高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題17 解析幾何中的橢圓問題(2份打包，教師版+原卷版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．(2022·全國甲文) 已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為C的左、右頂點，B為
C的上頂點．若 SKIPIF 1 < 0 ，則C的方程為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．(2022·全國甲理) 橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若
直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率之積為 SKIPIF 1 < 0 ，則C的離心率為( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．(2022·新高考Ⅰ) 已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ，C的上頂點為A，兩個焦點為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 ．過
SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直線與C交于D，E兩點， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的周長是________________．
4．(2022·新高考Ⅱ) 已知直線l與橢圓 SKIPIF 1 < 0 在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，
N兩點，且 SKIPIF 1 < 0 ，則l的方程為___________．
【知識總結(jié)】
1．橢圓的定義
(1)定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡．
(2)焦點：兩個定點F1，F(xiàn)2．
(3)焦距：兩焦點間的距離|F1F2|；半焦距：焦距的一半．
2．橢圓的簡單幾何性質(zhì)
【題型突破】
題型一橢圓的標準方程
1．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(1,2)，且橢圓C的長軸長與焦距之和為6，則橢圓C的標準方
程為( )
A．eq \f(4x2,25)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,2)＋y2＝1 D．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1
2．一個橢圓的中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，P(2，eq \r(3))是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差
數(shù)列，則橢圓的方程為( )
A．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,6)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,6)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1
3．如圖，已知橢圓C的中心為原點O，F(xiàn)(－5，0)為C的左焦點，P為C上一點，滿足|OP|＝|OF|且|PF|
＝6，則橢圓C的方程為( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,40)＋eq \f(y2,15)＝1 C．eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1 D．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,20)＝1
4．(2013·全國Ⅰ)已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點為F(3，0)，過點F的直線交橢圓E于A，B兩點．若
AB的中點坐標為(1，－1)，則橢圓E的方程為( )
A．eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1 C．eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D．eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
5．(2019·全國Ⅰ)已知橢圓C的焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|
＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
6．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E： SKIPIF 1 < 0 (0＜b＜1)的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點，
若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為__________．
7．已知中心在坐標原點的橢圓C的右焦點為F(1，0)，點F關(guān)于直線y＝eq \f(1,2)x的對稱點在橢圓C上，則橢
圓C的方程為________________．
8．橢圓C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1的離心率為e1，雙曲線C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的離心率為e2，其中，a>b>0，eq \f(e1,e2)＝eq \f(\r(3),3)，直
線l：x－y＋3＝0與橢圓C1相切，則橢圓C1的方程為( )
A．eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1 C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,8)＝1
9．若橢圓 SKIPIF 1 < 0 的焦點在x軸上，過點(1， SKIPIF 1 < 0 )作圓x2＋y2＝1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過原點O且傾斜角為30°的直線l與橢圓C
的一個交點為A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，則橢圓C的方程為( )
A．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,2)＝1 B．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,16)＝1
題型二橢圓中的求值
11．(2019·全國Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2
為等腰三角形，則M的坐標為____________．
12．已知橢圓E：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，直線l交橢圓于A，B兩點，若AB的中點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，則l的方程為( )
A．2x＋9y－10＝0 B．2x－9y－10＝0 C．2x＋9y＋10＝0 D．2x－9y＋10＝0
13．設(shè)橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左右焦點分別為F1、F2，上下頂點分別為A、B，直線AF2與該橢圓交于A、
M兩點．若∠F1AF2＝120°，則直線BM的斜率為( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(\r(3),4) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3)
14．已知P為橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1上的一個動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的左、右焦點，O為坐標原點，O到橢
圓C在P點處的切線距離為d，若|PF1|·|PF2|＝eq \f(24,7)，則d＝________．
15．已知直線MN過橢圓eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦點F，與橢圓交于M，N兩點，直線PQ過原點O與MN平行，
且與橢圓交于P，Q兩點，則eq \f(|PQ|2,|MN|)＝________．
16．已知點P(x，y)在橢圓eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,100)＝1上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，若△PF1F2的面積為18，則∠F1PF2
的余弦值為________．
17．在平面直角坐標系xOy中，直線x＋eq \r(2)y－2eq \r(2)＝0與橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)相切，且橢圓C的右
焦點F(c，0)關(guān)于直線l：y＝eq \f(c,b)x的對稱點E在橢圓C上，則△OEF的面積為( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),2) C．1 D．2
18．如圖所示，A1，A2是橢圓C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的短軸端點，點M在橢圓上運動，且點M不與A1，A2重合，
點N滿足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，則 SKIPIF 1 < 0 ＝( )
A．eq \f(3,2) B．eq \f(2,3) C．eq \f(9,4) D．eq \f(4,9)
19．已知橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，點P在該橢圓上，若|PF1|－|PF2|＝2，則△PF1F2的面積是( )
A．eq \r(2) B．2 C．2eq \r(2) D．eq \r(3)
20．設(shè)P為橢圓C：eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點，且△PF1F2的重心為G，若|PF1|
∶|PF2|＝3∶4，那么△GPF1的面積為( )
A．24 B．12 C．8 D．6
題型三橢圓的離心率
21．(2017·全國Ⅲ)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓
與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為( )
A．eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C．eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)
22．(2016·全國Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq \f(1,4)，則該橢圓
的離心率為( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,4)
23．(2018·全國Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，
則C的離心率為( )
A．1－eq \f(\r(3),2) B．2－eq \r(3) C．eq \f(\r(3)－1,2) D．eq \r(3)－1
24．(2018·全國Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A
且斜率為eq \f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
25．(2016·江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點，直線y＝eq \f(b,2)與橢圓
交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．
26．(2018·浙江)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點F1關(guān)于直線y＝－eq \r(3)c的對稱點Q在橢圓上，
則橢圓的離心率是( )
A．eq \r(3)－1 B．eq \f(\r(3)＋1,2) C．2－eq \r(3) D．eq \f(\r(3),3)
27．(2018·北京)已知橢圓M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，雙曲線N：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢
圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．
28．若橢圓b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圓x2＋y2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)＋c))2有四個交點，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的
離心率e的取值范圍為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，\f(3,5))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),5))) C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),5)，\f(\r(3),5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),5)，\f(\r(5),5)))
29．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b－c為半
徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是__________．
30．如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1與雙曲線C2的公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的交點，若AF1
⊥BF1，且∠AF1O＝eq \f(π,3)，則C1與C2的離心率之和為( )
A．2eq \r(3) B．4 C．2eq \r(5) D．2eq \r(6)
題型四橢圓中的最值與范圍
31．過橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的中心任作一直線交橢圓于P，Q兩點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則△PFQ的周長的
最小值為( )
A．12 B．14 C．16 D．18
32．已知點F為橢圓C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦點，點P為橢圓C上任意一點，點Q的坐標為(4，3)，則|PQ|
＋|PF|取最大值時，點P的坐標為________．
33．橢圓eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點M，N，當△FMN的周長最大時，△FMN的
面積是( )
A．eq \f(\r(5),5) B．eq \f(6\r(5),5) C．eq \f(8\r(5),5) D．eq \f(4\r(5),5)
34．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上任意一點，點M的坐標為(6，4)，則|PM|
－|PF1|的最小值為________．
35．橢圓C：eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)的離心率為eq \f(\r(3),2)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，過F1的直線l與C交于A，B兩點，
則|AF2|＋|BF2|的最大值等于________．
36．已知橢圓C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,6)＝1的左、右焦點分別為F1、F2，以F2為圓心作半徑為1的圓F2，P為橢圓C上
一點，Q為圓F2上一點，則|PF1|＋|PQ|的取值范圍為________．
37．在橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1上任意一點P，Q與P關(guān)于x軸對稱，若有eq \(F1P,\s\up7(→))·eq \(F2P,\s\up7(→))≤1，則eq \(F1P,\s\up7(→))與eq \(F2Q,\s\up7(→))的夾角余弦值的
范圍為________．
38．已知橢圓C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，P(a，0)為x軸上一動點．若存在以點P為圓心的圓O，使得橢圓C與圓O
有四個不同的公共點，則a的取值范圍是________．
39．(2017·全國Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，
則m的取值范圍是( )
A．(0，1]∪[9，＋∞) B．(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
40．已知點P是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上的動點，且與橢圓的四個頂點不重合，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，
O為坐標原點，若點M是∠F1PF2的角平分線上的一點，且F1M⊥MP，則|OM|的取值范圍是________．焦點的位置
焦點在x軸上
焦點在y軸上
圖形
標準方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范圍
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
軸長
短軸長為2b，長軸長為2a
焦點
F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)
F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
對稱性
對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點
離心率
e＝eq \f(c,a)(0

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