1．2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的誘導公式
對任意角α，有下列關系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cs(2kπ＋α)＝cs α.
sin(－α)＝－sin α，cs(－α)＝cs α.
sin(α－π)＝－sin α，cs(α－π)＝－cs α.
sin(π－α)＝sin α，cs(π－α)＝－cs α.
sin(π＋α)＝－sin α，cs(π＋α)＝－cs α.
這五組誘導公式的記憶口訣是“函數(shù)名不變，符號看象限”．其含義是誘導公式兩邊的函數(shù)名稱一致，符號則是將α看成銳角時原角所在象限的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值的符號．
思考：1.設α為任意角，則角2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的終邊與α的終邊有怎樣的關系？
提示：
2.eq \f(π,2)±α的誘導公式
對任意角α，有下列關系式成立：
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α.
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α.
這兩組誘導公式的記憶：eq \f(π,2)－α，eq \f(π,2)＋α的正(余)弦函數(shù)值，等于α的余(正)弦三角函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號，記憶口訣為“函數(shù)名改變，符號看象限”．
思考：2.設α為任意角，則角eq \f(π,2)±α與α的終邊有什么關系？
提示：eq \f(π,2)＋α的終邊與α的終邊垂直，eq \f(π,2)－α的終邊與α的終邊關于y＝x對稱．
1．sin 585°的值為( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),2)
A [sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－eq \f(\r(2),2).]
2．若sin α＝eq \f(1,2)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值為( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2)D．－eq \f(\r(3),2)
C [∵sin α＝eq \f(1,2)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \f(1,2).]
3．在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱 .若sin α＝eq \f(1,3)，則sin β＝________.
eq \f(1,3) [α與β的終邊關于y軸對稱，則α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝eq \f(1,3).]
4．化簡：eq \f(sin(θ－5π)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs(8π－θ),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin(－θ－π)).
[解] 原式＝eq \f(sin(θ－π)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs(－θ),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))[－sin(θ＋π)])＝eq \f(－sin θ(－sin θ)cs θ,cs θsin θ)＝sin θ.
角度一 給角求值問題
【例1】 求下列三角函數(shù)的值：
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,4)))；(2)cs 960°.
[解] (1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,4)))＝－sineq \f(19,4)π＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(3π,4)))＝－sineq \f(3,4)π＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝－sineq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2).
(2)cs 960°＝cs(240°＋2×360°)＝cs 240°＝cs(180°＋60°)＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).
角度二 給值求值問題
【例2】 已知sin(α－75°)＝－eq \f(2\r(2),3)，求sin(105°＋α)的值．
[解] sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq \f(2\r(2),3).
1．已知角求值，一般利用誘導公式，逐步把角化為銳角再求．
2．利用誘導公式求值時，要注意已知條件中的角和問題結論中的角之間的聯(lián)系，例如105°＋α與75°－α互補，eq \f(π,3)－α與eq \f(π,6)＋α互余．
eq \([跟進訓練])
1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值．
[解] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3).
【例3】 化簡：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4n＋1,4)π＋α))＋cseq \f(4n－1,4)π－α(n∈Z)．
[思路點撥] 先對n分奇偶討論，再使用誘導公式．
[解] 原式＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(nπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋csnπ－eq \f(π,4)＋α.
當n為偶數(shù)時，
原式＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))；
當n為奇數(shù)時，
原式＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))π＋π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))π＋π－eq \f(π,4)＋α＝csπ＋eq \f(π,4)＋α＋csπ－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)).
綜上可知，原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，n為偶數(shù),－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，n為奇數(shù))) .
若將本例中的“cs”改為“sin”應如何化簡？
[解] 原式＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(nπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(nπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))).
當n為偶數(shù)時，
原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝0；
當n為奇數(shù)時，
原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin(n－1)π＋π＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin(n－1)π＋π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sinπ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋sinπ－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝0.
綜上可知，原式＝0.
利用誘導公式解決化簡求值問題的關鍵是誘導公式的靈活選擇，當三角函數(shù)式中含有kπ±α，eq \f(k,2)π±α?k∈Z?時，要注意對k的奇偶性進行討論.
【例4】 已知sin(α－3π)＝2cs(α－4π)，求eq \f(sin (\a\vs4\al\c1(π－α))＋5cs (\a\vs4\al\c1(2π－α)),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－sin (\a\vs4\al\c1(－α)))的值．
[解] 由sin(α－3π)＝2cs(α－4π) 得sin(α－π)＝2cs α，即sin α＝－2cs α.
∴eq \f(sin (\a\vs4\al\c1(π－α))＋5cs (\a\vs4\al\c1(2π－α)),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－sin (\a\vs4\al\c1(－α)))＝eq \f(sin α＋5cs α,－2cs α＋sin α)＝eq \f(－2cs α＋5cs α,－2cs α－2cs α)＝eq \f(3cs α,－4cs α)＝－eq \f(3,4).
1．若例3中的條件不變改為求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin (\a\vs4\al\c1(π＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin (\a\vs4\al\c1(2π－α)))的值，則結果如何？
[解] 原式＝eq \f(cs α(－sin α),(－sin α)sin(－α))＝eq \f(－sin αcs α,sin αsin α)＝eq \f(1,2).
2．若將例3中的條件“sin(α－3π)＝2cs(α－4π)”改為“已知α＝－eq \f(31π,3)”．求原式的值．
[解] ∵α＝－eq \f(31π,3)，
∴sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5×2π＋\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
cs α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5×2π＋\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
∵eq \f(sin(π－α)＋5cs(2π－α),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－sin(－α))＝eq \f(sin α＋5cs α,－2cs α＋sin α)＝eq \f(－\f(\r(3),2)＋\f(5,2),－1－\f(\r(3),2))＝eq \f(5－\r(3),－2－\r(3))＝－13＋7eq \r(3).
所謂化簡，就是使表達式經(jīng)過某種變形，使結果盡可能的簡單，也就是項數(shù)盡可能的少，次數(shù)盡可能的低，函數(shù)的種類盡可能的少，分母中盡量不含三角函數(shù)符號，能求值的一定要求值.
1．誘導公式的選擇方法：先將－α化為正角，再用2kπ＋α(k∈Z)把角化為[0,2π)內(nèi)的角，再用π±α，eq \f(π,2)＋α，2π－α化為銳角的三角函數(shù)，還可繼續(xù)用eq \f(π,2)－α化為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))內(nèi)的角的三角函數(shù)．由此看，利用誘導公式能將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，這也正是：誘導公式真是好，負化正后大化?。?br>2．解決給式求值問題的常見思路有：若條件簡單，結論復雜，可從化簡結論入手，用上條件；若條件復雜，結論簡單，可從化簡條件入手，轉(zhuǎn)化出結論的形式；若條件、結論都比較復雜，可同時化簡它們，直到找出它們間的聯(lián)系為止．無論使用哪種方法都要時刻瞄準目標，根據(jù)需要變形．
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)sineq (\a\vs4\al\c1(nπ－α))＝sin αeq (\a\vs4\al\c1(n∈Z))．( )
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sin α．( )
(3)cseq (\a\vs4\al\c1(2nπ－α))＝cs α．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．cs 765°的值為( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),2)
B [cs 765°＝cs(2×360°＋45°)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).]
3．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))等于( )
A．－eq \f(1,2)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(3),2)
A [∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝eq \f(1,2)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α＝－eq \f(1,2).]
4．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，則cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝________.
－eq \f(1,3) [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－eq \f(1,3).]
5．已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,3).計算cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2))).
[解] ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,3)，
∴sin α＝eq \f(1,3).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α＝－eq \f(1,3).
學 習 目 標
核 心 素 養(yǎng)
1.了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的誘導公式的意義和作用．(重點)
2．理解誘導公式的推導過程．(難點)
3．能運用有關誘導公式解決一些正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的求值、化簡和證明問題．(難點)
1.借助誘導公式的推導，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．
2．通過誘導公式的應用，提升數(shù)學運算素養(yǎng).
相關角
終邊之間的關系
2kπ＋α與α
終邊相同
π＋α與α
關于原點對稱
－α與α
關于x軸對稱
2kπ－α與α
關于x軸對稱
π－α與α
關于y軸對稱
條件求值
利用誘導公式化簡和證明
誘導公式的綜合應用

相關學案

高中數(shù)學4.4 誘導公式與旋轉(zhuǎn)學案：

這是一份高中數(shù)學4.4 誘導公式與旋轉(zhuǎn)學案，共5頁。

數(shù)學必修 第二冊4.3 誘導公式與對稱學案：

這是一份數(shù)學必修 第二冊4.3 誘導公式與對稱學案，共5頁。

高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第二冊4.3 誘導公式與對稱學案：

這是一份高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第二冊4.3 誘導公式與對稱學案，共9頁。

英語朗讀寶

相關學案 更多

數(shù)學5.3 誘導公式學案

數(shù)學5.3 誘導公式學案
數(shù)學必修 第二冊3.1 向量的數(shù)乘運算導學案

數(shù)學必修 第二冊3.1 向量的數(shù)乘運算導學案
北師大版 (2019)必修 第二冊1 周期變化導學案

北師大版 (2019)必修 第二冊1 周期變化導學案
高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第二冊第一章 三角函數(shù)4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)4.3 誘導公式與對稱學案設計

高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第二冊第一章 三角函數(shù)4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的概念及其性質(zhì)4.3 誘導公式與對稱學案設計
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高中數(shù)學北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.3 誘導公式與對稱

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部