知甲型號口罩每箱進價為800元，乙型號口罩每箱進價為600元．該醫(yī)藥公司根據(jù)疫情，決定購進兩種口罩共20箱，有多種購進方案，現(xiàn)銷售一箱甲型口罩，利潤率為45%，乙型口罩的售價為每箱1000元．而且為了及時控制疫情，公司決定每售出一箱乙型口罩，返還顧客現(xiàn)金元，甲型口罩售價不變，要使不同方案所購進的口罩全部售出后經(jīng)銷商最終獲利相同，求的值．
【經(jīng)典例題三整式乘法中的看錯問題】
【例3】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級?？计谀┮蚴椒纸?，甲看錯了的值，分解的結果是，乙看錯了的值，分解的結果為，那么分解因式正確的結果為（）
A．B．
C．D．
【變式訓練】
【變式1】（2021秋·全國·八年級專題練習）因式分解，甲看錯了a的值，分解的結果是，乙看錯了b的值，分解的結果為，那么分解因式正確的結果為（）．
A．B．
C．D．
【變式2】（2022秋·黑龍江大慶·八年級?？茧A段練習）在將因式分解時，小剛看錯了m的值，分解得；小芳看錯了n的值，分解得，那么原式正確分解為___________.
【變式3】（2022秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）利用多項式乘以多項式的法則，可以計算，
反過來．
請仔細觀察，一次項系數(shù)是兩數(shù)之和，常數(shù)項是這兩數(shù)之積，二次項系數(shù)是1，具有這種特點的二次三項式可利用進行因式分解．
根據(jù)上述閱讀，解決下列問題：
(1)已知關于x的二次三項式有一個因式是，求另一個因式和k的值；
(2)甲，乙兩人在對二次三項式進行因式分解時，甲看錯了一次項系數(shù)，分解的結果為，乙看錯了常數(shù)項，分解的結果為，求這個二次三項式，并將其進行正確的因式分解．
【經(jīng)典例題四整式乘法中的遮擋問題】
【例4】（2022春·河北承德·七年級承德市民族中學?？计谀┬∶髟诶猛耆椒焦接嬎阋粋€二項整式的平方時，不小心用墨水把中間一項的系數(shù)染黑了，得到正確的結果為4a2■ab+9b2，則中間一項的系數(shù)是（）
A．12B．﹣12C．12或﹣12D．36
【變式訓練】
【變式1】（2022秋·四川南充·八年級四川省南充高級中學校考期中）數(shù)學課上，老師講了單項式乘多項式，放學回到家，李剛拿出課堂筆記復習，發(fā)現(xiàn)一道題：，□的地方被墨水弄污了，你認為□內應填寫（）
A．B．C．D．
【變式2】（2021春·全國·七年級專題練習）小明同學在做數(shù)學作業(yè)時發(fā)現(xiàn)一道數(shù)學題有部分內容被墨水污染了：“先化簡，再求值，其中＝“■”小明翻開答案看到這題的結果是7. 你能幫他確定出被墨水污染了的部分內容“■”＝ _________．
【變式3】（2020春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期末）【類比學習】
小明同學類比除法240÷16＝15的豎式計算，想到對二次三項式x2＋3x＋2進行因式分解的方法：
即（x2＋3x＋2）÷（x＋1）＝x＋2，所以x2＋3x＋2＝（x＋1）（x＋2）．
【初步應用】
小明看到了這樣一道被墨水污染的因式分解題：x2＋□x＋6＝（x＋2）（x＋☆），（其中□、☆代表兩個被污染的系數(shù)），他列出了下列豎式：
得出□＝，☆＝．
【深入研究】
小明用這種方法對多項式x2＋2x2﹣x﹣2進行因式分解，進行到了：x3＋2x2﹣x﹣2＝（x＋2）（*）（*代表一個多項式），請你利用前面的方法，列出豎式，將多項式x3＋2x2﹣x﹣2因式分解．
【經(jīng)典例題五整式乘法的應用問題】
【例5】（2022秋·河南三門峽·八年級?？计谀┍容^圖1和圖2你可以得到 ① ，如圖3，點C是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形，設，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分的面積是 ② （）
A．① ②26B．① ②
C．① ②D．① ②26
【變式訓練】
【變式1】（2022秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）如圖，有兩個正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內部得圖甲，將A，B并列放置后構造新的正方形得圖乙，若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為4和30，則正圖乙的邊長為（）
A．7B．8C．5.6D．10
【變式2】（2022秋·河北邢臺·八年級校考階段練習）現(xiàn)有如圖所示的，，三種紙片若干張．
（1）現(xiàn)取1張紙片，2張紙片，其面積和為______．
（2）淇淇要用這三種紙片緊密拼接成一個沒有縫隙的大正方形，她選取紙片9張，再取紙片1張，還需要取紙片______張．
【變式3】（2023秋·陜西安康·八年級統(tǒng)考期末）某種植基地有一塊長方形和一塊正方形實驗田，長方形實驗田每排種植株豌豆幼苗，種植了排，正方形實驗田每排種植株豌豆幼苗，種植了排，其中．
(1)長方形實驗田比正方形實驗田多種植豌豆幼苗多少株？（用含、的式子表示，并化簡）
(2)用含、的式子表示該種植基地這兩塊實驗田一共種植了多少株踠豆幼苗，并化簡；當，時，一共種植了多少株？
【經(jīng)典例題六整式乘法中的規(guī)律探究性問題】
【例6】（2022秋·全國·八年級期末）南宋數(shù)學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關規(guī)律如圖，后人也將其稱為“楊輝三角”．
據(jù)此規(guī)律，則展開式中含項的系數(shù)是（）
A．2017B．2018C．2019D．2020
【變式訓練】
【變式1】（2022春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？茧A段練習）若一個只含字母的多項式的項數(shù)是偶數(shù)，用該多項式去乘，若該多項式的項數(shù)是奇數(shù)，則用該多項式去乘，稱這為第一次操作；若第一次操作后所得多項式的項數(shù)是偶數(shù)，用該多項式去乘，若該多項式的項數(shù)是奇數(shù)，則用該多項式去乘稱這為第二此操作，以此類推．
①將多項式以上述方式進行2次操作后所得多項式項數(shù)是5；
②將多項式以上述方式進行3次操作后，多項式的所有系數(shù)和為0；
③將多項式以上述方式進行4次操作后，當時，所得多項式的值為243；
④將多項式以上述方式進行次操作后所得多項式為；
四個結論錯誤的有（）
A．0B．1C．2D．3
【變式2】（2022春·河南鄭州·七年級統(tǒng)考期末）如果將為非負整數(shù)的每一項按字母的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：它只有一項，系數(shù)為；，它有兩項，系數(shù)分別是，；，它有三項，系數(shù)分別是，，；，它有四項，系數(shù)分別是，，，；，它有四項，系數(shù)分別是，，，，；
如果將上述的每個式子的各項系數(shù)都排成下表，我們發(fā)現(xiàn)每一行的首末都是，并且下一行的數(shù)比上一行的數(shù)多，中間各數(shù)都寫在上一行兩數(shù)的中間，且等于它們的和．參考這個表，請你直接寫出______．
【變式3】（2021·陜西西安·七年級西安市中鐵中學?？茧A段練習）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；
（2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝（n為大于3的正整數(shù)），并證明你的結論；
（3）運用（2）的結論計算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）；
（4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝．
【經(jīng)典例題七整式乘法的新定義問題】
【例7】（2022秋·重慶江津·九年級校考期中）設a，b是有理數(shù)，定義運算，例如：，，．下列結論：①；②；③m，n為有理數(shù)，當時，則；④x，y為有理數(shù)，當時，則；⑤設，，則．其中所有正確的結論有（）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【變式訓練】
【變式1】（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）任何一個正整數(shù)都可以寫成兩個正整數(shù)相乘的形式，我們把兩個乘數(shù)的差的絕對值最小的一種分解稱為正整數(shù)n的最佳分解，并定義一個新運算．例如：，又因為，則．那么以下結論中：①；②若是一個完全平方數(shù)，則；③是一個完全立方數(shù)（即，是正整數(shù)），則；④若，則．正確的個數(shù)為（）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式2】（2022春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）在學習教材上的綜合與實踐《設計自己的運算程序》時，小萱對自己設計的運算給出如下定義：．的化簡結果是__________；若乘以的結果為，則的值為__________
【變式3】（2023秋·北京石景山·八年級?？计谀╅喿x材料：把形如的二次三項式配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即．
例如：①我們可以將代數(shù)式進行變形，其過程如下：
∵，
∴，
因此，該式有最小值1．
材料二：我們定義：如果兩個多項式A與B的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù)，則稱A是B的“雅常式”，這個常數(shù)稱為A關于B的“雅常值”．如多項式，，
，
則A是B的“雅常式”，A關于B的“雅常值”為9．
(1)已知多項式，，則C關于D的“雅常值”是________；
(2)已知多項式，（a，b為常數(shù)），M是N的“雅常式”，且N的最小值為，求M關于N的“雅常值”．
【經(jīng)典例題八整式乘法的混合運算】
【例8】（2023秋·湖北武漢·八年級?？计谀┯嬎愕慕Y果是（）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【變式訓練】
【變式1】（2021春·浙江·七年級期末）如圖，長為，寬為的大長方形被分割為7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀，大小完全相同的小長方形，其較短的邊長為，下列說法中正確的是（）
①小長方形的較長邊為；
②陰影A的較短邊和陰影B的較短邊之和為；
③若y為定值，則陰影A和陰影B的周長和為定值；
④當時，陰影A和陰影B的面積和為定值．
A．①③④B．①④C．①③D．①②③
【變式2】（2021·全國·七年級假期作業(yè)）有一個多項式除以，商為，余式為，那么這個多項式為___．
【變式3】（2022秋·河北衡水·七年級?？计谥校┢吣昙墝W習代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題“代數(shù)式的值與x的取值無關，求a的值”，通常的解題方法是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)合并同類項，因為代數(shù)式的值與x的取值無關，所以含x項的系數(shù)為0，
即原式，所以，則．
(1)若關于x的多項式的值與x的取值無關，求m值；
(2)已知，；且的值與x無關，求y的值；
(3)7張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形內，大長方形中未被覆蓋的兩個部分(圖中陰影部分)，設右上角的面積為，左下角的面積為，當?shù)拈L變化時，的值始終保持不變，求a與b的等量關系．
【培優(yōu)檢測】
1．（2023秋·貴州安順·八年級校聯(lián)考期末）如與的乘積中不含的一次項，則的值為（）
A．B．C．D．
2．（2021春·浙江寧波·七年級?？计谥校┮阎?，，是正整數(shù)，，且，則等于（）．
A．B．或C．1D．1或13
3．（2023秋·河北滄州·八年級?？计谀┮阎?，，則的值為（）
A．2022B．2023C．3954D．4046
4．（2022秋·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）已知，則的值是（）
A．B．10C．D．2
5．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級重慶一中?？计谀╆P于x的三次三項式（其中a，b，c，d均為常數(shù)），關于x的二次三項式（e，f均為非零常數(shù)），下列說法中正確的個數(shù)有（）
①當為關于x的三次三項式時，則；
②當多項式A與B的乘積中不含x?項時，則；
③；
A．0個B．1個C．2個D．3個
6．（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谀┯凶銐蚨鄰埲鐖D所示的類、類正方形卡片和類長方形卡片，若要拼一個長為、寬為的大長方形，則需要類卡片的張數(shù)為（）
A．3B．4C．5D．6
7．（2022秋·山東濟寧·八年級?？计谀┯衝個依次排列的整式：第1項是，用第1項乘以，所得之積記為，將第1項加上得到第2項，再將第2項乘以得到，將第2項加得到第3項，再將第3項乘以得到，以此類推；某數(shù)學興趣小組對此展開研究，得到4個結論：
①第5項為；②；③若第2023項的值為0，則；④當時，第m項的值為．以上結論正確的個數(shù)為（）
A．1B．2C．3D．4
8．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶市第七中學校?？茧A段練習）有依次排列的2個整式：，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生一個新整式串：，，，這稱為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類推．通過下列實際操作，
①第二次操作后整式串為：，，，，；
②第二次操作后，當時，所有整式的積為正數(shù)；
③第四次操作后整式串中共有19個整式；
④第2022次操作后，所有的整式的和為．下列結論正確的是（）
A．①②B．①③C．②④D．①④
9．（2023秋·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）已知，則的值為 ______．
10．（2021春·浙江溫州·七年級?？计谥校┤绻?，則代數(shù)式的值為________．
11．（2021春·內蒙古包頭·七年級包頭市第三十五中學?？计谥校┤鐖D，邊長為的正方形紙片中，剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），若拼成的長方形一邊長為3，則另一邊長是_____________．
12．（2022春·廣西·七年級統(tǒng)考階段練習）觀察下列各式的計算過程：
；
根據(jù)上面算法，計算：______．
13．（2022春·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期末）在數(shù)學中，為了書寫簡便，世紀數(shù)學家歐拉就引進了求和符號“”，如，；已知，則的值是______．
14．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？计谀┐禾焓歉N的最佳時節(jié)，我校兩個勞動實踐小組在試驗田里種植了黃瓜、番茄、辣椒三種蔬菜，單位面積種植黃瓜、番茄、辣椒的株數(shù)之比為1：2：2．第一小組種植黃瓜、番茄、辣椒面積之比為3：2：4，第二小組在余下的實驗田里繼續(xù)種植這三種蔬菜，將余下試驗田面積的種植辣椒，辣椒的種植總面積將達到這三種蔬菜種植總面積的，且第二小組種植三種蔬菜的總株數(shù)是第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)的，則最后實驗田里種植黃瓜和番茄的總株數(shù)之比為__________．
15．（2023秋·廣東惠州·八年級統(tǒng)考期末）學習了平方差、完全平方公式后，小明同學對學習和運用數(shù)學公式非常感興趣，他通過上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學公式，如立方和公式：，他發(fā)現(xiàn)，運用立方和公式可以解決很多數(shù)學問題，請你也來試試利用立方和公式解決以下問題：
(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子：
①化簡：______；
②計算：______；
(2)【公式運用】已知：，求的值．
16．（2022秋·湖南株洲·八年級統(tǒng)考期末）定義：如果一個數(shù)的平方等于，記為，這個數(shù)叫做虛數(shù)單位，把形如 (a、b為實數(shù))的數(shù)叫做復數(shù)，其中a叫做這個復數(shù)的實部，b叫做這個復數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運算與整式的加、減、乘法運算類似.例如：；
根據(jù)以上信息，完成下列問題:
(1)計算：，；
(2)計算：；
(3)計算：
17．（2022秋·福建福州·八年級?？茧A段練習）數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為、寬為的長方形，并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．
(1)若要拼出一個面積為的矩形，則需要號卡片______張，號卡片______張，號卡片_____張．
(2)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式：，，之間的等量關系______；根據(jù)得出的等量關系，解決如下問題：已知，求的值．
(3)兩個正方形，如圖3擺放，邊長分別為，．若，，求圖中陰影部分面積和．
18．（2020秋·吉林長春·八年級長春市解放大路學校?？计谥校┪覀冎?，對于任意一個實數(shù)a，“”這個結論在數(shù)學中非常有用，有時我們需要將代數(shù)式配成完全平方式，然后利用“”來解決問題．
例如：，
∵，
∴，
∴．
(1)填空：（______）______．
(2)請用作差法比較與的大小，并寫出解答過程．
(3)求的最小值．
19．（2023秋·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）【閱讀理解】
“若x滿足，求的值”
解：設，，則，，所以
【解決問題】
(1)若x滿足，求的值．
(2)若x滿足，求的值．
(3)如圖，正方形ABCD的邊長為x，，，長方形EFGD的面積是240，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長方形，求圖中陰影部分的面積（結果必須是一個具體的數(shù)值）．
20．（2023春·全國·七年級專題練習）我國宋朝數(shù)學家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關規(guī)律．
例如：，它只有一項，系數(shù)為1；系數(shù)和為1；
，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；
，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；
，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；
則
(1)的展開式共有___________項，系數(shù)和為___________．
(2)___________．
(3)___________．
(4)___________．
(5)的展開式中第三項系數(shù)為___________．

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