第4講一次方程（組）（講通）-【講通練透】中考數(shù)學二輪（全國通用）-教案下載-教習網(wǎng)

?【2022講通練透】二輪
第四講一次方程（組）
一、13個必備知識點 2
考點一等式的性質(zhì) 3
考點二解一次方程（組） 5
考點三含參數(shù)的一次方程（組） 10
考點四一元一次方程的應(yīng)用 10
考點五二元一次方程組的應(yīng)用 24

知識導航

一、13個必備知識點
1．等式的性質(zhì)
（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得的結(jié)果仍是等式．
（2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于零的數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式．
2．方程:含有未知數(shù)的等式叫做方程．
3．方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解；求方程的解的過程叫做解方程．
4．一元一次方程:只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)為1，這樣的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式為．注意：x前面的系數(shù)不為0．
5．一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．
6．一元一次方程的求解步驟
變形名稱
具體做法
去分母
在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)
去括號
先去小括號，再去中括號，最后去大括號
移項
把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊
合并同類項
把方程化成的形式
系數(shù)化成1
在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解為
注意：解方程時移項容易忘記改變符號而出錯，要注意解方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)，在等式兩邊同時加上或減去一個代數(shù)式時，等式仍然成立，這也是“移項”的依據(jù)．移項本質(zhì)上就是在方程兩邊同時減去這一項，此時該項在方程一邊是0，而另一邊是它改變符號后的項，所以移項必須變號．
7．二元一次方程：含有2個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．
8．二元一次方程的解:使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解．
9．二元一次方程組:由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組．方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為．
10．解二元一次方程組的基本思想
解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．
11．二元一次方程組的解法
（1）代入消元法：將方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．
（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．
12．列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟
（1）審題；（2）設(shè)出未知數(shù)；（3）列出含未知數(shù)的等式——方程；（4）解方程（組）；
（5）檢驗結(jié)果；（6）作答（不要忽略未知數(shù)的單位名稱）．
13．一次方程（組）常見的應(yīng)用題型
（1）銷售打折問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數(shù)量．
（2）儲蓄利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數(shù))；貸款利息=貸款額×利率×期數(shù)．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．
（4）行程問題：路程=速度×時間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題（同地不同時出發(fā)）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題（同時不同地出發(fā)）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．

考點一等式的性質(zhì)

1．設(shè)a，b，c為互不相等的實數(shù)，且b＝a+c，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．a(chǎn)﹣b＝4（b﹣c） D．a(chǎn)﹣c＝5（a﹣b）
【解答】解：∵b＝a+c，
∴5b＝4a+c，
在等式的兩邊同時減去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a，
在等式的兩邊同時乘﹣1，則5（a﹣b）＝a﹣c．
故選：D．
2．下列說法中錯誤的是（　?。?br /> A．若a﹣2＝b﹣2，則a＝b
B．若ax＝ay，則x＝y(tǒng)
C．若a（c2+1）＝b（c2+1），則a＝b
D．若，則x＝y(tǒng)
【解答】解：A．根據(jù)等式性質(zhì)1，等式兩邊同時減去一個數(shù)，等式成立．
所以A選項正確，不符合題意；
B．根據(jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊同時除以一個不為0的數(shù)，等式成立．
所以B選項錯誤，符合題意；
C．根據(jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊同時除以一個不為0的數(shù)，等式成立．
所以C選項正確，不符號題意；
D．根據(jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊同時乘以一個數(shù)，等式成立．
所以D選項正確，不符合題意．
故選：B．
3．已知等式3x＝2y+4，則下列等式中不一定成立的是（　?。?br /> A．3x﹣4＝2y B．3x+1＝2y+5 C．3mx＝2my+4 D．x＝
【解答】解：A、∵3x＝2y+4，
∴3x﹣4＝2y，原變形正確，故本選項不符合題意；
B、∵3x＝2y+4，
∴3x+1＝2y+5，原變形正確，故本選項不符合題意；
C、∵3x＝2y+4，
∴等式兩邊都乘以m得：3mx＝2my+4m，原變形錯誤，故本選項符合題意；
D、∵3x＝2y+4，
∴x＝y(tǒng)+，原變形正確，故本選項不符合題意；
故選：C．
4．下列等式從左到右的變形，不一定正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【解答】解：∵＝＝，
∴選項A不符合題意；
∵y＝0時，＝不成立，
∴選項B符合題意；
∵＝，
∴選項C不符合題意；
∵＝1，
∴選項D不符合題意．
故選：B．
5．一般情況下不成立，但也有數(shù)可以使得它成立，例如：m＝n＝0．能使得成立的一對數(shù)m、n我們稱為“相伴數(shù)對”，記為（m，n）．若（x，3）是“相伴數(shù)對”，則x的值為　﹣　．
【解答】解：根據(jù)題意得：，
去分母，得：15x+30＝6x+18，
移項，得：15x﹣6x＝18﹣30，
合并同類項，得：9x＝﹣12，
解得：x＝﹣．
故答案為：﹣．

考點二解一次方程（組）

1．解方程：
（1）5x﹣4＝2（2x﹣3）；
（2）﹣＝1；
（3）﹣＝1+；
（4）﹣＝0.75．
【解答】解：（1）5x﹣4＝2（2x﹣3），
5x﹣4＝4x﹣6，
x＝﹣2．
（2）﹣＝1，
5（x﹣3）﹣2（4x+1）＝10，
5x﹣15﹣8x﹣2＝10，
﹣3x＝10+15+2，
x＝﹣9；
（3）﹣＝1+，
6x﹣2（5x+11）＝12+4（2x﹣4），
6x﹣10x﹣22＝12+8x﹣16，
6x﹣10x﹣8x＝12﹣16+22，
﹣12x＝18，
x＝﹣；
（4）﹣＝0.75，
﹣＝0.75，
2（30+2x）﹣4（20+3x）＝3，
60+4x﹣80﹣12x＝3，
4x﹣12x＝3﹣60+80，
﹣8x＝23，
x＝﹣．
2．解下列一元一次方程
（1）﹣3x+7＝4x+21；
（2）﹣1＝+x；
（3）9y﹣2（﹣y+4）＝3；
（4）﹣＝．
【解答】解：（1）移項得：﹣3x﹣4x＝21﹣7，
合并得：﹣7x＝14，
系數(shù)化為1得：x＝﹣2；

（2）去分母得：2（x+4）﹣10＝5（x﹣2）+10x，
去括號得：2x+8﹣10＝5x﹣10+10x，
移項得：2x﹣15x＝﹣8，
系數(shù)化為1得：x＝；

（3）去括號得：9y+2y﹣8＝3，
移項合并得：11y＝11，
系數(shù)化為1得：y＝1；

（4）方程可變形為﹣＝4﹣8x，
去分母得：9（30x﹣15）﹣2（20x﹣10）＝18（4﹣8x）
整理得：270x﹣135﹣40x+20＝72﹣144x
移項合并得：374x＝187
系數(shù)化為1得：x＝．
3．解方程：
（1）﹣＝1；
（2）﹣1＝﹣．
【解答】解：（1）﹣＝1，
4（2x﹣1）﹣3（3x﹣4）＝12，
8x﹣4﹣9x+12＝12，
﹣x＝4，
x＝﹣4；
（2）﹣1＝﹣，
10（3y+2）﹣20＝5（2y﹣1）﹣4（2y+1），
30y+20﹣20＝10y﹣5﹣8y﹣4，
30y﹣10y+8y＝﹣5﹣4，
28y＝﹣9，
y＝﹣．
4．解方程組：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
將②代入①，得：3x﹣x﹣4＝6，
∴x＝5
∴，
則方程組的解為．
（2）方程組變形得：，
把②代入①得，3x+8x﹣10＝12，
∴x＝2，
把x＝2代入②得，y＝4×2﹣5＝3，
所以方程組的解為．
5．解方程組：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原方程組去分母，去括號得：
．
①×3﹣②×2得：9x+6y﹣8x﹣6y＝﹣60﹣14．
∴x＝﹣74．
代入①得：y＝101．
∴原方程組的解為：．
（2）原方程組去分母，去括號得：
．
①×2+②得：﹣2x+14y+2x+y＝8+3．
∴y＝．
代入②得：x＝．
∴原方程組的解為：．
6．解方程組
（1）
（2）
【解答】解：（1）
由①﹣②，可得
2x＝16，
解得x＝8，
把x＝8代入②，可得
8+4y＝﹣12，
解得y＝﹣5，
∴方程組的解為；
（2）方程組可化為：
由①×5﹣②，可得x＝﹣1
由①×3﹣②，可得y＝﹣1
∴方程組的解為

考點三含參數(shù)的一次方程（組）

1．已知（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是關(guān)于x的一元一次方程，則m的值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
【解答】解：∵（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是關(guān)于x的一元一次方程，
∴|m﹣2|＝1且m﹣3≠0，
∴m＝1，
故選：A．
2．已知關(guān)于x的方程＝3+k的解為非負整數(shù)且滿足|x|＜3，則符合條件的所有k值的乘積為（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由＝3+k，得3﹣kx＝6+2k，
所以kx＝﹣3﹣2k．
當k＝0時，該等式不成立；
當k≠0時，x＝＝﹣﹣2．
∵關(guān)于x的方程＝3+k的解為非負整數(shù)且滿足|x|＜3，
∴x的值是0，1，2，
當x＝0時，﹣﹣2＝0，此時k＝﹣．
當x＝1時，﹣﹣2＝1，此時k＝﹣1．
當x＝2時，﹣﹣2＝2，此時k＝﹣．
∴（﹣）×（﹣1）×（﹣）＝﹣．
故選：B．
3．已知關(guān)于x的方程x﹣＝﹣2有非負整數(shù)解，則整數(shù)a的所有可能的取值的和為（　?。?br /> A．﹣23 B．23 C．﹣34 D．34
【解答】解：x﹣＝﹣2，
則6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣12，
故6x﹣2+ax＝2x﹣12，
（4+a）x＝﹣10，
解得：x＝﹣，
∵﹣是非負整數(shù)，
∴a＝﹣5或﹣6，﹣9，﹣14時，x的解都是非負整數(shù)，
則﹣5﹣6﹣9﹣14＝﹣34．
故選：C．
4．已知關(guān)于x，y的方程組和的解相同，則（a+b）2021的值為（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2021
【解答】解：聯(lián)立得：，
①×5+②×3得：29x＝58，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
代入得：，
解得：，
則原式＝（﹣2+2）2021＝0．
故選：A．
5．已知關(guān)于x的方程x﹣＝﹣1的解是非正整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和是（　?。?br /> A．﹣4 B．﹣3 C．2 D．3
【解答】解：x﹣＝﹣1，
6x﹣（4﹣ax）＝2（x+a）﹣6
6x﹣4+ax＝2x+2a﹣6
6x+ax﹣2x＝2a﹣6+4
（a+4）x＝2a﹣2
x＝，
∵方程的解是非正整數(shù)，
∴≤0，
解得：﹣4＜a≤1，
當a＝﹣3時，x＝﹣8；
當a＝﹣2時，x＝﹣3；
當a＝﹣1時，x＝﹣（舍去）；
當a＝0時，x＝﹣（舍去）；
當a＝1時，x＝0；
則符合條件的所有整數(shù)a的和是﹣3﹣2+1＝﹣4．
故選：A．
6．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解中x，y均為整數(shù)，且m為正整數(shù)，則m2﹣1的值為（　?。?br /> A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
【解答】解：，
①+②，得3x+mx＝10，
合并同類項，得（3+m）x＝10，
解得x＝，
∵x是整數(shù)，m為正整數(shù)，
∴3+m＞3，
∴3+m＝10或3+m＝5，
∴m＝7或m＝2，
當m＝7時，x＝1，y＝（舍），
當m＝2時，x＝2，y＝3，
∴m2﹣1＝3，
故選：B．
7．已知關(guān)于x，y的方程組和有相同的解，那么的算術(shù)平方根是（　?。?br /> A．0 B．± C． D．2
【解答】解：由題意可知，方程組和有相同的解，
中，①+②得，x＝﹣2，
將x＝﹣2代入①得，y＝﹣3，
∴方程組的解為，
中，③×3，得3ax+3by＝﹣3⑤，
④﹣⑤得，by＝21，
∴b＝﹣7，
∴a＝11，
∴a+b＝4，
∴＝2，
∴的算術(shù)平方根是，
故選：C．
8．已知關(guān)于x的方程3x﹣2a＝2x的解為2，則代數(shù)式﹣a2+a﹣1的值是　﹣1?。?br /> 【解答】解：把x＝2代入方程得：6﹣2a＝4，
解得：a＝1，
則原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1，
故答案為：﹣1
9．關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，則其解為　x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3　．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴當m＝1時，方程為x﹣2＝0，解得：x＝2；
當m＝0時，方程為﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；
當2m﹣1＝0，即m＝時，方程為﹣x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，
故答案為：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3．
10．若關(guān)于x的方程﹣x＝2的解與方程x+1＝m的解相同，則m的值為　2.5?。?br /> 【解答】解：解方程﹣x＝2得：x＝4﹣m，
解方程x+1＝m得：x＝m﹣1，
∵關(guān)于x的方程﹣x＝2的解與方程x+1＝m的解相同，
∴4﹣m＝m﹣1，
解得：m＝2.5，
故答案為：2.5．
11．已知方程組有相同的解，則a2﹣2ab+b2＝　144?。?br /> 【解答】解：∵方程組有相同的解，
∴方程組的解也是它們的解，
解得：，
代入其它兩個方程得，
解得：，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（14﹣2）2＝122＝144．
故答案為：144．
12．若關(guān)于x、y的二元一次方程組，的解是，則關(guān)于a、b的二元一次方程組的解是　　．
【解答】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組，的解是，
∴方程組中，
解得：．
故答案為：．
13．已知，且﹣1＜x﹣y＜0，則k的取值范圍為　?。?br /> 【解答】解：，
由②﹣①，得x﹣y＝1﹣2k．
∵﹣1＜x﹣y＜0，
∴﹣1＜1﹣2k＜0，
解得，；
故答案為：．
14．若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解x、y互為相反數(shù)，求m的值．
【解答】解：將x＝﹣y代入二元一次方程租可得關(guān)于y，m的二元一次方程組，解得m＝23．
15．已知關(guān)于x、y的方程組的解和的解相同，求代數(shù)式2a+b的平方根．
【解答】解：∵方程組的解和的解相同，
∴與的解相同，
∴，
①×2得，4x﹣6y＝6③，
②×3得，9x+6y＝33④，
③+④得，x＝3，
將x＝3代入①得，y＝1，
∴方程組的解為，
將代入2ax+3by＝3中，得2a+b＝1，
∴2a+b的平方根為±1．
考點四一元一次方程的應(yīng)用
1．為響應(yīng)文明城區(qū)建設(shè)號召，某校組建了“文明宣傳隊”和“文明監(jiān)督隊”．其中“文明宣傳隊”的人數(shù)比“文明監(jiān)督隊”的人數(shù)的2倍少8人．一個月后，為了提高工作成效，學校決定從“文明宣傳隊”調(diào)10人去“文明監(jiān)督隊”，并調(diào)“文明監(jiān)督隊”原來人數(shù)的一半去“文明宣傳隊”，調(diào)整后，“文明宣傳隊”比“文明監(jiān)督隊”多6人．求原“文明宣傳隊”和“文明監(jiān)督隊”各有多少人？若設(shè)“文明監(jiān)督隊”有x人，則根據(jù)題意，列方程正確的為（　?。?br /> A．2x﹣8+10+x＝x﹣10﹣x+6
B．2x﹣8﹣10x＝x+10+x+6
C．2x﹣8﹣10+x＝x+10﹣x+6
D．2x﹣8﹣10+x＝x+10﹣6
【解答】解：設(shè)“文明監(jiān)督隊”有x人，則“文明宣傳隊”有（2x﹣8）人，
依題意得：2x﹣8﹣10+x＝x+10﹣x+6．
故選：C．
2．一輛快車和一慢車同時從A地出發(fā)沿同一公路同方向行駛，快車的行駛速度是120km/h，慢車的行駛速度是80km/h，快車比慢車早2h經(jīng)過B地．設(shè)A、B兩地間的路程是xkm，由題意可得方程（　?。?br /> A．120x﹣80x＝2 B．﹣＝2 C．80x﹣120x＝2 D．﹣＝2
【解答】解：設(shè)A、B兩地間的路程為xkm，
根據(jù)題意得：﹣＝2，
故選：D．
3．《九章算術(shù)》中有這樣一道題：今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，問人數(shù)、羊價幾何？這道題的意思是：今有若干人共買一頭羊，若每人出5錢，則還差45錢；若每人出7錢，則仍然差3錢．求買羊的人數(shù)和這頭羊的價格．設(shè)買羊的人數(shù)為x人，根據(jù)題意，可列方程為（　?。?br /> A．5x﹣45＝7x+3 B．5x+45＝7x﹣3 C．5x﹣45＝7x﹣3 D．5x+45＝7x+3
【解答】解：設(shè)買羊的人數(shù)為x人，
根據(jù)題意，可列方程為5x+45＝7x+3，
故選：D．
4．為配合荊州市“我讀書，我快樂”讀書節(jié)活動，某書店推出一種優(yōu)惠卡，每張卡售價20元，憑卡購書可享受8折優(yōu)惠．小慧同學到該書店購書，她先買優(yōu)惠卡再憑卡付款，結(jié)果節(jié)省了10元．若此次小慧同學不買卡直接購書，則她需付款多少元？（　　）
A．140元 B．150元 C．160元 D．200元
【解答】解：設(shè)小慧同學不買卡直接購書的總價值是人民幣是x元，
則有：20+0.8x＝x﹣10
解得：x＝150
即：小慧同學不憑卡購書的書價為150元．
故選：B．
5．小雅和小智約好周末一起登縉云山，兩人同時從山腳出發(fā)，沿同一路線上山．小雅以每分鐘45米的速度勻速上山，途中不休息；小智以每分鐘120米的速度騎自行車勻速上山，每騎車5分鐘休息1分鐘．10分鐘后小智自行車出現(xiàn)故障，立即以每分鐘50米的速度推著自行車到山腳出發(fā)點維修．15分鐘后小智修好了自行車，立即以出發(fā)時的速度騎車追趕小雅，仍然騎車5分鐘休息1分鐘，最后小雅還是比小智早到山頂45秒，則山腳到山頂?shù)木嚯x為　3733.2　米．
【解答】解：小智前10分鐘走了（5+4）×120＝1080米，
下山修車用了1080÷50＝21.6分鐘．
設(shè)小智再次登頂用了t分，t不一定是6的倍數(shù)，
則小雅走了45（10+21.6+15+t﹣）米，即（2063.25+45t）米．
設(shè)t中有m個5分鐘，除t中的6m分鐘外還余x分鐘（x＜5）．則小智再次登頂有m個休息，
∴t＝5m+m+x＝6m+x，
∵小智登頂?shù)木嚯x為5m×120+120x，
∴5m×120+120x＝2063.25+45t，即5m×120+120x＝2063.25+45（6m+x），
整理得，330m+75x＝2063.25，
∵m為整數(shù)，x＜5，
∴m＝6，x＝1.11，
則山腳到山頂?shù)木嚯x為5×6×120+120×1.11＝3733.2米．
故答案為：3733.2．
6．在同一條道路上，小明以100km/h的速度從相距400km的A地自駕到B地，同時客車從B地勻速行駛到A地，且每隔1小時滾動發(fā)車．過了一段時間，小明遇到了第一輛客車，小時后小明遇到了第二輛客車，則小明和第二輛客車相遇時，第一輛客車距離A地還有　250　千米．
【解答】解：設(shè)客車的速度為xkm/h，依題意有
x＝x+×100，
解得x＝50，
設(shè)小明經(jīng)過t小時遇到了第一輛客車，依題意有
50t+100t＝400，
解得t＝，
400﹣50×（+）＝250（千米）．
故第一輛客車距離A地還有250千米．
故答案為：250．
7．列方程解應(yīng)用題：
重慶恒都農(nóng)業(yè)集團已建成涵蓋牧草種植、飼料加工、品種繁育、肉牛育肥、電子交易、肉牛屠宰、精深加工、冷鏈運輸、市場銷售、科技研發(fā)于一體的全產(chǎn)業(yè)鏈格局．已知其旗下牛肉加工廠12月份共計從屠宰場以3.4萬元/噸價格購買了38噸生牛肉為元旦節(jié)做準備，根據(jù)市場信息，若將生牛肉直接在市場上銷售，售價為3.6萬元/噸；如果對牛肉進行粗加工，每天可加工7噸生牛肉，但是成品只有原材料的90%，并且每消耗1噸原材料還有其他成本0.1萬元，這樣粗加工后所得成品的售價能達到6萬元/噸；如果對牛肉進行精加工，每天可加工3噸生牛肉，但是成品只有原材料的80%，并且每消耗1噸原材料還有其他成本0.6萬元，這樣精加工后所得成品的售價能達到10萬元/噸．受疫情影響，加工廠每天只能采取一種加工方式，并且本月的加工時間最多只有10天，現(xiàn)有兩種加工方案：
方案一：盡可能多的精加工，剩余的生牛肉在市場上直接銷售；
方案二：一部分粗加工，一部分精加工，且剛好10天時將所有原材料加工完．
（1）若按照方案二進行加工，需要粗加工多少天？
（2）哪個方案獲得的利潤最大？最大利潤是多少？
（3）今年1月份時，為了應(yīng)對春節(jié)期間的牛肉加工產(chǎn)品需求量劇增的情況，該加工廠某車間臨時開放多條生產(chǎn)線，使得粗加工和精加工可以同時進行，其中需要粗加工的生牛肉數(shù)量是精加工的2倍．上午全部工人在粗加工產(chǎn)品，下午一半的工人仍然繼續(xù)粗加工（上、下午的工作時間相等），到下班時剛好把粗加工的原材料全部處理完畢，另一半的工人去精加工產(chǎn)品，到下班時還剩下一小部分未完成，最后由5個工人再用一整天的時間剛好加工完．如果該車間工人每人每小時精加工的效率是粗加工效率的一半，則該車間工人共有多少人？
【解答】解：（1）設(shè)粗加工x天，則精加工10﹣x天，根據(jù)題意，得
7x+3×（10﹣x）＝38，
整理，得4x＝8，
解得x＝2．
答：若按照方案二進行加工，需要粗加工2天．
（2）所獲利潤按方案來分．
方案一：利潤為3×10×80%×10﹣3×10×（3.4+0.6）+（3.6﹣3.4）×（38﹣3×10）
＝240﹣120+1.6
＝121.6（萬元）．
方案二：粗加工2天7×2＝14噸，剩余38﹣14＝24噸．
利潤為14×90%×6﹣14×（3.4+0.1）+24×80%×10﹣24×（3.4+0.6），
＝14×1.9+24×4，
＝122.6（萬元）．
∵122.6＞121.6，
∴方案二獲得的利潤最大，最大利潤是122.6萬元；
（3）設(shè)精加工的速度為a，則粗加工的速度為2a，車間共有y人，
根據(jù)題意，得：2a×y×+2a××＝2（a××+5a），
整理得：+10a，
解得：y＝10，
答：該車間工人共有10人．
8．某購物平臺準備在春節(jié)期間舉行年貨節(jié)活動，此次年貨節(jié)活動特別準備了A、B兩種商品進行特價促銷，已知購進了A、B兩種商品，其中A種商品每件的進價比B種商品每件的進價多40元，購進A種商品2件與購進B種商品3件的進價相同．
（1）求A、B兩種商品每件的進價分別是多少元？
（2）該網(wǎng)購平臺從廠家購進了A、B兩種商品共60件，所用資金為5800元，出售時，A種商品在進價的基礎(chǔ)上加價20%進行標價；B商品按標價出售每件可獲禮20元．若按標價出售A、B兩種商品，則全部售完共可獲利多少元？
（3）在（2）的條件下，年貨節(jié)期間，A商品按標價出售，B商品按標價先銷售一部分商品后，余下的再按標價降價8元出售，A、B兩種商品全部售出，總獲利比全部按標價售出獲利少了，則B商品按標價售出多少件？
【解答】解：（1）設(shè)A種商品每件的進價是x元，則B種商品每件的進價是（x﹣40）元，
由題意得2x＝3（x﹣40），
解得：x＝120，
120﹣40＝80（元）．
答：A種商品每件的進價是120元，B種商品每件的進價是80元；
（2）設(shè)購買A種商品a件，則購買B商品（60﹣a）件，
由題意得120a+80（60﹣a）＝5800，
解得a＝25，60﹣a＝35．
120×20%×25+20×35＝1300（元）．
答：全部售完共可獲利1300元；
（3）設(shè)B商品按標價售出m件，
由題意得：120×20%×25+20m+（20﹣8）（35﹣m）＝1300×（1﹣），
解得m＝10．
答：B商品按標價售出10件．
9．為了更好的實現(xiàn)信息化教學，我校準備從某公司購入一批新型設(shè)備．經(jīng)調(diào)查，某公司有A、B兩種型號設(shè)備，其中每臺B型號設(shè)備的售價比每臺A型號設(shè)備的售價的2倍少一萬元．若購買A型號設(shè)備4臺，B型號設(shè)備5臺，則共需資金30萬元．
（1）求每臺A、B型號設(shè)備的售價分別為多少萬元？
（2）該公司在“元旦”期間有如下表所示優(yōu)惠活動：
折前一次性購物總金額
優(yōu)惠措施
不超過10萬元
不優(yōu)惠
超過10萬元但不超過30萬元
按總售價打9.5折
超過30萬元但不超過70萬元
按總售價打9折
超過70萬元的
按總售價打8.5折
由于A、B兩種型號不混合出售，按上述優(yōu)惠條件，學校第一次購買A型號設(shè)備一次性付款237500元，第二次購買B型號設(shè)備一次性付款612000元，求購買A、B兩種設(shè)備共多少臺？
【解答】解：（1）設(shè)每臺A型號設(shè)備的售價為x萬元，則每臺B型號設(shè)備的售價為（2x﹣1）萬元，
依題意得：4x+5（2x﹣1）＝30，
解得：x＝2.5，
∴2x﹣1＝4．
答：每臺A型號設(shè)備的售價為2.5萬元，每臺B型號設(shè)備的售價為4萬元．
（2）設(shè)第一次購買A型號設(shè)備m臺，第二次購買B型號設(shè)備n臺，
依題意得：25000m×0.95＝237500，40000n×0.9＝612000或40000n×0.85＝612000，
解得：m＝10，n＝17或18，
∴m+n＝27或28．
答：購買A、B兩種設(shè)備共27臺或28臺．
10．今年11月份，某商場用22200元購進長虹取暖器和格力取暖器共400臺，已知長虹取暖器每臺進價為50元，售價為70元，格力取暖器每臺進價為60元，售價為90元．
（1）求11月份兩種取暖器各購進多少臺？
（2）在將11月份購買的兩種取暖器從廠家運往商場的過程中，長虹取暖器出現(xiàn)的損壞（損壞后的產(chǎn)品只能為廢品，不能再進行銷售），而格力取暖器完好無損，商場決定對這兩種取暖器的售價進行調(diào)整，使這次購進的取暖器全部售完后，商場可獲利35%，已知格力取暖器在原售價基礎(chǔ)上提高5%，問長虹取暖器調(diào)整后的每臺售價比原售價多多少元？
（3）今年重慶的天氣比往年寒冷了許多，進入12月份，格力取暖器的需求量增大，商場在籌備“雙十二”促銷活動時，決定去甲、乙兩個生產(chǎn)廠家都只購進格力取暖器，甲、乙生產(chǎn)廠家給出了不同的優(yōu)惠措施：
甲生產(chǎn)廠家：格力取暖器出廠價為每臺60元，折扣數(shù)如下表所示：
一次性購買的數(shù)量
不超過150臺的部分
超過150臺的部分
折扣數(shù)
打九折
打八五折
乙生產(chǎn)廠家：格力取暖器出廠價為每臺50元，當出廠總金額達一定數(shù)量后還可按下表返現(xiàn)金．
出廠總金額
不超過7000元
超過7000元，但不超過10000元
超過10000元
返現(xiàn)金金額
0元
直接返現(xiàn)200元
先返現(xiàn)出廠總金額的2%，再返現(xiàn)296元
已知該商場在甲生產(chǎn)廠家購買格力取暖器共支付8610元，在乙生產(chǎn)廠家購買格力取暖器共支付9700元，若將在兩個生產(chǎn)廠家購買格力取暖器的總量改由在乙生產(chǎn)廠家一次性購買，則商場可節(jié)約多少元？
【解答】解：（1）設(shè)該商場11月份購進長虹取暖器x臺，則購進格力取暖器（400﹣x）臺，
依題意得：50x+60（400﹣x）＝22200，
解得：x＝180，
∴400﹣x＝220．
答：該商場11月份購進長虹取暖器180臺，格力取暖器220臺．
（2）設(shè)長虹取暖器調(diào)整后的每臺售價比原售價多y元，
依題意得：（70+y）×180×（1﹣）+90×（1+5%）×220﹣22200＝22200×35%，
解得：y＝6.5，
答：長虹取暖器調(diào)整后的每臺售價比原售價多6.5元．
（3）設(shè)該商場在甲生產(chǎn)廠家購買了m臺格力取暖器，在乙生產(chǎn)廠家購買了n臺格力取暖器．
∵60×0.9×150＝8100（元），8100＜8610，
∴8100+60×0.85×（m﹣150）＝8610，
解得：m＝160．
當在乙生產(chǎn)廠家購買格力取暖器的出廠總金額不超過10000元時，50n﹣200＝9700，
解得：n＝198；
當在乙生產(chǎn)廠家購買格力取暖器的出廠總金額超過10000元時，50×（1﹣2%）n﹣296＝9700，
解得：n＝204．
當m＝160，n＝198時，節(jié)約的錢數(shù)為8610+9700﹣[50×（1﹣2%）×（160+198）﹣296]＝1064（元）；
當m＝160，n＝204時，節(jié)約的錢數(shù)為8610+9700﹣[50×（1﹣2%）×（160+204）﹣296]＝770（元）．
答：若將在兩個生產(chǎn)廠家購買格力取暖器的總量改由在乙生產(chǎn)廠家一次性購買，則商場可節(jié)約1064元或770元．
11．水資源透支現(xiàn)象令人擔憂，節(jié)約用水迫在眉睫．針對居民用水浪費現(xiàn)象，重慶市政府和環(huán)保組織進行了調(diào)查，并制定出相應(yīng)的措施．
（1）據(jù)環(huán)保組織調(diào)查統(tǒng)計，全市至少有6×105個水龍頭、2×104個抽水馬桶漏水．若一萬個漏水的水龍頭一個月能漏掉a立方米水；一萬個漏水的馬桶一個月漏掉b立方米水，則全市一個月僅這兩項所造成的水流失量是多少？
（2）針對居民用水浪費現(xiàn)象，市政府將制定居民用水標準：規(guī)定每個三口之家每月的標準用水量，超過標準部分加價收費．若不超標部分的水價為每立方米3.5元；超標部分為每立方米4.2元．某家庭某月用水12立方米，交水費44.8元，請你通過列方程求出我市規(guī)定的三口之家每月的標準用水量為多少立方米．
（3）在近期由市物價局舉行的水價聽證會上，有一代表提出一新的水價收費設(shè)想：每天8：00至22：00為用水高峰期，水價可定為每立方米4元；22：00至次日8：00為用水低谷期，水價可定為每立方米3.2元．若某三口之家按照此方案需支付的水費與（2）問所交水費相同，又知該家庭用水高峰期的用水量比低谷期少20%．請計算哪種方案下的用水量較少？少多少？
【解答】解：（1）∵?a+?b＝60a+2b
∴全市一個月僅這兩項所造成的水流失量是（60a+2b）立方米．

（2）∵，
∴該家庭該月用水量超過標準用水量，
設(shè)我市規(guī)定的三口之家的每月標準用水量為x立方米，
由題意得：3.5x+4.2（12﹣x）＝44.8，
解得：x＝8，
答：我市規(guī)定的三口之家的每月標準用水量為8立方米．

（3）設(shè)用水低谷期的用水量為y立方米，則用水高峰期的用水量為（1﹣20%）y立方米，
由題意得：3.2y+4×（1﹣20%）y＝44.8，
解得：y＝7，
∴y+（1﹣20%）y＝7+5.6＝12.6，
∵12.6﹣12＝0.6（立方米）．
∴問題（2）中的方案下的用水量較少，少0.6立方米．
12．“樂天樂地樂巴蜀，巴蜀孩子最幸福”巴蜀中學一年一度的藝術(shù)節(jié)是孩子們最盼望的節(jié)日，不僅有各種精彩的節(jié)目表演，還有美淘街各具特色的小店，就像過年一樣熱鬧．初二（1）班的同學們在2018年的美淘街上大放異彩，他們手工編織的小掛件非常受歡迎，當天一共賣出了40件動物掛件與50件植物掛件，其中動物掛件每件售價8元，植物掛件每件售5元．2019年他們打算繼續(xù)賣手工編織的掛件．與2018年的售價相比，動物掛件的售價不變，優(yōu)惠如下：買2件，首件全價，第二件半價，不單件銷售：植物擺件的單價上調(diào)m%．與2018年的銷售量相比，動物掛件的銷量增加了5m%，植物掛件的銷量下降了10件．結(jié)果2019年的銷售額比2018年的銷售額增加了m元，求m的值．
【解答】解：根據(jù)題意得：×40（1+5m%）+5（1+m%）×（50﹣10）＝8×40+5×50+m，
240+12m+200+2m＝320+250+m，
整理得，13m＝130，
解得m＝10．
故m的值為10．

考點五二元一次方程組的應(yīng)用

1．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學的經(jīng)典著作，書中記載：今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾兩秉，而實一十斗；下禾八秉，益實一斗，于上禾二秉，而實一十斗．問上、下禾實一秉各幾何？其意思為：現(xiàn)有七捆上等稻子和兩捆下等稻子打成谷子，再減去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和兩捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子．問一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？設(shè)一捆上等稻子和一捆下等稻子分別打成谷子x斗，y斗，則可建立方程組為（　?。?br /> A．
B．
C．
D．
【解答】解：依題意得：．
故選：C．
2．由于今年重慶受到洪水襲擊，造成南濱路水電站損害，重慶市政府決定對南濱路水電站水庫進行加固．現(xiàn)有4輛板車和5輛卡車一次能運27噸水電站加固材料，10輛板車和3輛卡車一次能運20噸水電站加固材料，設(shè)每輛板車每次可運x噸貨，每輛卡車每次能運y噸貨，則可列方程組（　?。?br /> A． B．
C． D．
【解答】解：依題意得：．
故選：D．
3．在2019年全國青少年信息學聯(lián)賽中，巴蜀中學創(chuàng)歷史新高，有69人獲得“全國信息學聯(lián)賽一等獎”，充分展現(xiàn)了巴蜀人探索求知的精神，實力冠絕重慶．學校想借此提升信息課的教學質(zhì)量，準備更換一批硬件設(shè)備，包括電腦主機，顯示器和鼠標．其中學校通過招標擬采購兩種類型的鼠標，分別為無線鼠標和有線鼠標．根據(jù)計劃的采購清單，采購12個無線鼠標和16個有線鼠標共花費972元，采購25個無線鼠標比采購8個有線鼠標多花費909元．
（1）求采購的無線鼠標和有線鼠標單價各為多少？
（2）學校本次計劃擬采購兩種鼠標一共420個，若采購的無線鼠標數(shù)量不少于有線鼠標的數(shù)量，用W（單位：元）表示本次計劃采購的總費用，請求出W的最小值．
【解答】解：（1）設(shè)采購的無線鼠標的單價為x元，采購的有線鼠標的單價為y元，
由題意得，
解得，
答：采購的無線鼠標的單價為45元，采購的有線鼠標的單價為27元；
（2）設(shè)采購的無線鼠標有a個，則采購的有線鼠標有（420﹣a）個，
由題意得a≥420﹣a，
∴a≥210，
∵W＝45a+27（420﹣a）＝18a+11340，18＞0，
∴當a＝210時，W的值最小，W的最小值為15120元．
答：W的最小值為15120元．
4．抗擊新型冠狀肺炎疫情期間，84消毒液和酒精都是重要的防護物資．某藥房根據(jù)實際需要采購了一批84消毒液和酒精，共花費11500元，84消毒液和酒精的進價和售價如下：

84消毒液
酒精
進價（元/瓶）
25
20
售價（元/瓶）
40
28
（1）該藥房銷售完這批84消毒液和酒精后共獲利6100元，則84消毒液和酒精各銷售了多少瓶？
（2）隨著疫情的發(fā)展，該藥房打算再次采購一批84消毒液和酒精，第二次采購仍以原價購進84消毒液和酒精，購進84消毒液的數(shù)量不變，而購進酒精的數(shù)量是第一次采購數(shù)量的2倍，84消毒液按原價出售，而酒精打折讓利出售．若該藥房將84消毒液和酒精全部銷售完，要使第二次的銷售獲利不少于4900元，則每瓶酒精最多打幾折？
【解答】解：（1）設(shè)84消毒液銷售了x瓶，酒精銷售了y瓶，根據(jù)題意得
，
解得：．
答：84消毒液銷售了300瓶，酒精銷售了200瓶；

（2）設(shè)每瓶酒精打a折，根據(jù)題意得
300×40+200×2×0.1a×28﹣300×25﹣200×2×20≥4900，
解得：a≥7.5．
答：每瓶酒精最多打7.5折．
5．新年將至，小開計劃購進部分年貨進行銷售；若購進40副春聯(lián)和30對窗花共需410元；購進60副春聯(lián)和80對窗花共需720元．
（1）求每副春聯(lián)、每對窗花的進價各是多少元；
（2）小開計劃購進春聯(lián)、窗花共300件進行銷售，進價不超過1400元，且全部銷售完后總利潤不低于1000元．已知小開將春聯(lián)和窗花的售價分別定為15元和6元．設(shè)批發(fā)春聯(lián)a副，總利潤為W元．寫出W（元）與a（副）的函數(shù)關(guān)系式，并求最大總利潤W的值．
【解答】解：（1）設(shè)每副春聯(lián)、每對窗花的進價分別是x元、y元，由題意可得：
，
解得：，

答：每副春聯(lián)的進價是8元，每對窗花的進價是3元．
（2）設(shè)批發(fā)春聯(lián)a副，總利潤為W元，
則W＝（15﹣8）a+（6﹣3）（300﹣a）＝4a+900，
由題意可得：，
解得：25≤a≤100，
∵在W＝4a+900中，W隨a的增大而增大，
∴當a＝100時，W取得最大值，此時W＝1300．
答：W與a的函數(shù)關(guān)系式是W＝4a+900，最大總利潤1300元．
6．學校計劃向某花卉供應(yīng)商家定制一批花卉來裝扮校園（花盆全部為同一型號），該商家委托某貨運公司負責這批花卉的運輸工作．該貨運公司有甲、乙兩種專門運輸花卉的貨車，已知1輛甲型貨車和3輛乙型貨車滿載一次可運輸1700盆花卉；3輛甲型貨車和1輛乙型貨車滿載一次可運輸1900盆花卉．
（1）求1輛甲型貨車滿載一次可運輸多少盆花卉，1輛乙型貨車滿載一次可運輸多少盆花卉？
（2）學校計劃定制6500盆花卉，該貨運公司將同時派出甲型貨車m輛、乙型貨n輛來運輸這批花卉，一次性運輸完畢，并且每輛貨車都滿載，請問有哪幾個運輸方案？
【解答】解：（1）設(shè)1輛甲型貨車滿載一次可運輸x盆花卉，1輛乙型貨車滿載一次可運輸y盆花卉，
依題意得：，
解得：．
答：1輛甲型貨車滿載一次可運輸500盆花卉，1輛乙型貨車滿載一次可運輸400盆花卉．
（2）依題意得：500m+400n＝6500，
∴m＝13﹣n．
又∵m，n均為正整數(shù)，
∴或或，
∴共有3種運輸方案，
方案1：該貨運公司派出甲型貨車9輛，乙型貨車5輛；
方案2：該貨運公司派出甲型貨車5輛，乙型貨車10輛；
方案3：該貨運公司派出甲型貨車1輛，乙型貨車15輛．
7．在重慶南開中學建校85周年之際，學校舉行了隆重的慶祝活動．為感謝參與活動的師生，學校定制了水杯和手賬兩種紀念品，已知定制2個水杯和3本手賬共需180元，定制5個水杯和6本手賬共需420元．
（1）定制一個水杯和一本手賬的單價各是多少元？
（2）學校最終決定定制水杯和手賬的總數(shù)量為600件（其中水杯不超過300個），并委托商家進行包裝，現(xiàn)有如下兩種方案：
方案1：一個水杯的包裝費為6元，一本手賬的包裝費為1元，總費用打8折；方案2：定制一個水杯，就贈送一本手賬，并將一個水杯和一本手賬作為套裝進行包裝，此種方案中每個套裝的包裝費為4元，剩下需要單獨定制的單品每件包裝費為2元．
求定制水杯多少個時，兩種方案的總費用相同？（總費用＝定制物品的總費用+包裝總費用）
【解答】解：（1）設(shè)定制一個水杯的單價為x元，一本手賬的單價為y元，
由題意得：，
解得：，
答：定制一個水杯的單價為60元，一本手賬的單價為20元；
（2）設(shè)定制水杯m個時，兩種方案的總費用相同，則定制手賬為（600﹣m）個，
則方案1的總費用為：0.8×[60m+20（600﹣m）+6m+（600﹣m）×1]＝36m+10080，
方案2的總費用為：60m+20（600﹣m﹣m）+4m+2×（600﹣m﹣m）＝20m+13200，
由題意得：36m+10080＝20m+13200，
解得：m＝195，
答：定制水杯195個時，兩種方案的總費用相同．
8．體育與健康是學校素質(zhì)教育的重要組成部分，為了活躍校園氣氛，增強學生的集體觀念，培養(yǎng)學生團隊合作的精神．某學校將于11月份舉辦學生趣味運動會，計劃用7380元購買足球和籃球共43個，分別作為運動會團體一、二等獎的獎品．已知足球的單價為180元，籃球的單價為160元．
（1）學校計劃購買足球和籃球各多少個？（列二元一次方程組解決該問題）
（2）某老師按計劃到商場購買足球和籃球時，正好趕上商場對商品價格進行調(diào)整，足球單價下降了a%，籃球單價上漲了a%，最終經(jīng)費比計劃節(jié)省了774元，求a的值．
【解答】解：（1）設(shè)學校計劃購買足球x個，籃球y個，
依題意得：，
解得：．
答：學校計劃購買足球25個，籃球18個．
（2）依題意得：180（1﹣a%）×25+160（1+a%）×18＝7380﹣774，
解得：a＝30．
答：a的值為30．
9．已知某酒店的三人間和雙人間客房標價為：三人間為每人每天200元，雙人間為每人每天300元，為吸引客源，促進旅游，在“十?一”黃金周期間酒店進行優(yōu)惠大酬賓，凡團體入住一律五折優(yōu)惠．一個50人的旅游團在十月二號到該酒店住宿，租住了一些三人間、雙人間客房．
（1）如果租住的每個客房正好住滿，并且一天一共花去住宿費6300元，求租住了三人間、雙人間客房各多少間？
（2）設(shè)三人間共住了x人，這個團一天一共花去住宿費y元，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）一天6300元的住宿費是否為最低？如果不是，請設(shè)計一種方案：要求租住的房間正好被住滿，并使住宿費用最低，請寫出設(shè)計方案，并求出最低的費用．
【解答】解：（1）設(shè)三人間有a間，雙人間有b間，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：租住了三人間8間，雙人間13間；
（2）根據(jù)題意得：y＝100x+150（50﹣x）＝﹣50x+7500（0≤x≤50），
（3）因為﹣50＜0，所以y隨x的增大而減小，
故當x滿足、為整數(shù)，且最大時，
即x＝48時，住宿費用最低，
此時y＝﹣50×48+7500＝5100＜6300，
答：一天6300元的住宿費不是最低；若48人入住三人間，則費用最低，為5100元．
所以住宿費用最低的設(shè)計方案為：48人住3人間，2人住2人間．

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