專題13 不等式選講1．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數(shù)圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當過時，，解得或（舍去），則數(shù)形結(jié)合可得需至少將向左平移個單位，.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解.2．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）利用絕對值的幾何意義求得不等式的解集.（2）利用絕對值不等式化簡，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于，當或時所對應(yīng)的數(shù)軸上的點到所對應(yīng)的點距離之和等于6，∴數(shù)軸上到所對應(yīng)的點距離之和等于大于等于6得到所對應(yīng)的坐標的范圍是或，所以的解集為.（2）依題意，即恒成立，，當且僅當時取等號，,故，所以或，解得.所以的取值范圍是.【點睛】解絕對值不等式的方法有零點分段法、幾何意義法．解含有兩個絕對值，且其中的的系數(shù)相等時，可以考慮利用數(shù)軸上絕對值的幾何意義求解；利用絕對值三角不等式求最值也是常見的問題，注意表述取等號的條件.1．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù)的最小值為.（1）求的值；（2）若對任意的成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用絕對值不等式求解；（2）等價于對任意的成立，即，解絕對值不等式即得解.【詳解】（1），當且僅當，即時取等.所以函數(shù)的最小值；（2）由題得對任意的成立，所以對任意的成立，因為，所以所以，所以，所以，所以.所以實數(shù)的取值范圍是.2．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若存在使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分段討論得出函數(shù)的解析式，由此可建立不等式組，解之可得答案.（2）由（1）可作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題可得，因為，所以或或，即或或，所以，所以不等式的解集為.（2）因為存在，使得，所以，由（1）可知，作出函數(shù)的圖象，如下圖所示，由函數(shù)的圖象可知，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：絕對值不等式的常見解法：①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．3．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù)．（1）解不等式的解集；（2）設(shè)的最小值為，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）分、、三種情況解不等式，綜合可得出不等式的解集；（2）利用絕對值三角不等式可得，可得出，進而可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】（1）當時，，解得，此時；當時，，解得，此時；當時，，解得，此時.綜上，不等式的解集為；（2）由絕對值三角不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，則，故，所以，，所以，，當且僅當時取等號，故的最小值為．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知不等式的解集為．（1）求實數(shù)的值；（2）求的最大值．【答案】（1），；（2）4.【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，解不等式即可求出不等式的解集，從而求出，的值；（2）利用柯西不等式的性質(zhì)即可求出最大值．【詳解】解：（1）由，得，解得，所以，．（2）由（1）得，當且僅當，即時等號成立，故的最大值為4．5．（2021·全國高三其他模擬（理））已知，且滿足.（1）證明：；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知轉(zhuǎn)化利用基本不等式可求解；（2）利用基本不等式可證明.【詳解】（1）因為，所以，則，當且僅當，即時等號成立，所以；（2），，所以，所以，即，當且僅當等號成立.6．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù)．（1）當時，解不等式；（2）若對任意成立，求實數(shù)的最大值．【答案】（1）；（2）1．【分析】(1)根據(jù)題意，討論去絕對值即可求解；(2)由題意得，，結(jié)合絕對值的三角不等式即可求出，進而可得實數(shù)的最大值．【詳解】(1)當時，，此時不等式為，∴或或，解得或，即所求不等式解集為．(2)∵，∴，又對任意成立，∴，∴，∴所求實數(shù)的最大值為1．7．（2021·新安縣第一高級中學(xué)高三其他模擬（理））已知函數(shù)．（1）解不等式f(x)>3；（2）對于?x1，x2?R，使得f(x1)>g(x2)成立，求a的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）通過討論的范圍得到關(guān)于的不等式組，解出即可；（2）依題意即，所以求出和，得到關(guān)于的不等式，解出即可．【詳解】解：（1）由或或，解得或，∴的解集為．（2）因為所以函數(shù)圖象如下所示：所以當時，；當且僅當時成立，即．由題意，得，即，即，∴，解得．∴的取值范圍是．8．（2021·甘肅白銀市·高三其他模擬（理））已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記的最大值為t，若，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由，得到，分類討論，即可求解；（2）由絕對值三角不等式，求得，得到，即，要證，只需證，結(jié)合比較法，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，因為，即，可得或或，解得x無實根或或，綜上可得，不等式的解集為.（2）由，當且僅當，且，即時取等號，所以，即，要證，只需證，即證，.又，所以，所以，即，所以.9．（2021·四川遂寧市·高三三模（理））已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)當取最小值時，求使得成立的正實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】(1)根據(jù)零點分段討論法進行分類討論解不等式；(2)利用絕對值不等式的性質(zhì)求出當取最小值時的取值范圍，并對式子進行變形，從而可求正實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由不等式，可得，可化為或或，解，得或或，綜上知不等式的解集為.(2)因為，當且僅當，即時，等號成立.故當時，，法一：當取最小值時，，即，所以，即，解得，故所求m的取值范圍.法二：因為，所以，所以，所以，即，所以，故所求m的取值范圍10．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模擬（理））已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）記關(guān)于的不等式的解集為，若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分類討論去絕對值符號，然后解不等式即可；（2）首先根據(jù)的范圍，確定，，然后解不等式得到.，進而根據(jù)集合的包含關(guān)系得到不等式組，解不等式組即可.【詳解】解：（1）當時，，原不等式可化為，或或，解得或或，∴原不等式的解集為.（2）若的解集包含，即當時，恒成立，由于在上，，，∴，，∴，等價于，即，，∴.由于當時該不等式恒成立，∴且，∴，即的取值范圍為.11．（2021·河南高三其他模擬（理））已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)，當時，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）將所求不等式變形為，解此不等式即可得解；（2）利用三角不等式可得，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當時，.由，得，整理得，解得，因此不等式的解集為；（2）當時,.所以當時，等價于.①當時，①等價于，無解；當時，①等價于，解得.所以的取值范圍是.12．（2021·黑龍江高三其他模擬（理））設(shè)函數(shù)的最大值為m．（1）作出函數(shù)的圖像；（2）若，求的最大值．【答案】（1）圖像見詳解；（2）【分析】（1）去絕對值將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，接著畫出函數(shù)圖像即可；（2）由（1）知，接著利用基本不等式求的最大值即可.【詳解】（1），作出函數(shù)的圖像如下：（2）由（1）可知：函數(shù)的最大值為，所以,當且僅當時等號成立，所以，即，所以的最大值為.13．（2021·黑龍江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知函數(shù).（1）解不等式.（2）已知，，的最大值，，求的最小值.【答案】（1）或；（2）最小值為.【分析】（1）分，和三種情況解不等式；（2）先利用絕對值三角不等式求出的最大值為，從而得，所以，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】解：（1）函數(shù)，當時，不等式即為，解得，所以；當時，不等式即為，解得，所以；當時，不等式即為，解得，所以.綜上所述，不等式的解集為或；（2），所以的最大值為，則，故，當且僅當且，即時取等號，故的最小值為.14．（2021·全國高三其他模擬（理））已知函數(shù).（1）當時，畫出函數(shù)的圖象；（2）若不等式的解集為，求實數(shù)的值.【答案】（1）答案見解析；（2）4或.【分析】（1）由，將函數(shù)解析式寫成分段的形式，直接作圖，即可得出結(jié)果；（2）先由題中條件，將不等式化為，討論和兩種情況，根據(jù)不等式的解集，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當時，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象如圖所示.（2）因為不等式的解集為，當時，，所以原不等式可化為，即，得得當，即時，，解得；當，即時，，解得所以實數(shù)的值為4或.【點睛】方法點睛：解絕對值不等式的常用方法：（1）基本性質(zhì)法：為正實數(shù)，，或；（2）平方法：兩邊平方去掉絕對值，適用于或型的不等式的求解；（3）分類討論法(零點分區(qū)間法)：含有兩個或兩個以上絕對值的不等式，可用分類討論法去掉絕對值，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式求解；（4）幾何法：利用絕對值不等式的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對值問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點的距離問題求解；（5）數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標系中，作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解.15．（2021·全國高三其他模擬）已知函數(shù).（1）若，畫出函數(shù)的圖象，并求出的最值；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）圖象見解析；最小值為-2，無最大值；（2）.【分析】（1）代入，得可作出圖像和得到最值；（2）由已知得恒成立，再根據(jù)絕對值不等式得，解之可得答案．【詳解】解：（1）若，則則函數(shù)的圖象如圖所示，由圖像可知的最小值為-2，無最大值.（2）由恒成立，得恒成立，因為，所以，即，解得，故的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及不等式成立的問題，關(guān)鍵在于運用含絕對值不等式的性質(zhì)以及分類討論的思想.

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