5．2　向量數量積的坐標表示5．3　利用數量積計算長度與角度學 習 任 務核 心 素 養(yǎng)1．掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算．(重點)2．能運用向量數量積的坐標表達式表示向量的模與夾角，會判斷兩個向量的垂直關系．(難點)通過平面向量數量積的應用，培養(yǎng)數學運算與邏輯推理素養(yǎng)． “我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛飛過絕望，不去想他們擁有美麗的太陽，我看見每天的夕陽也會有變化，我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛給我希望…”，如果能為平面向量的數量積插上“翅膀”，它又能飛多遠呢？閱讀教材，回答下列問題．問題1：平面向量的數量積(內積)的定義是什么？問題2：向量a與b垂直的條件是什么？問題3：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何計算a與b的數量積？知識點1　平面向量的數量積、模、夾角、垂直的坐標表示(1)數量積的坐標表示：設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．(2)模、夾角、垂直的坐標表示：1.已知向量a＝(－4，7)，向量b＝(5，2)，則a·b的值是(　　)A．34    B．27    C．－43    D．－6D　[a·b＝(－4，7)·(5，2)＝－4×5＋7×2＝－6.]知識點2　平面直角坐標系中兩點間的距離公式如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別是A，B，那么a＝(x2－x1，y2－y1).則|a|＝＝.如何利用向量知識與方法推導平面直角坐標系中，兩點間的距離公式？[提示]　＝＝.2.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若兩非零向量的夾角θ滿足cos θ＜0，則θ一定是鈍角． (　　)(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝. (　　)(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0. (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√ 類型1　平面向量數量積的坐標運算【例1】　已知向量a和b同向，b＝(1，2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐標；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.[解]　(1)設a＝λb＝(λ，2λ).∵a·b＝10，∴λ·cos 0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2，4).(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.數量積的坐標運算方法進行向量的數量積運算，前提是牢記有關的運算法則和運算性質．解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行數量積的坐標運算；二是先利用數量積的運算律將原式展開，再依據已知計算．1．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b).[解]　(1)a·b＝3＋(－1)×(－2)＝5.(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝16＋9＝25.(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(9＋1)－(1＋4)＝5. 類型2　向量的夾角【例2】　已知a＝(1，2)，b＝(1，λ)，求滿足下列條件的實數λ的取值范圍．(1)a與b的夾角為90°；(2)a與b的夾角為銳角．由向量的夾角公式，可轉化判定a·b的符號．[解]　(1)a·b＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ.∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－.(2)∵a與b的夾角為銳角，∴a·b>0且a與b不同向．因此1＋2λ>0，∴λ>－.又∵a與b共線且同向時，λ＝2.∴a與b的夾角為銳角時，λ的取值范圍為∪(2，＋∞).若本例條件不變，如何求a與b的夾角為鈍角時，λ的取值范圍？[解]　∵a與b的夾角θ為鈍角，∴cos θ<0且cos θ≠－1，∴a·b<0且a與b不反向．由a·b<0得1＋2λ<0，故λ<－，由a與b共線得λ＝2，故a與b不可能反向，所以λ的取值范圍為.利用數量積求兩向量夾角的步驟2．設向量＝(1，0)，＝(1，1)，則向量，的夾角為(　　)A．    B．    C．    D．B　[cos θ＝＝＝，∵θ∈，∴θ＝.] 類型3　向量的模【例3】　設平面向量a＝(1，1)，b＝(0，2).求a－2b的坐標和模的大?。?/span>[解]　∵a＝(1，1)，b＝(0，2)，∴a－2b＝(1，1)－2(0，2)＝(1，－3)，∴|a－2b|＝＝.1．在本例條件不變的情況下，若c＝3a－(a·b)b，求|c|.[解]　∵a·b＝x1x2＋y1y2＝2，∴c＝3(1，1)－2(0，2)＝(3，－1)，∴|c|＝＝.2．在本例條件不變的情況下，若ka－b與a＋b共線，求k的值．[解]　∵a＝(1，1)，b＝(0，2)，∴ka－b＝k(1，1)－(0，2)＝(k，k－2).a＋b＝(1，1)＋(0，2)＝(1，3).∵ka－b與a＋b共線，∴＝3，∴k＝－1.3．在本例條件不變的情況下，若|ka－b|＝，求k的值．[解]　∵ka－b＝k(1，1)－(0，2)＝(k，k－2)，且|ka－b|＝.∴＝，解得k＝3或k＝－1.即當k＝3或k＝－1時滿足條件．1.已知向量a＝(x，y)求其模，主要利用公式|a|＝求解．2.形如(ma＋nb)·(ka＋eb)(m，n，k，e∈R)的坐標運算，有兩條途徑：其一，先化簡再代入，即展開轉化為a2，a·b，b2的坐標運算；其二，先代入再化簡，即先求ma＋nb與ka＋eb的坐標，再運算．3.向量是研究幾何的工具，尤其是在解決與平行，垂直，線段的長，角的大小有關的問題時，有非常重要的應用．3．在△ABC，AB＝3，AC＝5，∠A＝120°，求其中線AD的長．[解]　依題意，＝(＋)，所以2＝(2＋2·＋2)，所以||2＝(||2＋2||·||cos ∠A＋||2)＝(32＋2×3×5×cos 120°＋52)＝，所以||＝.即中線AD的長為.1．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則λ＝(　　)A．－4    B．－3    C．－2    D．－1B　[因為m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.]2．(多選題)已知a，b是單位向量，且a＋b＝(1，－1)，則(　　)A．|a＋b|＝2  B．a與b垂直C．a與a－b的夾角為 D．|a－b|＝1BC　[由a＋b＝(1，－1)兩邊平方，得|a|2＋|b|2＋2a·b＝12＋(－1)2＝2，則|a＋b|＝，所以A選項錯誤；因為a，b是單位向量，所以1＋1＋2a·b＝2，得a·b＝0，所以B選項正確；由|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝，所以D選項錯誤；設a與a－b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝＝，θ∈[0，π]，所以a與a－b的夾角為，所以C選項正確．故選BC.]3．若平面向量a＝(1，－2)與b的夾角是180°，且|b|＝4，則b＝________．(－4，8)　[由題意可設b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，則|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b＝－4a＝(－4，8).]4．已知a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，若(5a－b)·(b－3a)＝－55，則b的坐標為________. (－4，－10)或(－4，－6)　[∵a＝(－3，－2)，b＝(－4，k)，∴5a－b＝(－11，－10－k)，b－3a＝(5，k＋6).∴(5a－b)·(b－3a)＝(－11，－10－k)·(5，k＋6)＝－55－(k＋10)(k＋6)＝－55，∴(k＋10)(k＋6)＝0，∴k＝－10或k＝－6，∴b＝(－4，－10)或b＝(－4，－6).]5．已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝.(1)|a＋2b|＝________；(2)若(a＋b)·c＝，則向量a與c的夾角為________．(1)3　(2)　[(1)a＋2b＝(1，2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝＝3.(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1，2)＝－2a，∴a＋b＝－a，∴(a＋b)·c＝－a·c＝.∴a·c＝－.又|a|＝，|c|＝，∴cos 〈a，c〉＝＝＝－，又〈a，c〉∈[0，π]，∴〈a，c〉＝.∴向量a與c的夾角為.]回顧本節(jié)內容，自我完成以下問題：1.平面向量數量積的兩種不同運算形式的作用是什么？[提示]　平面向量數量積的定義及其坐標表示，提供了數量積運算的兩種不同的途徑．根據不同的條件選擇不同的途徑，可以優(yōu)化解題過程．同時，平面向量數量積的兩種形式溝通了“數”與“形”轉化的橋梁，成為解決距離、角度、垂直等有關問題的有力工具．2.數量積的坐標運算有哪些應用？[提示]　(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(2)向量的坐標表示與運算可以大大簡化數量積的運算，由于有關長度、角度和垂直的問題可以利用向量的數量積來解決，因此可利用向量的坐標求出向量的長度、平面內兩點間的距離、兩個向量的夾角，可判斷兩向量是否垂直．  

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5.2 向量數量積的坐標表示

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