大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測高考
十年試題分類*探求規(guī)律
考點120 絕對值不等式的求解
1．（2020全國Ⅰ文理22）已知函數(shù)．
（1）畫出的圖像；
（2）求不等式的解集．
【解析】（1）∵，作出圖像，如圖所示：
（2）將函數(shù)的圖像向左平移個單位，可得函數(shù)的圖像，如圖所示：
由，解得，∴不等式的解集為．
2．（2020江蘇23）設(shè)，解不等式．
【答案】
【思路導(dǎo)引】根據(jù)絕對值定義化為三個不等式組，解得結(jié)果．
【解析】或或，
或或，∴解集為．
3．（2016全國I文理）已知函數(shù)．
（I）在圖中畫出的圖像；
（II）求不等式的解集．
【解析】(1)如圖所示：
(2) ，．
當(dāng)，，解得或，；
當(dāng)，，解得或，或；
當(dāng)，，解得或，或．
綜上，或或，，解集為．
4．（2014全國II文理）設(shè)函數(shù)=
（Ⅰ）證明：2；
（Ⅱ）若，求的取值范圍．
【解析】（I）由，有，∴≥2．
（Ⅱ）．
當(dāng)時＞3時，=，由＜5得3＜＜；
當(dāng)0＜≤3時，=，由＜5得＜≤3．
綜上：的取值范圍是（，）．
5．（2011新課標(biāo)文理）設(shè)函數(shù)，其中．
（Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式的解集為 ，求a的值．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，可化為，由此可得 或．
故不等式的解集為或．
( Ⅱ) 由 得，此不等式化為不等式組 或，
即或，因為，∴不等式組的解集為，由題設(shè)可得=，故．
考點121 含絕對值不等式的恒成立問題
6．（2020全國Ⅱ文理22）已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）或；（2）．
【思路導(dǎo)引】（1）分別在、和三種情況下解不等式求得結(jié)果；
（2）利用絕對值三角不等式可得到，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果．
【解析】（1）當(dāng)時，．
當(dāng)時，，解得：；
當(dāng)時，，無解；
當(dāng)時，，解得：；
綜上所述：的解集為或．
（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：或，的取值范圍為．
7．（2019全國II文理23）[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知
（1）當(dāng)時，求不等式的解集；
（2）若時，，求的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)a=1時，．
當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴不等式的解集為．
（2）因為，∴．
當(dāng)，時，
∴的取值范圍是．
8．（2018全國Ⅰ文理）已知．
(1)當(dāng)時，求不等式的解集；
(2)若時不等式成立，求的取值范圍．
【解析】(1)當(dāng)時，，即
故不等式的解集為．
(2)當(dāng)時成立等價于當(dāng)時成立．
若，則當(dāng)時；
若，的解集為，∴，故．
綜上，的取值范圍為．
9．（2018全國Ⅱ文理）設(shè)函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求不等式的解集；
(2)若，求的取值范圍．
【解析】(1)當(dāng)時，
可得的解集為．
(2)等價于．
而，且當(dāng)時等號成立．故等價于．
由可得或，∴的取值范圍是．
10．（2018全國Ⅲ文理）設(shè)函數(shù)．
(1)畫出的圖像；
(2)當(dāng)時，，求的最小值．
【解析】(1)
的圖像如圖所示．
(2)由(1)知，的圖像與軸交點的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)且時，在成立，因此的最小值為5．
11．（2018江蘇）若，，為實數(shù)，且，求的最小值．
【解析】由柯西不等式，得．
因為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式取等號，此時，
∴的最小值為4．
12．（2017全國Ⅰ文理）已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集包含，求的取值范圍．
【解析】（1）當(dāng)時，不等式等價于．①
當(dāng)時，①式化為，無解；
當(dāng)時，①式化為，從而；
當(dāng)時，①式化為，從而，∴的解集為．
（2）當(dāng)時，，∴的解集包含，等價于當(dāng)時．
又在的最小值必為與之一，∴且，得，∴的取值范圍為．
13．（2017全國Ⅲ文理）已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)若不等式的解集非空，求的取值范圍．
【解析】（1），
當(dāng)時，無解；
當(dāng)時，由得，，解得；
當(dāng)時，由解得．
∴的解集為．
（2）由得，而
，
且當(dāng)時，，故m的取值范圍為．
14．（2016全國III文理）已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，求不等式的解集；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，，求a的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，．
解不等式，得，因此的解集為．
（Ⅱ）當(dāng)時，
，當(dāng)時等號成立，
∴當(dāng)時，等價于． ①
當(dāng)時，①等價于，無解．
當(dāng)時，①等價于，解得．
∴的取值范圍是．
15．（2015全國I文理）已知函數(shù)，．
（Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍．
【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，不等式化為，
當(dāng)時，不等式化為，無解；
當(dāng)時，不等式化為，解得；
當(dāng)時，不等式化為，解得．
∴的解集為．
（Ⅱ）有題設(shè)可得，，∴函數(shù)圖象與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，的面積為．有題設(shè)得，故．∴的取值范圍為．
16．（2014全國I文理）若，且．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）是否存在，使得？并說明理由．
【解析】（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）由，得，且當(dāng)時取等號．
故，且當(dāng)時取等號．
∴的最小值為．
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）由（ = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I）知，．由于，從而不存在，
使得．
16．（2013全國I文理）已知函數(shù)=，=．
（Ⅰ）當(dāng)=-2時，求不等式＜的解集；
（Ⅱ）設(shè)＞-1，且當(dāng)∈[，)時，≤，求的取值范圍．
【解析】(Ⅰ)當(dāng)=2時，不等式＜化為，
設(shè)函數(shù)=，=，
其圖像如圖所示，從圖像可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，＜0，
∴原不等式解集是．
（Ⅱ）當(dāng)∈[，)時，=，不等式≤化為，
∴對∈[，)都成立，故，即≤，
∴的取值范圍為(1，]．
17．（2012新課標(biāo)文理）已知函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范圍．
【解析】(1)當(dāng)時，
或或
或．
(2)原命題在上恒成立
在上恒成立
在上恒成立
．
考點122 不等式的證明
18．（2020全國Ⅲ文理23）設(shè)．
（1）證明：；
（2）用表示的最大值，證明：．
【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析．
【思路導(dǎo)引】（1）根據(jù)題設(shè)條件兩邊平方，再利用均值不等式證明即可；
（2）思路一：不妨設(shè)，由題意得出，
由，結(jié)合基本不等式，即可得出證明．
思路二：假設(shè)出中最大值，根據(jù)反證法與基本不等式推出矛盾，即可得出結(jié)論．
【解析】（1）證明：
即
（2）證法一：不妨設(shè)，由可知，，
，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，，即．
證法二：不妨設(shè)，則而
矛盾，∴命題得證．
19．（2019全國I文理23）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：
（1）；
（2）．
【解析】（1）因為，又，
故有，∴．
（2）因為為正數(shù)且，故有
=24．
∴．
20．（2019全國III文理23）設(shè)，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，證明：或．
【解析】（1）由于，
故由已知得，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=–，時等號成立．
∴的最小值為．
（2）由于
，
故由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，，時等號成立，因此的最小值為．
由題設(shè)知，解得或．
21．（2017全國Ⅱ文理）已知，，，證明：
(1)；
(2) ．
【解析】（1）．
（2）∵，
∴，因此．
22．（2017江蘇）已知，，，為實數(shù)，且，，證明．
【解析】證明：由柯西不等式可得：，
因為∴，因此．
23．（2016全國II文理）已知函數(shù)，M為不等式的解集．
（I）求M；
（II）證明：當(dāng)a，時，．
【解析】（I）當(dāng)時，，若；
當(dāng)時，恒成立；
當(dāng)時，，若，．
綜上可得，．
（Ⅱ）當(dāng)時，有，即，
則，則，即，證畢．
24．（2015全國II文理）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：
（Ⅰ）若>，則；
（Ⅱ）是 的充要條件．
【解析】（Ⅰ）∵，，
由題設(shè)，得，因此．
（Ⅱ）（?。┤簦瑒t，即．
因為，∴，由（Ⅰ）得．
（ⅱ）若， 則，即．
因為，∴，于是．
因此．
綜上是的充要條件．
25．（2013全國II文理）設(shè)均為正數(shù)，且，證明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）得，
由題設(shè)得，即，
∴，即．
（Ⅱ）∵，∴，
即，∴．年 份
題號
考 點
考 查 內(nèi) 容
2011
文理24
不等式選講
絕對值不等式的解法
2012
文理24
不等式選講
絕對值不等式的解法，不等式恒成立參數(shù)取值范圍問題的解法
2013
卷1
文理24
不等式選講[來源:Z*xx*k.Cm]
絕對值不等式的解法，不等式恒成立參數(shù)取值范圍問題的解法
卷2
文理24
不等式選講
多元不等式的證明
2014
卷1
文理24
不等式選講
基本不等式的應(yīng)用
卷2
文理24
不等式選講
絕對值不等式的解法
2015
卷1
文理24
不等式選講
絕對值不等式的解法，不等式恒成立參數(shù)取值范圍問題的解法
卷2
文理24
不等式選講
不等式的證明
2016
卷1
文理24
不等式選講
分段函數(shù)的圖像，絕對值不等式的解法
卷2
文理24
不等式選講
絕對值不等式的解法，絕對值不等式的證明
卷3
文理24
不等式選講
絕對值不等式的解法，不等式恒成立參數(shù)取值范圍問題的解法
2017
卷1
文理23
不等式選講
絕對值不等式的解法，不等式恒成立參數(shù)取值范圍問題的解法
卷2
文理23
不等式選講
不等式的證明
卷3
文理23
不等式選講
絕對值不等式的解法，絕對值不等式解集非空的參數(shù)取值范圍問題
2018
卷1
文理23
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絕對值不等式的解法，不等式恒成立參數(shù)取值范圍問題的解法
卷2
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卷3
文理23
不等式選講
絕對值函數(shù)的圖象，不等式恒成立參數(shù)最值問題的解法
2019
卷1
文理23
不等式選講
三元條件不等式的證明
卷2
文理23
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絕對值不等式的解法，不等式恒成立參數(shù)取值范圍問題的解法
卷3
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三元條件最值問題的解法，三元條件不等式的證明
2020
卷1
文理23
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絕對值函數(shù)的圖像，絕對值不等式的解法
卷2
文理23
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絕對值不等式的解法，不等式恒成立參數(shù)取值范圍問題的解法
卷3
文理23
不等式選講
三元條件不等式的證明
考 點
出現(xiàn)頻率
2021年預(yù)測
考點120絕對值不等式的求解
23次考4次
2021年主要考查絕對值不等式的解法、絕對值不等式的證明，不等式恒成立參數(shù)取值范圍問題的解法等．
考點121含絕對值不等式的恒成立問題
23次考12次
考點122不等式的證明
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