1．已知函數，則下列結論錯誤的是（ ）
A．是奇函數
B．若，則是增函數
C．當時，函數恰有三個零點
D．當時，函數恰有兩個極值點
【答案】C
【分析】
對A,根據奇函數的定義判定即可. 由條件可得，則，,所以在上單調遞增,且,所以當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增.則,將的值代入分別計算分析，可判斷選項B，C，D
【詳解】
對A, 的定義域為,且
.故A正確.
由條件可得，則，
所以在上單調遞增,且
所以當時，，當時，，
則在上單調遞減，在上單調遞增.則
對B, 當時，，所以是增函數，故B正確.
對C,當時，由上可知, ，
所以是增函數,故不可能有3個零點.故C錯誤.
對D,當時，，由上可知在上單調遞減，在上單調遞增.
則，，
所以存在，使得，成立
則在上，，在上，，在上，.
所以函數在單調遞增，在的單調遞減，在單調遞增.
所以函數恰有兩個極值點，故D正確.
故選：C
【點睛】
關鍵點睛：本題主要考查利用導數分析函數的單調性從而得出函數的零點和極值情況，解答本題的關鍵是對原函數的單調性分析，由條件可得，則，所以在上單調遞增,且，所以當時，，當時，，則在上單調遞減，在上單調遞增.則，經過多次求導分析出單調性，屬于中檔題.
2．如圖是函數的導函數的圖象，則函數的極小值點的個數為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】
通過讀圖由取值符號得出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的極值點，得出答案．
【詳解】
由圖象，設與軸的兩個交點橫坐標分別為、其中，
知在，上，
所以此時函數在，上單調遞增，
在上，，此時在上單調遞減，
所以時，函數取得極大值，時，函數取得極小值．
則函數的極小值點的個數為1．
故選: B
【點睛】
本題考查了函數的單調性，函數的極值問題，考查數形結合思想，屬于基礎題．
3．已知函數的導函數，若在處取得極大值，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分四種情況討論，分別判斷兩邊導函數值的符號，判斷在處是否取得極大值，即可篩選出的取值范圍.
【詳解】
由在處取得極大值可知，當時，；
當時，，
其等價于①存在，使得，
且②存在，使得；
若時，的解集為，不滿足②即不存在，使得，故時在不是極大值；
若時，的解集為，的解集為，滿足①②，故時，在處取得極大值；
若，恒小于等于0，不滿足①，故時，在取不到極大值；
若時，的解集為，不滿足②，故時，在處取不到極大值.
綜上，的取值范圍是.
故選：A.
【點睛】
求函數極值的步驟：(1) 確定函數的定義域；(2) 求導數；(3) 解方程求出函數定義域內的所有根；(4)檢查在的根左右兩側值的符號，如果左正右負（左增右減），那么在處取極大值，如果左負右正（左減右增），那么在處取極小值.
4．若函數無極值點則實數a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求出函數的導數，問題轉化為最多1個實數根，根據二次函數的性質求出a的范圍即可.
【詳解】
,
，
由函數無極值點知，
至多1個實數根，
，
解得，
實數a的取值范圍是，
故選：B
【點睛】
本題主要考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用，屬于中檔題.
5．已知函數有兩個極值點，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據函數有兩個極值點得到關于的方程有兩個解，采用分離常數的方法分離出，并采用構造新函數的方法確定出新函數的取值情況，由此分析出的取值情況.
【詳解】
因為有兩個極值點，所以有兩個不同實數根，所以有兩個不同實數根，
所以有兩個不同實數根，顯然，
所以有兩個不同實數根，記，，
當時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，
又因為時，；當時，；當時，，
所以當有兩個不同實數根時 ，
所以，所以，
故選：D.
【點睛】
本題考查根據函數極值點的個數求解參數范圍，其中涉及到分離參數方法的使用，對學生的理解與計算能力要求較高，難度較難.
6．“”是“函數在上有極值”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】
求出函數的極值點，利用該極值點在內求得實數取值范圍，利用集合的包含關系可得出結論.
【詳解】
，則，令，可得.
當時，；當時，.
所以，函數在處取得極小值.
若函數在上有極值，則，.
因此，“”是“函數在上有極值”的充分不必要條件.
故選：A.
【點睛】
本題考查充分不必要條件的判斷，同時也考查了利用導數求函數的極值點，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.
7．已知函數，若同時滿足條件：①，為的一個極大值點；②，.則實數a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
條件①說明在上存在零點，極大值點，利用方程的根可得的范圍，然后求出條件②不等式恒成立的范圍，求交集可得的范圍．
【詳解】
定義域是，
，在存在極大值點，則有兩個不等實根，，或，
設的兩個實根為，
或時，，時，，
當，，則，但時，，不可能是極大值點；
當時，由知，，或時，，時，．即在和上遞增，在上遞減，是極大值點，滿足題意．
所以．
，則，∵，∴，∴．
綜上．
故選：A．
【點睛】
本題考查用導數研究函數的極值，及不等式恒成立問題，求解不等式恒成立問題的方法是問題的轉化，轉化為求函數的最值．
8．若函數（為常數）有兩個不同的極值點，則實數取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先求導得到，將題意轉化為函數與的圖象有兩個不同的交點，再利用導數求出函數的單調區(qū)間和最值，即可得到答案.
【詳解】
，函數（為常數）有兩個不同的極值點，
等價于函數與的圖象有兩個不同的交點，
，因為為增函數，且，
則，，為減函數，
，，為增函數，
所以，故.
故選：C
【點睛】
本題主要考查根據函數的極值點求參數，屬于中檔題.
9．已知函數在處取得極值，則（ ）
A．1B．2C．D．-2
【答案】C
【分析】
利用列方程，解方程求得的值.
【詳解】
，依題意，即.
此時，所以在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，所以在處取得極大值，符合題意.
所以.
故選：C
【點睛】
本小題主要考查利用導數研究函數的極值點、極值，屬于基礎題.
10．設函數，則下列是函數極小值點的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
將函數進行求導，由于在的左側，導函數值小于，右側導函數值大于，得到是函數極小值點.
【詳解】
，
當時，，；
當時，，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
是的極小值點.
故選：.
【點睛】
本題考查利用導數求函數的極值點，關鍵是能夠明確極值點的定義，根據導函數的正負確定原函數的單調性，進而得到極值點.
11．函數的圖象大致是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
根據解析式求得導函數，并求得極值點，由極值點個數可排除AD；再由時，恒為正，排除C即可得解.
【詳解】
函數，
則，令，
解得的兩個極值點為，故排除AD，
且當時，恒為正，排除C，
即只有B選項符合要求，
故選：B.
【點睛】
本題考查了由函數解析式判斷函數圖像，導函數與函數圖像的關系應用，屬于基礎題.
12．已函數的兩個極值點是和，則點的軌跡是（ ）
A．橢圓弧B．圓弧C．雙曲線弧D．拋物線弧
【答案】D
【分析】
根據極值點的定義把用表示后，消去得關于的方程，由方程確定曲線．
【詳解】
由題意，所以是方程的兩根，所以且，所以，，
所以點在曲線上，還要滿足，軌跡為拋物線?。?br>故選:D
【點睛】
本題考查值點的定義，考查由方程研究曲線，掌握極值與導數的關系是解題基礎．在由方程研究曲線時，注意方程中變量的取值范圍．
13．若是函數的極值點，則的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據題意得到，即可得到答案.
【詳解】
由，則，則.
故選：C
【點睛】
本題主要考查函數的極值點，屬于簡單題.
14．已知函數，則）的極大值點為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
求出函數的導函數，進而求出導函數大于0以及小于0的解，根據導函數在各段內的符號判斷函數在不同區(qū)間內的單調性，從而得到函數的極值點.
【詳解】
解：由，
得：.
由，得：，或.
由，得：.
所以函數的增區(qū)間為.函數的減區(qū)間為.
所以，是函數的極大值點，是函數的極小值點.
故選：C.
【點睛】
本題考查求具體函數的極值點，解題的關鍵是區(qū)分極值點和極值的定義，屬于基礎題.
15．若函數有兩個不同的極值點，則實數的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
計算，然后等價于在（0，+∞）由2個不同的實數根，然后計算即可.
【詳解】
的定義域是（0，+∞），
，
若函數有兩個不同的極值點，
則在（0，+∞）由2個不同的實數根，
故，解得：，
故選：D.
【點睛】
本題考查根據函數極值點個數求參，考查計算能力以及思維轉變能力，屬基礎題.
二、多選題
16．設函數的導函數為，則（ ）
A．B．是的極值點
C．存在零點D．在單調遞增
【答案】AD
【分析】
求出定義域，再求導，計算即可判斷A，由導函數，即可判斷選項B、D，由，即可判斷選項C，從而可得結論．
【詳解】
由題可知的定義域為，
對于A，，則，故A正確；
對于B、D，，所以函數單調遞增，故無極值點，故B錯誤，D正確；
對于C，，故函數不存在零點，故C錯誤．
故選：AD．
17．關于函數，，下列結論正確的有（ ）
A．當時，在處的切線方程為
B．當時，存在惟一極小值點
C．對任意，在上均存在零點
D．存在，在有且只有一個零點
【答案】ABD
【分析】
逐一驗證，選項A，通過切點求切線，再通過點斜式寫出切線方程；選項B，通過導數求出函數極值并判斷極值范圍，選項C、D，通過構造函數，將零點問題轉化判斷函數的交點問題.
【詳解】
對于A：當時，，，
所以，故切點為，
，所以切線斜，
故直線方程為，
即切線方程為：，故選項A正確；
對于B：當時，，，
，恒成立，
所以單調遞增，又，
，
所以存在，使得，
即，則在上，，單調遞減，
在上，，單調遞增，
所以存在惟一極小值點，故選項B正確；
對于 C、D：,，
令得：，
則令，，
，令，
得：，，，
由函數圖象性質知：
時，，單調遞減，
時，，單調遞增，
所以當，，時，取得極小值，
即當時，取得極小值，
又 ，即,
又因為在，單調遞減，
所以，
所以，，時，取得極大值，
即當 時，取得極大值.
又，即，
當時，，
所以當，即時，
在上無零點，所以選項C不正確；
當時，即時，
與的圖象只有一個交點，
即存在，在有且只有一個零點，
故選項D正確.
故選：ABD
【點睛】
本題考查函數的極值、切線、零點的問題，屬于較難題.
18．已知函數，，則下列說法正確的有（ ）
A．是偶函數
B．是周期函數
C．在區(qū)間上，有且只有一個極值點
D．過(0，0)作的切線，有且僅有3條
【答案】ACD
【分析】
利用函數的奇偶性的定義易知函數為偶函數，所以A正確；根據周期性的定義可判斷B錯誤；根據導數判斷其單調性，易知有且只有一個極值點，C正確；根據導數的幾何意義求曲線過某點的切線方程可知D正確．
【詳解】
對于A，因為函數的定義域為，顯然，所以函數是偶函數，正確；
對于B，若存在非零常數，使得，令，則，即，令，則，因為，所以，即或．若，則，解得，舍去；若，則，解得，所以若存在非零常數，使得，則．
即，令，則，而，，不符合題意．故不存在非零常數，使得，B錯誤；
對于C ，，，，，
當，，故單減，
又，，故在上有且僅有一個解，有且只有一個極值點，故C正確；
對于D，設切點橫坐標為，則切線方程為，
將 (0，0) 代入，得，解得或，．
若，則切線方程為；若，則，D正確．
故選：ACD．
【點睛】
本題主要考查函數奇偶性的判斷，周期性的定義的應用，利用導數的幾何意義求曲線過某點的切線方程，以及利用導數研究函數的極值點，屬于中檔題．
19．已知.（ ）
A．的零點個數為4B．的極值點個數為3
C．x軸為曲線的切線D．若，則
【答案】BC
【分析】
首先根據得到，分別畫出和的圖像，從而得到函數的單調性和極值，再依次判斷選項即可得到答案.
【詳解】
，令，得到.
分別畫出和的圖像，如圖所示：
由圖知：有三個解，即有三個解，分別為，，.
所以，，為增函數，
，，為減函數，
，，為增函數，
，，為減函數.
所以當時，取得極大值為，當時，取得極小值為，
當時，取得極大值為，
所以函數有兩個零點，三個極值點，A錯誤，B正確.
因為函數的極大值為，所以軸為曲線的切線，故C正確.
因為在為增函數，為減函數，
所以存在，滿足，且，
顯然，故D錯誤.
故選：BC
【點睛】
本題主要考查導數的綜合應用，考查利用導數研究函數的零點，極值點和切線，屬于難題.
20．設函數，則下列說法正確的是（ ）
A．定義域是B．時，圖象位于軸下方
C．存在單調遞增區(qū)間D．有且僅有一個極值點
【答案】BCD
【分析】
求出函數定義域判斷A，根據函數值的正負判斷B，求出導函數，利用導函數確定原函數的增區(qū)間，判斷C，由導函數研究函數的單調性得極值，判斷D．
【詳解】
由題意，函數滿足，解得且，所以函數的定義域為，所以A不正確；
由，當時，，∴，所以在上的圖象都在軸的下方，所以B正確；
∵，所以在定義域上有解，所以函數存在單調遞增區(qū)間，所以C是正確的；
由，則，所以，函數單調增，則函數只有一個根，使得，當時，，函數單調遞減，當時，函數單調遞增，所以函數只有一個極小值，所以D正確；
故選：BCD.
【點睛】
本題考查求函數的定義域，考查用導數研究函數的單調性與極值，掌握極值的定義，單調性與導數的關系是解題關鍵．
三、解答題
21．已知函數.
(1)若只有一個極值點，求的取值范圍.
(2)若函數存在兩個極值點，記過點的直線的斜率為，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）先求導，令，則.令，解不等式組即得解；
（2）只需證，設，函數，證明即得證.
【詳解】
(1)解：，
令，則.令，
要使函數只有一個極值點，則需滿足，即；
(2)證明：因為，
所以，
因為存在兩個極值點，所以即
不妨假設，則
要證，即要證，
只需證，
只需證，
即證
設，函數，
因為，故，所以，即，
故在上單調遞減，則
又因為，所以，即，
從而得證.
【點睛】
關鍵點點睛：解答本題的關鍵是通過分析得到只需證明.對于比較復雜的問題，我們可以通過分析把問題轉化，再證明，提高解題效率.
22．已知函數．
（1）若是奇函數，且有三個零點，求的取值范圍；
（2）若在處有極大值，求當時的值域．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先由函數奇偶性，得到，得出，對其求導，分別討論和兩種情況，根據導數的方法判定函數單調性，結合零點個數，即可求出結果；
（2）先對函數求導，根據極大值求出，根據函數單調性，即可求出值域.
【詳解】
（1）∵是定義域為的奇函數，所以，且．
∴，
∴．
當時，，此時在上單調遞減，
在上只有一個零點，不合題意．
當時，，解得，
∴在，上單調遞減，在上單調遞增，
∵在上有三個零點，∴且，
即，即，
而恒成立，∴．
所以實數的取值范圍為．
（2），
由已知可得，且，
解得或
當，時，
，，
令，即，解得，
令，即，解得或，
即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；
所以是的極小值點，與題意不符．
當，時，，．
令，即，解得；
令，即，解得或，
即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；
所以是的極大值點，符合題意，故，．
又∵，∴在上單調遞增，在上單調遞減．
又，，．
所以在上的值域為．
【點睛】
思路點睛：
導數的方法求函數零點的一般步驟：
先對函數求導，由導數的方法求出函數的單調性區(qū)間，根據函數極值的定義，求出函數的的極值，再根據函數函數的零點個數，確定極值的取值情況，進而可得出結果.
23．（1）當時，求證：；
（2）若對于任意的恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）設a>0，求證；函數在上存在唯一的極大值點，且.
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析
【分析】
（1）構造函數，轉化為函數的最值問題求解；
（2）設，則，分，討論，通過研究的最小值求解；
（3）求得，令得到，通正切函數的性質可得函數單調性，進而可得極值點．將證明轉化為證明，令，則，即證，即證，構造函數利用導數求其最值即可．
【詳解】
（1）證明：設，則，
從而在為增函數．所以，
故當時，成立；
（2）解：設，則，
考慮到當時，，
（?。┊敃r，，則在上為增函數，
從而，此時適合題意．
（ⅱ）當時，，則當時，，從而在上是減函數，
所以當時，，這與“當時，恒成立”矛盾．故此時不適合題意．
由（ⅰ）（ⅱ）得所求實數的取值范圍為．
（3）證明：，
令，得，當時，可化為，
由正切函數的性質及，得在內必存在唯一的實數，使得，
所以當時，，則在上為增函數：
當時，，則在上為減函數，
所以是的極大值點．且的極大值為．
下面證明：．
當時，由（1）知，由（2）易證．
所以，從而．
下面證明：．令，則，
即證，即證．
令，則，
從而在上為增函數，
所以當，，即．
故成立．
【點睛】
利用導數研究函數的單調性，再由單調性來證明不等式是函數、導數、不等式綜合中的一個難點，解題技巧是構造輔助函數，把不等式的證明轉化為利用導數研究函數的單調性或求最值，從而證得不等式，而如何根據不等式的結構特征構造一個可導函數是用導數證明不等式的關鍵.
24．已知函數.
（1）討論函數的單調性.
（2）若，設是函數的兩個極值點，若，求證:.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）先求得的定義域和導函數，對分成和兩種情況進行分類討論，由此求得的單調區(qū)間.
（2）求得的表達式，求得，利用根與系數關系得到的關系式以及的取值范圍，將表示為只含的形式，利用構造函數法求得的最小值，從而證得不等式成立.
【詳解】
(1)由題意得，函數的定義域為，.
當時，，
函數在上單調遞增.
當時，令，得.
若，則，此時函數單調遞增；
若，則，此時函數單調遞減.
綜上，當時，函數在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.
(2)，，
.
由得，
，，.
，，
，解得.
.
設，
則，
函數在上單調遞減.
當時，.
時，成立.
【點睛】
求解含有參數的函數的單調性題，求導后要根據導函數的形式進行分類討論.
25．已知函數
（1）討論的單調性；
（2）若有兩個極值點，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】
（1）先求導得，然后針對的根的個數進行分類討論，得出和時的取值范圍，從而解出單調遞增 區(qū)間和遞減區(qū)間；
（2）由（1）可知，當有兩個極值點時，然后利用韋達定理得出，，再將，帶入中，結合韋達定理將化為關于的式子得：，然后構造函數，求導討論單調性及最值，得出在上的值域，從而得出的取值范圍.
【詳解】
解：（1）由題意得，，.
令.(分類討論的依據：結合二次函數在上的圖像來進行討論)
①當時，恒成立，則在上單調遞減.
②當時，，函數與軸有兩個不同的交點，
則，
所以時，單調遞減；時，單調遞增；時，單調遞減.
綜上所述：當時，在上單調遞減.
當時，時，單調遞減；時，單調遞增；時，單調遞減.
（2）由（1）知：時有兩個極值點且為方程的兩根，
.
.
令，則.
令則，
所以在上單調遞減.又，
所以在上恒成立，即所以.
所以在上為增函數.所以.
，所以的取值范圍是.
【點睛】
本題考查討論含參函數的單調區(qū)間，考查導數與極值點的綜合問題，難度較大.解答的一般思路如下：
（1）分析清楚當原函數有兩個極值點時參數的取值范圍，并利用韋達定理得出，與的關系式；
（2）將，代入目標函數表達式中，利用（1）中，的值將目標函數進行化簡，使目標函數變?yōu)橹缓慕馕鍪剑?br>（3）構造函數并討論函數的單調性及最值，從而得出答案.
26．已知函數，是偶函數．
（1）求函數的極值以及對應的極值點．
（2）若函數，且在上單調遞增，求實數的取值范圍．
【答案】（1）函數的一個極大值點為，對應的極大值為，另一個極大值點為，對應的極大值為；函數極小值點為，對應的極小值為；（2）．
【分析】
(1)求出的表達式，結合函數的奇偶性即可求出，從而可確定的解析式，求出導數即可求出函數的極值點和極值.
(2)結合第一問可得的解析式，從而可求出，由的單調性可得在上恒成立，設，利用導數求出在上的最小值，從而可求出實數的取值范圍.
【詳解】
解：（1）∵，∴，
∴，因為為偶函數，
∴，解得，∴，則，
∴，
由，解得或；由，解得或；
∴在，單調遞增；在，單調遞減．
∴函數的一個極大值點為，對應的極大值為，
另一個極大值點為，對應的極大值為；
函數極小值點為，對應的極小值為.
（2）由（1）知，∴，∴，因為函數在上單調遞增，
∴在上恒成立，即 在上恒成立，
設，令，解得，
當時，，所以在上單調遞增，
則，所以.
【點睛】
方法點睛：
已知奇偶性求函數解析式時，常用方法有：一、結合奇偶性的定義，若已知偶函數，則，若已知奇函數，則，從而可求出函數解析式；二、由奇偶性的性質，即偶函數加偶函數結果也是偶函數，奇函數加奇函數結果也是奇函數.
27．已知函數，其導函數為，且.
（1）求a的值；
（2）設函數有兩個極值點，，求b的取值范圍，并證明過兩點，的直線m恒過定點，且求出該定點坐標
（3）當時，證明函數在R上只有一個零點.
【答案】（1）；（2）；證明見解析；定點；（3）證明見解析.
【分析】
(1)由導數運算可得a的值；
(2)由題設知，是方程的兩個根，得，化簡，同理可得，因此，直線m的方程是，整理可得定點坐標；
(3)先得出，分和兩種情況研究零點即可.
【詳解】
解：(1)因為，，
所以，代入，得，
解得；
(2)因為，所以，由題設知，
是方程的兩個根，故有，解得，
因為，所以
，
同理可得，
過兩點，的直線m的方程是，
即，由，解得，
所以直線m橫過定點；
(3)由(1)可知，
，
當時，因為，所以，
故在區(qū)間上單調遞增，又，，
且的圖像在區(qū)間是不間斷的，所以在區(qū)間上有唯一零點；
當時，，
設，則，
當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，從而，故在上不存在零點.
綜上，在R上有唯一零點.
【點睛】
本題考查了導數的運算、利用導數研究函數的極值和導數中的零點問題，是較難題.
方法點睛：
求直線所過定點時，一般將直線方程轉化整理成的形式，令，解方程組后即可求出定點的坐標.
28．設函數，其中.
（1）若曲線在的切線方程為，求a，b的值；
（2）若在處取得極值，求a的值；
（3）若在上為增函數，求a的取值范圍.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用導數的幾何意義，可得，，計算整理，即可求得a，b的值；
（2）令，即可求得a的值，檢驗可得為極值點，即可得答案；
（3）令，解得，，分別求得和時，的單調區(qū)間，結合題意，分析推理，即可得答案.
【詳解】
（1）因為，
所以，
由題設可得，，
解得，.
（2）因為在取得極值，
所以，解得.
當時，，
令，解得x=1或3，
所以為的極值點，故滿足題意.
（3）令，
得，.
當時，若，則，
所以在和上為增函數，
故當時，在上為增函數恒成立.
當時，在上為增函數，不符合題意，
當時，若，則，
所以在和上為增函數，
從而在上也為增函數，滿足題意.
綜上所述，當時，在上為增函數.
【點睛】
本題考查導數的幾何意義、利用導數求函數的單調區(qū)間和極值點問題，考查計算求值，分類討論的能力，屬中檔題.
29．已知函數.其中為常數.
（1）若函數在定義域內有且只有一個極值點，求實數的取值范圍；
（2）已知，是函數的兩個不同的零點，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出導函數，分類討論確定的正負，得的單調性，從而得極值點個數，由此可得結論；
（2）結合（1）求得函數有兩個零點時的范圍，設，則，，
引入函數，由導數確定它是減函數，得，然后利用，再結合的單調性得出證明．
【詳解】
（1），
當時，，在上單調遞增，不符合題意，
當時，令，得，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，
所以此時只有一個極值點．
（2）由（1）知
當時，，在上單調遞增，函數至多有一個零點，不符合題意，
當時，令，得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
故當時，函數取得最小值，
當時，，，函數無零點，不合題意，
當時，，，函數僅有一個零點，不合題意，
當時，，，
又，所以在上只有一個零點，
令，則，
故當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
所以，即，所以，
所以，
又，所以在上只有一個零點.
所以滿足題意.
不妨設，則，，
令，
則，
，
當時，，所以在上單調遞減，
所以當時，，即，
因為，所以，
所以，
又，，且在上單調遞增，
所以，故得證.
【點睛】
關鍵點點睛：本題考查用導數研究函數的極值點、零點，證明不等式．難點是不等式的證明，首先由零點個數得出參數范圍，在不妨設，則，后關鍵是引入函數，同樣用導數得出它的單調性，目的是證得，然后利用這個不等關系變形的單調性得結論．
30．已知函數.
（1）若，證明：當時，；
（2）若是的極大值點，求正實數a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】
（1）對函數求導，則，再令，則，得出導函數的正負，可得出函數的單調性，繼而判斷導函數的正負，從而可得出函數的單調性，可得證；
（2）分兩種情況和，分別討論得出函數的單調性，由已知可得出正實數a的取值范圍.
【詳解】
（1）由題知，，
令，則，
若，當時，
，
所以在上單調遞增，
所以，所以在上單調遞增；
所以.
（2）①若，由（1）知：在上單調遞增；
因此不可能是的極大值點.
②若，令，
因為當時，，所以即在上單調遞增.
又因為，，
因此存在滿足：，所以當時，，
所以在上單調遞減，，
所以當時，；當時，；
所以在上單調遞增；在上單調遞減；
綜上，當是的極大值點時，.
【點睛】
本題考查運用導函數研究函數的單調性、極值、最值等問題，關鍵在于構造合適的函數，由其導函數的正負得出原函數的單調性，及其圖象趨勢，從而可得出所研究的函數的極值、最值、零點等相關的問題，屬于難度題.

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