知識(shí)梳理
1．利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象
其基本步驟是列表、描點(diǎn)、連線．
首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等)．
其次：列表(尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等)，描點(diǎn)，連線．
2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象
(1)平移變換
(2)對(duì)稱變換
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(關(guān)于x軸對(duì)稱))y＝－f(x)．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(關(guān)于y軸對(duì)稱))y＝f(－x)．
③y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱))y＝－f(－x)．
④y＝ax(a＞0且a≠1)eq \(――→,\s\up7(關(guān)于y＝x對(duì)稱))y＝lgax(x＞0)．
(3)翻折變換
①y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留x軸及上方圖象),\s\d5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|．
②y＝f(x)eq \(――→,\s\up7(保留y軸及右邊圖象，并作其),\s\d5(關(guān)于y軸對(duì)稱的圖象))y＝f(|x|)．
(4)伸縮變換
①y＝f(x)
eq \f(a＞1，橫坐標(biāo)縮短為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變,0＜a＜1，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的\f(1,a)倍，縱坐標(biāo)不變)→y＝f(ax)．
②y＝f(x)
eq \f(a＞1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變,0＜a＜1，縱坐標(biāo)縮短為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變)→y＝af(x)．
題型歸納
題型1 作函數(shù)的圖象
【例1-1】（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．
（Ⅰ）畫出函數(shù)的圖象；
（Ⅱ）若，求的取值范圍；
（Ⅲ）直接寫出的值域．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，直接進(jìn)行作圖即可；
（Ⅱ）結(jié)合分段函數(shù)的表達(dá)式，分別進(jìn)行求解；
（Ⅲ）由圖象結(jié)合函數(shù)值域的定義進(jìn)行求解．
【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)的圖象如圖；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，滿足，
當(dāng)，由得，得或，
此時(shí)或，
當(dāng)時(shí)，恒成立，
綜上得或，
即的取值范圍是得或；
（Ⅲ）由圖象知，即的值域是，．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2019秋?石河子校級(jí)月考）已知函數(shù)．
（1）作出函數(shù)的圖象；
（2）由圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【分析】（1）由函數(shù)．分別畫出和時(shí)的圖象即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，寫出單調(diào)區(qū)間即可．
【解答】解：（1）函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
故圖象如圖所示；
（2）函數(shù)的增區(qū)間為：，，；
減區(qū)間為：，，，．
【名師指導(dǎo)】
作函數(shù)圖象的兩種常用方法
1．直接法：當(dāng)函數(shù)表達(dá)式(或變形后的表達(dá)式)是熟悉的基本初等函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出．
2．圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序．
題型2 函數(shù)圖象的識(shí)辨
【例2-1】（2020?天津）函數(shù)的圖象大致為
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值的正負(fù)即可判斷．
【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
函數(shù)，則，則函數(shù)為奇函數(shù)，故排除，，
當(dāng)是，，故排除，
故選：．
【例2-2】（2020春?通州區(qū)期末）已知函數(shù)的圖象如圖所示，那么該函數(shù)可能為
A． B．
C． D．
【分析】由圖可知，函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的概念可排除選項(xiàng)和；對(duì)比和選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù)性恰好相反，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，驗(yàn)證后即可得解．
【解答】解：由圖可知，函數(shù)為奇函數(shù)，而選項(xiàng)和中對(duì)應(yīng)的函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，于是排除選項(xiàng)和；
當(dāng)時(shí)，從圖象可知，，而對(duì)于選項(xiàng)，，，所以，與圖象不符，排除選項(xiàng)．
故選：．
【例2-3】（2020?樂山模擬）已知角的始邊與的非負(fù)半軸重合，與圓相交于點(diǎn)，終邊與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，的面積為，則函數(shù)的圖象大致是
A．B．
C．D．
【分析】由題可知，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則，故排除選項(xiàng)和，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)，可得所求圖象．
【解答】解：由題知，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，
則，故排除選項(xiàng)和，
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2019?新課標(biāo)Ⅲ）函數(shù)在，的圖象大致為
A．B．
C．D．
【分析】由的解析式知該函數(shù)為奇函數(shù)可排除，然后計(jì)算時(shí)的函數(shù)值，根據(jù)其值即可排除，．
【解答】解：由在，，知
，
是，上的奇函數(shù)，因此排除
又（4），因此排除，．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春?湖州期末）已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則其解析式可以是
A．B．
C．D．
【分析】由函數(shù)的奇偶性排除與，在分析復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性排除，則答案可求．
【解答】解：令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>為上的偶函數(shù)；
令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，且?br>為上的奇函數(shù)，
又正弦函數(shù)為奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)，
且圖中所給出的函數(shù)為偶函數(shù)，排除與；
又由圖可知，所求函數(shù)在，上為減函數(shù)，
而中內(nèi)層函數(shù)在，上為增函數(shù)，而外層函數(shù)正弦函數(shù)在，上為增函數(shù)，
故當(dāng)大于0且在0附近時(shí)，中函數(shù)為增函數(shù)，排除．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-3】（2020?貴港四模）如圖，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，點(diǎn)沿著運(yùn)動(dòng)，記．將點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之和表示為的函數(shù)，則的圖象大致為
A．B．
C．D．
【分析】先根據(jù)題意列出函數(shù)解析式，再分析圖象即可得出答案．
【解答】解：，
選項(xiàng)符合題意，
故選：．
【名師指導(dǎo)】
識(shí)別函數(shù)圖象的方法技巧
函數(shù)圖象的識(shí)別可從以下方面入手：
(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．
(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．
(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．
(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．
(5)從函數(shù)的特殊點(diǎn)，排除不合要求的圖象．
題型3 函數(shù)圖象的應(yīng)用
【例3-1】（2020春?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）函數(shù)的圖象
A．關(guān)于軸對(duì)稱B．關(guān)于軸對(duì)稱
C．關(guān)于直線對(duì)稱D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
【分析】先求出函數(shù)的定義域，再計(jì)算的表達(dá)式，并觀察與的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)，故而得解．
【解答】解：，或，即函數(shù)的定義域?yàn)?，，（定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），
，，
函數(shù)是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，
故選：．
【例3-2】（2019秋?瓊海校級(jí)月考）已知定義在上的偶函數(shù)部分圖象如圖所示，那么不等式的解集為 ．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象以及奇偶性分析可得以及的解集，又由或，據(jù)此分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，由的圖象分析可得：在和上，，在區(qū)間上，，
又由為偶函數(shù)，則在和上，，在區(qū)間上，，
或，
則有或或，
即不等式的解集為或或；
故答案為：或或．
【例3-3】（2019?江蘇模擬）已知函數(shù)其中表示不超過的最大整數(shù)，如：，，．若直線與函數(shù)的圖象恰好有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【分析】畫圖可知就是周期為1的函數(shù)，且在，上是一直線的對(duì)應(yīng)部分的含左端點(diǎn)，不包右端點(diǎn)的線段，要有三解，只需直線過點(diǎn)與直線過點(diǎn)之間即可．
【解答】解：函數(shù)，
函數(shù)的圖象如下圖所示：
，故函數(shù)圖象一定過點(diǎn)
若有三個(gè)不同的根，則與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，
故有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
故答案為：．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2019秋?大同期末）函數(shù)，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【分析】作出函數(shù)圖象，求出函數(shù)的值域，結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)問題進(jìn)行求解即可．
【解答】解：作出函數(shù)的圖象如圖：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)的值域?yàn)?，，?br>要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有公共點(diǎn)，
則，或，
則的取值范圍，，，
故答案為：，，
【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2019?嘉定區(qū)一模）已知函數(shù)和的圖象如圖所示，則不等式的解集是 ．
【分析】根據(jù)和圖象可得和的正負(fù)，即可求解不等式的解集．
【解答】解：由圖象可得時(shí)，，
時(shí)，，
當(dāng)時(shí)
由圖象可得時(shí)，，
時(shí)，，
不等式，即或；
，
不等式的解集為，
故答案為：，
【名師指導(dǎo)】
1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)
對(duì)于已知或解析式易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)常借助圖象研究：
(1)從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；
(2)從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；
(3)從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性．
2．利用函數(shù)的圖象研究方程根的個(gè)數(shù)：當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時(shí)，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
3．利用函數(shù)的圖象研究不等式：當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解．

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