初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊5.1.2 垂線同步測試題

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版七年級下冊5.1.2 垂線同步測試題，共8頁。
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補角和對頂角概念，掌握對頂角的性質(zhì)；
2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；
3.理解點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；
4.能依據(jù)對頂角、鄰補角及垂直的概念與性質(zhì)，進行簡單的計算.
【要點梳理】
知識點一、鄰補角與對頂角
1．鄰補角：如果兩個角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關(guān)系的兩個角叫做互為鄰補角．
要點詮釋：
(1)鄰補角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補”指的是兩個角的和為180°．
(2)鄰補角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補角．
(3)互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角．
(4)鄰補角滿足的條件：①有公共頂點；②有一條公共邊；另一邊互為反向延長線.
2. 對頂角及性質(zhì)：
（1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊(相對)的兩個角，互為對頂角．
（2）性質(zhì)：對頂角相等．
要點詮釋：
(1)由定義可知只有兩條直線相交時，才能產(chǎn)生對頂角．
(2)對頂角滿足的條件：①相等的兩個角；②有公共頂點且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.
3. 鄰補角與對頂角對比：
知識點二、垂線
1．垂線的定義：兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足．
要點詮釋：
(1)記法：直線a與b垂直，記作： SKIPIF 1 < 0 ；
直線AB和CD垂直于點O，記作：AB⊥CD于點O.
(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 CD⊥AB．
2．垂線的畫法：過一點畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點，沿此直角邊畫直線，則所畫直線就為已知直線的垂線(如圖所示)．
要點詮釋：
(1)如果過一點畫已知射線或線段的垂線時，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長線上，也可能在線段的延長線上．
(2)過直線外一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段為垂線段．
3．垂線的性質(zhì)：
（1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
（2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡單說成：垂線段最短．
要點詮釋：
（1）性質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說明了垂線的存在性和唯一性．
（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短．”實際上，連接直線外一點和直線上各點的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短．在實際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題．
4．點到直線的距離：
定義：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離．
要點詮釋：
點到直線的距離是垂線段的長度，是一個數(shù)量，不能說垂線段是距離；
（2）求點到直線的距離時，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計算或度量垂線段的長度．
【典型例題】
類型一、鄰補角與對頂角
1．如圖所示，AB和CD相交于點O，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，試說明OM和ON成一條直線。
【答案與解析】
解：∵ OM平分∠AOC，ON平分∠BOD（已知），
∴ ∠AOC=2∠AOM，∠BOD=2∠BON（角平分線定義）。
∵∠AOC=∠BOD（對頂角相等），∴∠AOM=∠BON（等量代換）。
∵∠AON+∠BON=180°（鄰補角定義），∴∠MON=∠AON+∠AOM=180°（等量代換），
∴ OM和ON共線。
【總結(jié)升華】要得出OM和ON成一條直線，就要說明∠MON是平角，從圖中可以看出∠AON是∠MON和平角∠AOB的公共部分，所以只要證明它們的非公共部分相等，即∠AOM和∠BON相等，本題得證。
2.如圖所示，已知直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠2:∠1＝4:l，求 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案與解析】
解：設(shè)∠1＝x，則∠2＝4x．
∵ OE平分∠BOD，∴ ∠BOD＝2∠1＝2x．
∵ ∠2+∠BOD＝180°，即4x+2x＝180°，∴ x＝30°．
∵ ∠DOE+∠COE＝180°，∴ ∠COE＝150°．
又∵ OF平分∠COE，∴ ∠COF＝ SKIPIF 1 < 0 ∠COE＝75°．
∵ ∠AOC＝∠BOD＝60°，∴ ∠AOF＝∠AOC+∠COF＝60°+75°＝135°．
【總結(jié)升華】涉及有比值的題設(shè)條件，如a:b＝m:n，在解題時設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，這是常用的用方程思想解題的方法．
舉一反三：
【變式】已知α的補角是一個銳角，有3人在計算 SKIPIF 1 < 0 時的答案分別是32°、87°、58°，其中只有一個答案是正確的，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【答案】
解法1：∵ α的補角是一個銳角，
∴ α是一個鈍角，即90°＜α＜180°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由已知三人計算出的答案分別為32°、87°、58°，
可知 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
解法2：由題意可知 SKIPIF 1 < 0 是一個鈍角，即 SKIPIF 1 < 0 ．
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，不滿足 SKIPIF 1 < 0 ；
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，不滿足 SKIPIF 1 < 0 ；
如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以此人計算的答案正確．所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【總結(jié)升華】在處理數(shù)學(xué)問題中的誤選答案問題時，常采用驗算法，如本題的解法2：先利用假設(shè)求出相應(yīng)的α的度數(shù)，再驗證是否正確．
3.（1）如圖（1），已知直線a、b相交于點 O，則（1）圖中共有幾對對頂角?幾對鄰補角？
（2）如圖（2），已知直線a、b、c、d是經(jīng)過點O的四條直線，則圖（2）中共有幾對對頂角（不含平角）?幾對鄰補角？

【答案與解析】
解：（1）2對對頂角，4對鄰補角。
（2）將圖（2）拆分為下圖：

通過觀察圖形．不難發(fā)現(xiàn)a、b、c、d四條直線兩兩相交，最多有6個交點，而由（1）知：每個交點處有兩對對頂角，有四對鄰補角，
對頂角的對數(shù)： SKIPIF 1 < 0 （對）；鄰補角的對數(shù): SKIPIF 1 < 0 (對)
答：圖中共有12對對頂角，24對鄰補角
【總結(jié)升華】本例分析問題的方法是通過直線的移動，將直線相交于一點轉(zhuǎn)化為直線兩兩相交．這樣移動，可將抽象的問題直觀化．因為n條直線兩兩相交，最多有 SKIPIF 1 < 0 個交點．每個交點處有兩組對頂角，故n條直線相交于一點共有n(n-1)對對頂角，2n(n-1)對鄰補角。
舉一反三：
【變式】（2020?青島模擬）如圖，直線AB與CD相交所成的四個角中，∠1的鄰補角是 ，∠1的對頂角是 ．
【答案】∠ 2和∠ 4；∠ 3.
由圖形可知，∠1的對頂角是∠3，∠1的鄰補角是∠2和∠4．
類型二、垂線
4．下列語句：
①兩條直線相交，若其中一個交角是直角，那么這兩條直線垂直。
②一條直線的垂線有無數(shù)條。
③空間內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
④兩條直線相交成四個角，如果有兩個角相等，那么這兩條直線垂直。
其中正確的是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【答案】①②
【解析】解此題必須嚴(yán)格按照垂線的定義“兩條直線相交成直角”及垂線的性質(zhì)“過平面內(nèi)任意一點，即過直線上或直線外任意一點，有且僅有一條直線與已知直線垂直”來作判斷。
①正確；②正確，過任意一點都可以作；對于③只有在“同一平面內(nèi)”才成立，因為空間內(nèi)，當(dāng)這點在直線上時，過這點并非只有一條直線與已知直線垂直，故③錯誤；④錯誤，必須是兩個鄰角相等，如下圖：
【總結(jié)升華】應(yīng)用垂線的定義及垂線的性質(zhì)時要把握其中的本質(zhì)要求：
①關(guān)于垂線的定義：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個角中，是否有一個角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直；
②關(guān)于垂線的性質(zhì)：平面內(nèi)，過任意一點有且僅有一條直線與已知直線垂直，這條性質(zhì)說明了已知直線的垂線的“存在性”和“唯一性”，尤其值得注意的是性質(zhì)中的“任意一點”可能在這條已知直線上，也可能在這條已知直線外。
舉一反三：
【變式】在鐵路旁有一城鎮(zhèn)，現(xiàn)打算從城鎮(zhèn)修一條和鐵路垂直的道路，這種方案是唯一的，是因為( )
A．經(jīng)過兩點有且只有一條直線
B．兩點之問的所有連線中，線段最短
C．在同一平面內(nèi)，兩直線同時垂直同一條直線，則這兩直線也互相垂直．
D．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直
【答案】D 提示：注意區(qū)分直線性質(zhì)與垂線性質(zhì)
5. （2020春?會寧縣期中）如圖，∠1=30°，AB⊥CD，垂足為O，EF經(jīng)過點O．求∠2、∠3的度數(shù)．
【答案與解析】
解：由題意得：
∠3=∠1=30°（對頂角相等）
∵AB⊥CD（已知）
∴∠BOD=90°（垂直的定義）
∴∠3+∠2=90°
即30°+∠2=90°
∴∠2=60°
【總結(jié)升華】本題考查了垂線，對頂角、鄰補角．注意：由垂直得直角．
舉一反三：
【變式】如圖，若OM平分∠AOB，且OM ⊥ON，求證：ON平分∠BOC.
【答案】
解：如圖，
∵OM平分∠AOB ∴∠1=∠2
又∵OM ⊥ON ∴∠3=90°－∠2
由圖可得：∠4=180°－2∠2－∠3=180°－2∠2 －（90°－∠2）=90°－∠2
∴∠3=∠4
∴ ON平分∠BOC
6.如圖所示，一輛汽車在直線形公路AB上由A向B行駛，M、N分別是位于公路兩側(cè)的村莊．
(1)設(shè)汽車行駛到公路AB上點P位置時，距離村莊M最近；行駛到點Q位置時，距離村莊N最近，請在圖中的公路AB上分別畫出點P和點Q的位置(保留作圖痕跡)．
(2)當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村莊都越來越近?在哪一段路上距離村莊N越來越近，而離村莊M越來越遠?(分別用文字表述你的結(jié)論，不必說明)
【答案與解析】
解：(1)過點M作MP⊥AB，垂足為P，過點N作NQ⊥AB，垂足為Q，點P、Q就是要畫的兩點，如圖所示．
(2)當(dāng)汽車從A向B行駛時，在AP這段路上，離兩個村莊越來越近；在PQ這段路上，離村莊M越來越遠，離村莊N越來越近．
【總結(jié)升華】利用垂線段最短解決實際問題是常用的一種方法．
舉一反三：
【變式1】如圖所示，過A點作AD⊥BC，垂足為D點．
【答案】
解：如圖所示

【變式2】點P為直線 SKIPIF 1 < 0 外一點：點A、B、C為直線 SKIPIF 1 < 0 上三點，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，則點P到直線 SKIPIF 1 < 0 的距離是 ( )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超過2 cm
【答案】D角的名稱
特 征
性 質(zhì)
相 同 點
不 同 點
對頂角
①兩條直線相交形成的角；
②有一個公共頂點；
③沒有公共邊.
對頂角相等.
①都是兩條直線相交而成的角；
②都有一個公共頂點；
③都是成對出現(xiàn)的.
①有無公共邊；
②兩直線相交時，對頂角只有2對；鄰補角有4對.
鄰補角
①兩條直線相交而成；
②有一個公共頂點；
③有一條公共邊.
鄰補角互補.