備戰(zhàn)2020高考數(shù)學最后沖刺存在問題之解決寶典專題八 不等式選講【考生存在問題報告】 （一）絕對值不等式求解技能掌握不到位【例1】（2019·湖北黃岡中學高三）[選修4-5：不等式選講]:已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）設，，且的最小值為.若，求的最小值.【評析】本題主要考查了絕對值不等式問題，對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．（二）不能對條件進行正確的等價轉(zhuǎn)化【例2】【2017全國卷Ⅲ23（2）】已知函數(shù).若不等式的解集非空，求m的取值范圍.【評析】本題主要考查不等式解集的概念、絕對值的意義、二次函數(shù)區(qū)間上最值等基礎知識. 解答中的主要問題還是在題意的理解與問題的等價轉(zhuǎn)化. 錯點一，將“不等式的解集非空”等價轉(zhuǎn)化為解集非空，忽略了右邊的代數(shù)式也是隨著的變化而變化，左右兩邊的表示的是同一個數(shù)；錯點二，將“不等式的解集非空”等價轉(zhuǎn)化為“”，錯在對“解集非空”的理解上. 所謂“解集非空”即存在使得不等式成立，等價于存在使得不等式成立，等價于即可.【例3】（2020·福建高三）已知函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集；（2）若當時，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【評析】（1）分類討論去掉絕對值后再解不等式；（2）由題意可得恒成立，令，利用絕對值三角不等式以及基本不等式可得，從而得出結(jié)論． （三）不等式證明思路不清，無法迅速找到切合題意的證明方法【例4】（2020·廣西高三）設，且.（1）求證：；（2）若，求證：.【評析】本題主要考查證明不等式的基本方法、均值不等式及其應用. 難點在于尋找突破口，如何發(fā)現(xiàn)欲證不等式左邊的代數(shù)式與已知條件之間的聯(lián)系，從而迅速尋得解題思路. （四）知識掌握不熟練，無法優(yōu)選算法化簡求解過程【例5】【2014全國卷Ⅱ24（1）】設函數(shù)=  證明：2；【評析】法二根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)直接證得結(jié)論，相比法一快捷明了.本題的主要問題在于對絕對值不等式的性質(zhì)掌握不到位，導致無法快速求解.【命題專家現(xiàn)場支招】一、解決問題的思考與對策（一）強化絕對值不等式的求解訓練 高考全國卷從2007年起，除了2014年外每年都涉及絕對值不等式求解問題的考查，可以歸納為寫成分段函數(shù)求解、利用函數(shù)圖象求解、利用絕對值不等式性質(zhì)求解等方法，應加強這一方面的專項訓練，讓學生熟練掌握絕對值不等式求解的方法、步驟，做到既能正確分類，又能合理整合，準確快捷解答，同時注意引導學生對求解過程等價性的關注.【例6】（2020·貴州高三）設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若，且關于的不等式有解，求的取值范圍.（二）加強對不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”幾種模型的識別及求解能力不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常見模型，解決問題的關鍵是對其進行恰當?shù)牡葍r轉(zhuǎn)換，并借助函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)圖象、函數(shù)最值等來解決問題.復習教學中可通過一題多變強化對上述各種模型的識別，掌握其解決方案.【例7】（2020·黑龍江哈九中高三期末）已知.（1）若不等式的解集是區(qū)間的子區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【例8】（2020·江西高三）已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）若關于的不等式的解集包含，求的取值范圍.【例9】（2020·江西高三）設函數(shù)．（1）當時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍．（三）關注均值不等式、絕對值不等式性質(zhì)的應用均值不等式、絕對值不等式性質(zhì)在求最值、證明不等式等方面都有很重要的作用. 應用均值不等式或絕對值不等式性質(zhì)求最值時，均應注意等號成立的條件是否具備，僅當?shù)忍柍闪⒌臈l件具備時方可應用其求最值，這也是用均值不等式或絕對值不等式性質(zhì)求最值的一個易錯點，應提醒學生關注.【例10】（2020·河南高三期末）已知函數(shù)，記不等式的解集為.（1）求；（2）設，證明：.【例11】（2020·重慶西南大學附中高三）已知實數(shù)a、b、.（1）若，求的最小值；（2）若，求證：. 二、典型問題剖析（一）含絕對值不等式的求解1．零點分段求解絕對值不等式的模型(1)求零點；(2)劃區(qū)間，去絕對值號；(3)分別解去掉絕對值號的不等式；(4)取每個結(jié)果的并集，注意在分段討論時不要遺漏區(qū)間的端點值．2．絕對值不等式恒成立問題的求解模型(1)分離參數(shù)：根據(jù)不等式將參數(shù)分離化為a≥f(x)或a≤f(x)形式；(2)轉(zhuǎn)化最值：f(x)>a恒成立?f(x)min>a；f(x)<a恒成立?f(x)max<a；f(x)>a有解?f(x)max>a；f(x)<a有解?f(x)min<a；f(x)>a無解?f(x)max≤a；f(x)<a無解?f(x)min≥a；(3)得結(jié)論．【例12】【河南省九師聯(lián)盟2019屆高三2月檢測】已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）設函數(shù)的最小值為，若不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.【例13】（2020·福建省福州第一中學高三期末）（1）解不等式；（2）若成立，求常數(shù)的取值范圍.【評析】對于含絕對值的不等式的求解方法一般采用零點分段法，其解題步驟大致為：①求零點；②分區(qū)間、去絕對值號；③分別解各區(qū)間上所得不等式；④取所得結(jié)果的并集. 注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值．也可以采用圖象法，通過作出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解.（二）給定條件，求參數(shù)的取值范圍【例14】（2020·深圳市南山區(qū)華僑城中學高三）已知函數(shù)(1)解不等式: f(x)<5;(2)當x∈R時，f(x)> ax+1,求實數(shù)a的取值范圍.【評析】本題主要考查了絕對值不等式問題，對于含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．【例15】（2020·湖南師大附中高三）已知函數(shù)，．（1）解不等式；（2）若方程在區(qū)間有解，求實數(shù)的取值范圍．【評析】本題屬于“恰成立”問題，對于“恰成立”問題，解決此類問題只需按照正常解不等式進行，再根據(jù)集合相等的條件即可求解.（三）不等式的證明對于不等式的證明問題常用比較法、綜合法和分析法．(1)一般地，對于含根號的不等式和含絕對值的不等式的證明，“平方法”(即不等號兩邊平方)是其有效方法．(2)如果所證命題是否定性命題或唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出，則考慮用反證法．(3)能轉(zhuǎn)化為比較大小的可以用比較法．(4)利用基本不等式證明的多用綜合法與分析法．【例16】（2020·云南昆明一中高三）已知正數(shù)，，滿足等式.證明：（1）；（2）.【例17】（2020·四川三臺中學實驗學校高三）已知，，，證明：(1)；(2).【評析】不等式證明的常用方法有比較法、分析法、綜合法、反證法等.如果已知條件與待證結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證命題是否定性命題、唯一性命題或以“至少”“至多”等方式給出的，則考慮用反證法.在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構造法等技巧簡化對問題的表述和證明.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題.若不等式恒等變形之后若與二次函數(shù)有關，可用配方法.【新題好題針對訓練】一、單選題1．（2020·浙江高三期末）若函數(shù)的最小值3，則實數(shù)的值為（ ）A．5或8 B．或5 C．或 D．或二、解答題2．（2020·湖南長郡中學高三）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若，對，不等式恒成立，求的最小值.3．（2020·山西高三）已知函數(shù)（其中）.（1）當時，求不等式的解集；（2）若關于的不等式恒成立，求的取值范圍.4．（2020·山西大同一中高三）設函數(shù)，．（1）若不等式的解集為，求a的值；（2）若存在，使，求a的取值范圍．5．（2020·海南高三）已知都是正數(shù)，求證：（1）；（2）.6．（2019·廣西大學附屬中學高三）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）正數(shù)滿足，證明：.7．（2020·南昌市新建區(qū)第二中學高三）已知函數(shù).（Ⅰ）解關于x的不等式；（Ⅱ）若a，b，，函數(shù)的最小值為m，若，求證：.8．（2020·河北衡水中學高三）已知函數(shù).（1）若，解不等式；（2）若，求的最小值.9．（2020·江西高三期末）已知函數(shù).（1）解不等式； （2）記函數(shù)的最小值為，若為正實數(shù)，且，求的最小值.10．（2020·甘肅高三期末）已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）設表示不大于的最大整數(shù)，若對恒成立，求的取值范圍.11．（2019·云南昆明一中高三）已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）若關于的不等式有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.12．（2020·內(nèi)蒙古高三期末）已知函數(shù)，.（1）解不等式；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.13．（2020·全國高三）已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）當時，不等式成立，求實數(shù)a的取值范圍.14．（2020·廣東金山中學高三期末）已知函數(shù)，且的解集為．（1）求的值；（2）若是正實數(shù)，且，求證：.15．（2020·武邑縣教育局教研室高三期末）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）設函數(shù)的最小值為，若，均為正數(shù)，且，求的最小值．16．（2020·福建高三期末）設函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最大值為，且正實數(shù)、滿足，求的最小值.17．（2020·廣東深圳中學高三期末）已知函數(shù).(Ⅰ)若，求實數(shù)的取值范圍；(Ⅱ)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（2020·陜西高三）已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）證明：當，時，恒成立. 

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