考點(diǎn)1 不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>(1)不等號(hào)“＜”或“＞”表示不等關(guān)系，它們具有方向性，不等號(hào)的開(kāi)口所對(duì)的數(shù)較大．
(2)五種不等號(hào)的讀法及其意義：
(3)有些不等式中不含未知數(shù)，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x＞5中，x表示未知數(shù)，對(duì)于含有未知數(shù)的不等式，當(dāng)未知數(shù)取某些值時(shí)，不等式的左、右兩邊符合不等號(hào)所表示的大小關(guān)系，我們說(shuō)不等式成立，否則，不等式不成立．
考點(diǎn)2 不等式的解及解集
1.不等式的解：
能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．
2.不等式的解集：
對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>3.不等式的解集的表示方法
（1）用最簡(jiǎn)的不等式表示:一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式來(lái)表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．
(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式的無(wú)限個(gè)解．如圖所示：
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>借助數(shù)軸可以將不等式的解集直觀地表示出來(lái)，在應(yīng)用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意兩個(gè)“確定”：一是確定“邊界點(diǎn)”，二是確定方向．(1)確定“邊界點(diǎn)”：若邊界點(diǎn)是不等式的解，則用實(shí)心圓點(diǎn)，若邊界點(diǎn)不是不等式的解，則用空心圓圈；(2)確定“方向”：對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＞a或x≥a向右畫(huà)；對(duì)邊界點(diǎn)a而言，x＜a或x≤a向左畫(huà)．
注意：在表示a的點(diǎn)上畫(huà)空心圓圈，表示不包括這一點(diǎn)．
考點(diǎn)3 不等式的基本性質(zhì)
不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?
不等式的基本性質(zhì)的掌握注意以下幾點(diǎn)：
(1)不等式的基本性質(zhì)是對(duì)不等式變形的重要依據(jù)，是學(xué)習(xí)不等式的基礎(chǔ)，它與等式的兩條性質(zhì)既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結(jié)、比較、體會(huì)．
(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別，在乘(或除以)同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先弄清這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變．
考點(diǎn)4一元一次不等式的概念
只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個(gè)一元一次不等式．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>(1)一元一次不等式滿(mǎn)足的條件：①左右兩邊都是整式(單項(xiàng)式或多項(xiàng)式)；
②只含有一個(gè)未知數(shù)；
③未知數(shù)的最高次數(shù)為1.
(2) 一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：
相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，“左邊”和“右邊”都是整式．
不同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)“＜”、“≤”、“≥”或“＞”連接，不等號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號(hào)“＝”連接，等號(hào)沒(méi)有方向．

考點(diǎn)5 一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的過(guò)程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
與一元一次方程的解法類(lèi)似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)化為（或）的形式（其中）；(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>（1）在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問(wèn)題靈活運(yùn)用．
（2）解不等式應(yīng)注意：
①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；
②移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；
③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；
④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變．
3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：
在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來(lái)，能形象地說(shuō)明不等式有無(wú)限多個(gè)解，它對(duì)以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助．
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?在用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要確定邊界和方向：
（1）邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)的是空心圓圈；
（2）方向：大向右，小向左．
二、課堂精講：
（一）不等式的概念
例1．用不等式表示：
(1)x與-3的和是負(fù)數(shù)；
(2)x與5的和的28％不大于-6；
(3)m除以4的商加上3至多為5．
【隨堂演練一】【A類(lèi)】
下列式子：①﹣2＜0；②2x+3y＜0；③x=3；④x+y中，是不等式的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4
（二）不等式的解及解集
例2．對(duì)于不等式4x+7(x-2)＞8不是它的解的是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
例3．不等式x＞1在數(shù)軸上表示正確的是 ( )
【隨堂演練二】【A類(lèi)】
如圖，在數(shù)軸上表示的解集對(duì)應(yīng)的是( )
A．－2＜x＜4 B.－2＜x≤4 C.－2≤x＜4 D.－2≤x≤4
（三）不等式的性質(zhì)
例4．若x＞y，則下列式子中錯(cuò)誤的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．﹣3x＞﹣3y D．＞
【隨堂演練三】【B類(lèi)】
a、b是有理數(shù)，下列各式中成立的是( )．
A．若a＞b，則a2＞b2； B．若a2＞b2，則a＞b
C．若a≠b，則｜a｜≠|(zhì)b| D．若｜a｜≠|(zhì)b|，則a≠b
（四） 一元一次不等式的概念
例5.下列式子中，是一元一次不等式的有哪些?
(1)3x+5＝0 (2)2x+3＞5 (3) (4)≥2 (5)2x+y≤8
【隨堂演練四】【A類(lèi)】
下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？為什么？
（1） （2） （3） （4） （5）
（五）解一元一次不等式
例6. 解不等式：，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
【隨堂演練五】【A類(lèi)】
1．不等式2(x+1)＜3x+1的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)應(yīng)為 ( )
例7.解不等式：,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
【隨堂演練五】【B類(lèi)】
2．若,,問(wèn)x取何值時(shí)，．
例8.關(guān)于x的不等式2x-a≤-1的解集為x≤-1，求a的值．
【隨堂演練五】【B類(lèi)】
3．如果關(guān)于x的不等式(a+1)x＜a+1的解集是x＞l，則a的取值范圍是________．
4．已知關(guān)于x的方程的解是非負(fù)數(shù)，m是正整數(shù)，求m的值．
例9.已知關(guān)于的方程組的解滿(mǎn)足，求的取值范圍．
【隨堂演練五】【B類(lèi)】
5.m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程：的解大于1？
三．小結(jié)：
1.五種不等號(hào)的讀法及其意義：
2.不等式的解集的表示方法
（1）用最簡(jiǎn)的不等式表示:一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式來(lái)表示．如：不等式x-2≤6的解集為x≤8．
(2)用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式的無(wú)限個(gè)解．如圖所示：
3.不等式的基本性質(zhì)
不等式的基本性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性質(zhì)2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
4. 一元一次不等式的解法：
與一元一次方程的解法類(lèi)似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)化為（或）的形式（其中）；(5)兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.
四、課后鞏固練習(xí)
【A類(lèi)】
一、選擇題
1．下列式子：①5＜7；②2x＞3；③y≠0；④x≥5；⑤2a+l；⑥；⑦x＝1．其中是不等式的有( )
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
2．下列不等式表示正確的是 ( )
A．a(chǎn)不是負(fù)數(shù)表示為a＞0 B．x不大于5可表示為x＞5
C．x與1的和是非負(fù)數(shù)可表示為x+1＞0 D．m與4的差是負(fù)數(shù)可表示為m-4＜0
3.下列說(shuō)法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，則a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，則a＞b
C．若a＞b，則ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，則a＞b
4．把不等式x+2＞4的解集表示在數(shù)軸上，正確的是( )
5．下列變形中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．若3a+5＞2，則3a＞2-5 B．若，則
C．若，則x＞-5 D．若，則
6．下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A.5+4＞8 B.2x－1 C.2x≤5 D.－3x≥0
7．由x＞y得ax＜ay的條件應(yīng)是（ ）
A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜0 C．a(chǎn)≥0 D．b≤0
8．解不等式，得（ ）
A． B． C． D．
9．不等式的非負(fù)整數(shù)解有 （ ）
A． 1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
10.不等式的解集在數(shù)軸上表示正確的是 （ ）
【B類(lèi)】
二、填空題
11．給出下列表達(dá)式：①a（b+c）=ab+ac；②﹣2＜0；③x≠5；④2a＞b+1；⑤x2﹣2xy+y2；
⑥2x﹣3＞6，其中不等式的個(gè)數(shù)是 ．
12．(1)若，則a_________b；
(2)若m＜0，ma＜mb，則a_________b．
13．已知，若y＜0，則m________．
14．已知關(guān)于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是________．
15．下列結(jié)論：①若a＞b，則ac2＞bc2；②若ac＞bc，則a＞b；③若a＞b，且c＝d，則ac＞bd；④若ac2＞bc2，則a＞b，其中正確的有_________．(填序號(hào))
16．如果不等式3x-m≤0的正整數(shù)解有且只有3個(gè)，那么m的取值范圍是________．
17．若為非負(fù)數(shù)，則 的解集是 .
18．已知-4是不等式的解集中的一個(gè)值，則的范圍為_(kāi)_______.
19．若關(guān)于x的不等式只有六個(gè)正整數(shù)解，則a應(yīng)滿(mǎn)足________.
20.已知的解集中的最小整數(shù)為，則的取值范圍是 .
【C類(lèi)】
三、解答題
21. 適當(dāng)選擇a的取值范圍，使1.7＜x＜a的整數(shù)解：
（1）x只有一個(gè)整數(shù)解；
(2) x一個(gè)整數(shù)解也沒(méi)有．
22.當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集．
23.已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，試比較A與B的大?。?br>第十一講 一元一次不等式
【答案】
例1．解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)≤5．
【隨堂演練一】【A類(lèi)】
B．
例2．D
例3．C
【隨堂演練二】【A類(lèi)】
B
例4. C．
【隨堂演練三】【B類(lèi)】
D
例5. 解：(2)、(3)是一元一次不等式．
【隨堂演練四】【A類(lèi)】
解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因?yàn)椋海?）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次項(xiàng)不是1次，（4）不等式左邊含有兩個(gè)未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．
例6.解：去括號(hào)，得：
移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得：
系數(shù)化1得：
這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖：
【隨堂演練五】【A類(lèi)】
C
例7.解：
去分母，得2（2x-1）≤6-3（2x+1）
去括號(hào)，得4x-2≤6-6x-3
移項(xiàng)， 得4x+6x≤6-3+2
合并同類(lèi)項(xiàng)，得10x≤5
系數(shù)化為1，得x≤
這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖：
【隨堂演練五】【B類(lèi)】
2.解：∵,,
若，
則有
即
∴當(dāng)時(shí)，．
例8.
【隨堂演練五】【B類(lèi)】
3.
4.解：由，得x＝，
因?yàn)閤為非負(fù)數(shù)，所以≥0，即m≤2，
又m是正整數(shù)，
所以m的值為1或2．
例9.解：由，解得：
∵
∴
解得
∴的取值范圍為
【隨堂演練五】【B類(lèi)】
5.解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1
由
解得m＞2
三．小結(jié)：
四、課后鞏固練習(xí)
【A類(lèi)】
一、選擇題
1. C
2. D
3. C
4．B
5. B
6. C
7. B
8. A
9. C
10. B
【B類(lèi)】
11. 4.
12. (1)＜， (2)＞；
13. ＞8
14．
15. ④
16. 9≤m＜12
17.
18．
19.；
20.
【C類(lèi)】
三、解答題
21.解：(1) ；(2)．
22.解：
．
23. 解：,
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
課程目標(biāo)
1．了解不等式的意義，認(rèn)識(shí)不等式和等式都可以用來(lái)刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系.
2. 知道不等式解集的概念并會(huì)在數(shù)軸上表示解集.
3. 理解不等式的三條基本性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.
課程重點(diǎn)
一元一次不等式的解法．
課程難點(diǎn)
解一元一次不等式的步驟.
教學(xué)方法建議
建議采取類(lèi)比的教學(xué)方法，將不等式的解法與一元一次方程方程的解法進(jìn)行比較，從而得到一元一次不等式的解法.
符號(hào)
讀法
意義
“≠”
讀作“不等于”
它說(shuō)明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個(gè)大，哪個(gè)小
“＜”
讀作“小于”
表示左邊的量比右邊的量小
“＞”
讀作“大于”
表示左邊的量比右邊的量大
“≤”
讀作“小于或等于”
即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量
“≥”
讀作“大于或等于”
即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量
不等式的解
是具體的未知數(shù)的值，不是一個(gè)范圍
不等式的解集
是一個(gè)集合，是一個(gè)范圍．
其含義：①解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立
②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集中
符號(hào)
讀法
意義
“≠”
讀作“不等于”
它說(shuō)明兩個(gè)量之間的關(guān)系是不相等的，但不能確定哪個(gè)大，哪個(gè)小
“＜”
讀作“小于”
表示左邊的量比右邊的量小
“＞”
讀作“大于”
表示左邊的量比右邊的量大
“≤”
讀作“小于或等于”
即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量
“≥”
讀作“大于或等于”
即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量

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