知識梳理
1．公式法
(1)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?d,2).
推導(dǎo)方法：倒序相加法．
(2)等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1.))
推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．
(3)一些常見的數(shù)列的前n項和：
①1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2)；
②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
2．幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
(3)錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用錯位相減法求解．
(4)倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解．
[常用結(jié)論]
常見的裂項技巧
①eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
②eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
③eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
④eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
⑤eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).
題型歸納
題型1 分組轉(zhuǎn)化求和
【例1-1】（2020春?昆明期末）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【分析】本題第（1）題先設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和等比中項的性質(zhì)列出關(guān)于公差的一元二次方程，解出的值，則可計算出數(shù)列的通項公式；
第（2）題先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列的通項公式，然后運用分組求和法計算出前項和．
【解答】解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則
，，
，，成等比數(shù)列，
，即，
整理，得，
解得（舍去），或，
，．
（2）由（1）知，設(shè)，
故
．
【跟蹤訓(xùn)練1-1】（2020春?保定期末）已知數(shù)列、滿足：，為等比數(shù)列，且，，．
（1）試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；
（2）求數(shù)列的前項和．
【分析】（1）由已知數(shù)列遞推式求出，結(jié)合數(shù)列為等比數(shù)列，求得首項與公比，得到，進(jìn)一步求出，驗證即可得到數(shù)列不是等差數(shù)列；
（2）由（1）中的等比數(shù)列列出的表達(dá)式，然后累加得數(shù)列的通項，再由數(shù)列的分組求和及等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和公式求解．
【解答】解：（1）數(shù)列不是等差數(shù)列．
理由如下：
由，且，，，得，
又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，
數(shù)列的首項為4，公比為2．
，得，
顯然．
故數(shù)列不是等差數(shù)列；
（2）結(jié)合（1）知，等比數(shù)列的首項為4，公比為2．
故，．
，，，，
．
令，，．
得，
，
，
累加得．
．
又滿足上式，．
．
【跟蹤訓(xùn)練1-2】（2020春?永州期末）已知等差數(shù)列，等比數(shù)列滿足：，．
（1）求數(shù)列與的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【分析】（1）利用已知條件求出等差數(shù)列的公差為，求出通項公式．求出等比數(shù)列的公比為，然后求解通項公式．
（2）寫出，利用分組求和求解即可．
【解答】解：（1）由，，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，
所以，
設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題，所以．
所以；
（2），
所以的前項和為
．
【名師指導(dǎo)】
1．分組轉(zhuǎn)化求和
數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項和的數(shù)列求和．
2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
題型2 裂項相消法求和
【例2-1】（2020春?黔南州期末）已知等差數(shù)列滿足，．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【分析】（1）直接利用已知條件求出數(shù)列的通項公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用求出數(shù)列的和．
【解答】解：（1）設(shè)首項為，公差為的等差數(shù)列，滿足，．
所以，解得，
所以．
（2）由（1）得，
所以．
【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?安寧區(qū)校級模擬）已知是一個等差數(shù)列的前項和，對于函數(shù)，若數(shù)列的前項和為，則的值為
A．B．C．D．
【分析】利用等差數(shù)列的前項和，求出，化簡數(shù)列的通項公式，然后利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可．
【解答】解：是一個等差數(shù)列的前項和，
可得，解得，
所以函數(shù)，
數(shù)列即，，
所以數(shù)列的前項和為，
則．
故選：．
【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020春?成都期末）數(shù)列的前項和為，若，則
A．1B．C．D．
【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過裂項相消法求解數(shù)列的和即可．
【解答】解：數(shù)列的前項和為，，
所以：．
故選：．
【名師指導(dǎo)】
1.基本步驟
2.裂項原則
一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.
3.消項規(guī)律
消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.
題型3 錯位相減法求和
【例3-1】（2020春?柳林縣期末）已知數(shù)列的前項和為，．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式，即可求出通項公式；
（2）根據(jù)錯位相減法即可求出前項和．
【解答】解：（1）由，得：當(dāng)時，；
當(dāng)時，．
經(jīng)檢驗當(dāng)時，也成立，所以，
（2）由（1）知，故．
所以．
，①
，②
由①②，得，
所以．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020春?黃岡期末）已知數(shù)列滿足，，已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．
【分析】（Ⅰ）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．
【解答】解：（Ⅰ）數(shù)列滿足，，
所以（常數(shù)），
當(dāng)時，解得，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列．
所以．
數(shù)列的前項和為，且滿足①
當(dāng)時，解得．
當(dāng)時，②
①②得，整理得（常數(shù)），
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以③，
④，
③④得：，
整理得．
【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020春?成都期末）已知等差數(shù)列的前項和為，，；各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由已知列關(guān)于首項與公差的方程組，求得首項與公差，則等差數(shù)列的通項公式可求．設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列首項與公比的方程組，求得首項與公比，則等比數(shù)列的通項公式可求；
（2）把數(shù)列和的通項公式代入數(shù)列，再由錯位相減法求數(shù)列的前項和．
【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，
由，，得，解得．
；
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，，得，解得．
；
（2）．
令的前項和為，
則，
兩式作差可得：
，
．則．
【名師指導(dǎo)】
錯位相減法求數(shù)列{an}的前n項和
(1)適用條件
若{an}是公差為d(d≠0)的等差數(shù)列，{bn}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Sn.
(2)基本步驟
(3)注意事項
①在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時，應(yīng)特別注意將兩式“錯位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出Sn－qSn；
②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項的符號要變號．

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