?專(zhuān)題15　立體幾何中球的問(wèn)題
【高考真題】
1．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，
則該球的表面積為(　　)
A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．
1．答案　A　解析　設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即
，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選A．
2．(2022·全國(guó)乙理) 已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)
該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
2．答案　C　解析　設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD
對(duì)角線夾角為，則(當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立)，即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，又，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故選C．
3．(2022·新高考Ⅰ) 已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l
≤3，則該正四棱錐體積的取值范圍是(　　)
A．[18，]　　　　　B．[，]　　　　　C．[，]　　　　　D．[18，27]
3．答案　C　解析　∵ 球的體積為36π，所以球的半徑R＝3，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h，則
l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h(huán))2．所以6h＝l2，2a2＝l2－h(huán)2，所以正四棱錐的體積V＝Sh＝×4a2×h＝×(l2－)×＝(l4－)，所以V′＝(4l3－)＝l3 ()，當(dāng)3≤l≤2時(shí)，V′＞0，當(dāng)2≤l≤3時(shí)，V′＜0，所以當(dāng)l＝2時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為，又l＝3時(shí)，V＝，l＝3時(shí)， V＝．所以正四棱錐的體積V的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是[，]．故選C．
【方法總結(jié)】
如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱(chēng)這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱(chēng)為多面體的外接球．有關(guān)多面體外接球的問(wèn)題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)．考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力．研究多面體的外接球問(wèn)題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑．并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用．
球的內(nèi)切問(wèn)題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決．如果外切的是多面體，則作截面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作．當(dāng)球與多面體的各個(gè)面相切時(shí)，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時(shí)，可用球心與多面體的各頂點(diǎn)連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積法來(lái)求球的半徑．
空間幾何體的外接球與內(nèi)切球十大模型
1．墻角模型；2．對(duì)棱相等模型；3．漢堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鱷魚(yú)模型；8．已知球心或球半徑模型；9．最值模型；10．內(nèi)切球模型．
可參考：侯永青工作室《2022年高考數(shù)學(xué)之解密幾何體的外接球與內(nèi)切球十大模型命題點(diǎn)對(duì)點(diǎn)突破》
【題型突破】
1．點(diǎn)A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD兩兩垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，則該球的
表面積為(　　)
A．7π　　　　　　　B．14π　　　　　　　C．π　　　　　　　D．
1．答案　B　解析　三棱錐A－BCD的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，所以把它補(bǔ)為長(zhǎng)方體，而長(zhǎng)方體的體對(duì)角
線長(zhǎng)為其外接球的直徑．所以長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)是＝，它的外接球半徑是，外接球的表面積是4π×＝14π．

2．等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，將△ABC沿BC邊上的高AD折成直二面角B－AD－C，則三棱
錐B－ACD的外接球的表面積為(　　)
A．5π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．10π　　　　　　　　D．34π
2．答案　D　解析　依題意，在三棱錐B－ACD中，AD，BD，CD兩兩垂直，且AD＝4，BD＝CD＝3，
因此可將三棱錐B-ACD補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,3,4，且其外接球的直徑2R＝＝，故三棱錐B－ACD的外接球的表面積為4πR2＝34π
3．已知球O的球面上有四點(diǎn)A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，則球O的體
積等于________.
3．答案　π　解析　如圖，以DA，AB，BC為棱長(zhǎng)構(gòu)造正方體，設(shè)正方體的外接球球O的半徑為R，
則正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)即為球O的直徑．∴CD＝＝2R，因此R＝，故球O的體積V＝＝π.

4．已知四面體P－ABC四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC＝1，AB＝PB
＝2，則球O的表面積為_(kāi)_______．
4．答案　9π　解析　　由PB⊥平面ABC，AB⊥AC，可得圖中四個(gè)直角三角形，且PC為△PBC，△PAC
的公共斜邊，故球心O為PC的中點(diǎn)，由AC＝1，AB＝PB＝2，PC＝3，∴球O的半徑為，其表面積為9π.
5．三棱錐P－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱錐P－ABC的外接球的體
積為(　　)
A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．27π　　　　　　　　D．27π
5．答案　B　解析　因?yàn)槿忮FP－ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC
≌△PAC．因?yàn)镻A⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P－ABC的外接球．因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線長(zhǎng)為＝3，所以其外接球半徑R＝．因此三棱錐P－ABC的外接球的體積V＝×＝π，故選B．

6．已知正四面體ABCD的外接球的體積為8π，則這個(gè)四面體的表面積為_(kāi)_______．
6．答案　16　解析　將正四面體ABCD放在一個(gè)正方體內(nèi)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，設(shè)正四面體ABCD
的外接球的半徑為R，則πR3＝8π，解得R＝，因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球和正方體的外接球是同一個(gè)球，則有a＝2R＝2，所以a＝2．而正四面體ABCD的每條棱長(zhǎng)均為正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，所以正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a＝4，因此，這個(gè)正四面體的表面積為4××42×sin＝16．
7．表面積為的正四面體的外接球的表面積為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
7．答案　B　解析　表面積為的正四面體的棱長(zhǎng)為，將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，則正方體的棱長(zhǎng)為2，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，正四面體的外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，外接球的表面積的值為．
8．已知四面體ABCD滿(mǎn)足AB＝CD＝，AC＝AD＝BC＝BD＝2，則四面體ABCD的外接球的表面積是
________．
8．答案　7π　解析　在四面體ABCD中，取線段CD的中點(diǎn)為E，連接AE，BE．∵AC＝AD＝BC＝BD
＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝，∴AE＝．同理BE＝，取AB的中點(diǎn)為F，連接EF．由AE＝BE，得EF⊥AB．在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1，取EF的中點(diǎn)為O，連接OA，則OF＝．在Rt△OFA中，OA＝．同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴該四面體的外接球的半徑是，∴外接球的表面積是7π．
9．三棱錐中S－ABC，SA＝BC＝，SB＝AC＝，SC＝AB＝．則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.
9．答案　14π　解析　如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)AE＝a，BE＝b，CE＝c．則SC＝AB＝＝，SA
＝BC＝＝，SB＝AC＝＝，從而a2＋b2＋c2＝14＝(2R)2，可得S＝4πR2＝14π.故所求三棱錐的外接球的表面積為14π．

10．已知一個(gè)四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為9π的球O的表面上，且AB＝CD＝a，AC＝AD＝BC
＝BD＝，則a＝________.
10．答案　2　解析　由題意可知，四面體ABCD的對(duì)棱都相等，故該四面體可以通過(guò)補(bǔ)形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)
方體，如圖所示．設(shè)AF＝x，BF＝y(tǒng)，CF＝z，則＝＝，又4π×2＝9π，可得x＝y(tǒng)＝2，∴a＝＝2．
11．一直三棱柱的每條棱長(zhǎng)都是2，且每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．π
11．答案　A　解析　由題知此直棱柱為正三棱柱ABC－A1B1C1，設(shè)其上下底面中心為O′，O1，則外接球
的球心O為線段O′O1的中點(diǎn)，∵AB＝2，∴O′A＝AB＝，OO′＝O′O1＝1，∴OA＝＝，因此，它的外接球的半徑為，故球O的表面積為．故選A．
12．一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該
六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為_(kāi)_______.
12．答案　　解析　設(shè)正六棱柱底面邊長(zhǎng)為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的半徑為r，則a＝，底
面積為S＝6··＝，V柱＝Sh＝h＝，∴h＝，R2＝＋＝1，R＝1，球的體積為V＝.
13．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面積為，一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為6，則正三棱柱ABC－A1B1C1外
接球的表面積為(　　)
A．4π　　　　　　　　B．8π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　D．32π
13．答案　C　解析　如圖所示，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則底面面積為a2＝，所以a＝.又一個(gè)側(cè)面的
周長(zhǎng)為6，所以AA1＝2.設(shè)E，D分別為上、下底面的中心，連接DE，設(shè)DE的中點(diǎn)為O，則點(diǎn)O即為正三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的球心，連接OA1，A1E，則OE＝，A1E＝××＝1.在直角三角形OEA1中，OA1＝＝2，即外接球的半徑R＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝16π，故選C．

14．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝1，∠BAC＝60°，AA1
＝2，則該三棱柱的外接球的體積為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．20π
14．答案　B　解析　設(shè)△A1B1C1的外心為O1，△ABC的外心為O2，連接O1O2，O2B，OB，如圖所示．

由題意可得外接球的球心O為O1O2的中點(diǎn)．在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，所以BC＝，由正弦定理可得△ABC外接圓的直徑2r＝2O2B＝＝，所以r＝＝，而球心O到截面ABC的距離d＝OO2＝AA1＝1，設(shè)直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球半徑為R，由球的截面性質(zhì)可得R2＝d2＋r2＝12＋2＝，故R＝，所以該三棱柱的外接球的體積為V＝R3＝．故選B．
15．已知矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形AEFD沿EF折起，使二
面角A－EF－C的大小為120°，則過(guò)A，B，C，D，E，F(xiàn)六點(diǎn)的球的表面積為(　　)
A．6π　　　　　　　　B．5π　　　　　　　　C．4π　　　　　　　　D．3π
15．答案　B　解析　其中O1，O2分別為正方形AEFD和BCFE的中心，OO1，OO2分別垂直于這兩個(gè)平
面．由于∠OGO2＝60°，O2G＝，所以O(shè)O2＝，而O2C＝CE＝，所以球的半徑OC＝＝，所以球的表面積為4π·OC2＝5π．故選B．
16．三棱錐S－ABC中，SA⊥底面ABC，若SA＝AB＝BC＝AC＝3，則該三棱錐外接球的表面積為(　　)
A．18π　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．21π　　　　　　　　D．42π
16．答案　C　解析　由于AB＝BC＝AC＝3，則△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，由正弦定理知，△ABC
的外接圓的直徑為2r＝＝2，由于SA⊥底面ABC，所以△ABC外接圓的過(guò)圓心的垂線與線段SA中垂面的交點(diǎn)為該三棱錐的外接球的球心，所以外接球的半徑R＝＝，因此，三棱錐S－ABC的外接球的表面積為4πR2＝4π×＝21π．故選C．
17．四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若
AB＝2，則球O的表面積為(　　)
A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．32π
17．答案　C　解析　取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是
邊長(zhǎng)為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，設(shè)△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線于O，則O為外接球的球心，∵BE＝，BG＝，∴外接球的半徑R＝＝＝2.∴四面體ABCD外接球的表面積為4πR2＝16π．故選C．
18．已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠
BAC＝60°，則球O的表面積為(　　)
A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．64π
18．答案　C　解析　在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，∴AC2＝AB2＋
BC2，即AB⊥BC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥BC，∴三棱錐S－ABC可補(bǔ)成分別以AB＝1，BC＝，SA＝2為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體，∴球O的直徑為＝4，故球O的表面積為4π×22＝16π．

另解　取SC的中點(diǎn)E，連接AE，BE，依題意，BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，∴AC2＝AB2
＋BC2，即AB⊥BC，又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，BC⊥SB，AE＝SC＝BE，∴點(diǎn)E是三棱錐S－ABC的外接球的球心，即點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，OA＝SC＝＝2，故球O的表面積為4π×OA2＝16π．
19．在三棱錐P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝，若該三棱錐的頂點(diǎn)
都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．8π　　　　　　　　D．12π
19．答案　C　解析　易知△ABC是等邊三角形．如圖，作OM⊥平面ABC，其中M為△ABC的中心，且
點(diǎn)O滿(mǎn)足OM＝PA＝1，則點(diǎn)O為三棱錐P－ABC外接球的球心．于是，該外接球的半徑R＝OA＝＝＝．故該球的表面積S＝4πR2＝8π，故選C．

20．在三棱錐A－BCD中，AC＝CD＝，AB＝AD＝BD＝BC＝1，若三棱錐的所有頂點(diǎn)，都在同一球面
上，則球的表面積是________．
20．答案　π　解析　由已知可得，BC⊥AB，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD，設(shè)三棱錐外接球的球心為
O，正三角形ABD的中心為O1，則OO1⊥平面ABD，連接O1B，OO1，OC，在直角梯形O1BCO中，有O1B＝，BC＝1，OC＝OB＝R，可得：R2＝，故所求球的表面積為4πR2＝π．
21．把邊長(zhǎng)為3的正方沿對(duì)角線對(duì)折，使得平面平面，則三棱錐的外接
球的表面積為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
21．答案　C　解析　將邊長(zhǎng)為1的正方形，沿對(duì)角線把折起，使平面平面，
則，；三棱錐的外接球直徑為，外接球的表面積為．
22．在三棱錐A－BCD中，△ACD與△BCD都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，則該三
棱錐外接球的表面積為_(kāi)_______．
22．答案　π　解析　取AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，AF，BF，由題意知AF⊥BF，AF＝BF
＝2，EF＝＝，易知三棱錐的外接球球心O在線段EF上，所以O(shè)E＋OF＝，設(shè)外接球的半徑為R，連接OA，OC，則有R2＝AE2＋OE2，R2＝CF2＋OF2，所以AE2＋OE2＝CF2＋OF2，()2＋OE2＝22＋OF2，所以O(shè)F2－OE2＝2，又OE＋OF＝，則OF2＝，R2＝，所以該三棱錐外接球的表面積為4πR2＝π．

23．已知如圖所示的三棱錐D－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在的平面互相垂
直，AB＝3，AC＝，BC＝CD＝BD＝2，則球O的表面積為(　　)

A．4π　　　　　　　　B．12π　　　　　　　　C．16π　　　　　　　　D．36π
23．答案　C　解析　如圖所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB為直角，即△ABC外接圓的圓心為BC的中
點(diǎn)O′．△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，則球心在過(guò)△DBC的圓面上，即△DBC的外接圓為球的大圓，由等邊三角形的重心和外心重合，易得球半徑R＝2，球的表面積為S＝4πR2＝16π，故選C．

24．在三棱錐中，平面平面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，若，三棱
錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球上，則球的表面積為(　　)．
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
24．答案　D　解析　記外接圓圓心為，外接圓圓心為，連結(jié)，，則平面
，平面；取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以過(guò)點(diǎn)，且；在中，，，設(shè)外接圓為，則，所以，故，所以有，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且；又平面平面，所以平面，平面；因此且，設(shè)三棱錐外接球半徑為，則，因此，球的表面積為．故選D．

25．已知空間四邊形，，，，，且平面平面
，則該幾何體的外接球的表面積為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
25．答案　B　解析　在三角形中，，，由余弦定理可得
，而在三角形中，，，，即為直角三角形，且為斜邊，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以幾何體的外接球的球心為為三角形 的外接圓的圓心，設(shè)外接球的半徑為，則，即，所以外接球的表面積，
26．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線與底面所成的角為，底面圓心到的距離為1，則該圓錐外接
球的表面積為_(kāi)_______．
26．答案　　解析　依題意得，圓錐底面半徑，高．設(shè)圓錐外接球半
徑為，則，即，解得：．外接球的表面積為．
27．在三棱錐中，，側(cè)棱與底面所成的角為，則該三棱錐外接球
的體積為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
27．答案　　解析　過(guò)點(diǎn)作底面ABC的垂線，垂足為，設(shè)為外接球的球心，連接，因
，，故，，又為直角三角形，，∴，∴，∴，∴．
28．在三棱錐中，，，且，則該三棱錐外接球的表面積
為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
28．答案　D　解析　由題意，點(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn)，是三角形的外心，令球心為，
，且，，又，
如圖在直角三角形中，，即，，則該三棱錐外接球的表面積為．
29．已知體積為的正三棱錐的外接球的球心為，若滿(mǎn)足，則此三棱錐外接
球的半徑是　　
A．2　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
29．答案　D　解析　正三棱錐的外接球的球心滿(mǎn)足，說(shuō)明三角形在球的
大圓上，并且為正三角形，設(shè)球的半徑為：，棱錐的底面正三角形的高為，底面三角形的邊長(zhǎng)為，正三棱錐的體積為，解得，則此三棱錐外接球的半徑是．
30．已知正四棱錐P－ABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長(zhǎng)為，若該正四棱錐的體積為
2，則此球的體積為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
30．答案　C　解析　如圖所示，設(shè)底面正方形ABCD的中心為O′，正四棱錐P－ABCD的外接球的球心
為O，

∵底面正方形的邊長(zhǎng)為，∴O′D＝1，∵正四棱錐的體積為2，∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3，∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|，在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2，即(3－R)2＋12＝R2，解得R＝，∴V球＝πR3＝π×3＝．
31．在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐
外接球的表面積是　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
31．答案　D　解析　取的中點(diǎn)為，由三棱錐中，，二面角
的大小為，得到和都是正三角形，，，是二面角的平面角，即，設(shè)球心為，和中心分別為，，則平面，平面，，，外接球半徑，外接球的表面積為．
32．已知三棱錐，，且、均為等邊三角形，二面角的平面角為，
則三棱錐外接球的表面積是________．
32．答案　　解析　取的中點(diǎn)，連接、，則，且，所以，二面
角的平面角為，且，則是邊長(zhǎng)為的正三角形，如下圖所示，設(shè)和的外心分別為點(diǎn)、，則，過(guò)點(diǎn)、在平面內(nèi)作和的垂線交于點(diǎn)，則為該三棱錐的外接球球心，易知，，所以，，，所以，球的半徑為，因此，該三棱錐的外接球的表面積為．
33．已知邊長(zhǎng)為6的菱形中，，沿對(duì)角線折成二面角的大小為的四
面體且，則四面體的外接球的表面積為_(kāi)_______．
33．答案　　解析　由邊長(zhǎng)為6的菱形中，，可知，
，在折起的四面體中，取 的中點(diǎn)，連接，，，則，，，面，為二面角的大小為，在，上分別取，，則，分別為三角形，的外接圓的圓心，過(guò)，分別做兩個(gè)三角形的外接圓的垂線，交于，則為四面體外接球的球心，連接， 為外接球的半徑．則，所以，所以，在三角形，，解得，在三角形中，余弦定理可得，即，所以外接球的表面積．
34．在三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的投影是的外心，，且面與底面
所成的二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．
34．答案　　解析　由于為的外心，則，由題意知，平面，由勾
股定理易得，取的中點(diǎn)，由于為的外心，則，且，平面，平面，則，又，，平面，平面，，所以，，且平面與平面所成的二面角的平面角為，，因此，三棱錐的外接球的直徑為，所以，，因此，該三棱錐的外接球的表面積為．
35．直角三角形，，，將繞邊旋轉(zhuǎn)至位置，若二面角
的大小為，則四面體的外接球的表面積的最小值為　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
35．答案　B　解析　如圖，平面，是等腰三角形，，．設(shè)
，則，．設(shè)外接圓的半徑為，則，即．四面體的外接球的半徑滿(mǎn)足．四面體的外接球的表面積，當(dāng)時(shí)，．
36．已知三棱錐P－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC滿(mǎn)足AB＝2，∠ACB＝90°，PA為球O
的直徑且PA＝4，則點(diǎn)P到底面ABC的距離為(　　)
A．　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C． 　　　　　　　　D．2
36．答案　B　解析　取AB的中點(diǎn)O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△AB
C所在小圓O1是以AB為直徑的圓，所以O(shè)1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA＝4，所以O(shè)A＝2，所以O(shè)O1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以點(diǎn)P到平面ABC的距離為2OO1＝2.

37．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在球心為O，半徑為R的球面上，AB＝6，BC＝2，且四棱錐O－ABCD
的體積為8，則R等于(　　)
A．4　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
37．答案　A.　解析　如圖，設(shè)矩形ABCD的中心為E，連接OE，EC，由球的性質(zhì)可得OE⊥平面ABCD，
所以VO-ABCD＝·OE·S矩形ABCD＝×OE×6×2＝8，所以O(shè)E＝2，在矩形ABCD中可得EC＝2，則R＝＝＝4，故選A．

38．已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，
三棱錐P－ABC的體積為，則此三棱錐的外接球的表面積為(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
38．答案　D　解析　　依題意，記三棱錐P－ABC的外接球的球心為O，半徑為R，點(diǎn)P到平面ABC的
距離為h，則由VP-ABC＝S△ABCh＝××h＝得h＝.又PC為球O的直徑，因此球心O到平面ABC的距離等于h＝.又正△ABC的外接圓半徑為r＝＝，因此R2＝r2＋2＝，所以三棱錐P－ABC的外接球的表面積為4πR2＝，故選D.
39．已知三棱錐的體積為，各頂點(diǎn)均在以為直徑球面上，，則這
個(gè)球的表面積為_(kāi)____________．
39．答案　16π　解析　由題意，設(shè)球的直徑是該球面上的兩點(diǎn)，如圖所示，因?yàn)?br /> ，所以為直角三角形，設(shè)三棱錐的高為，則，解得，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，所以，在直角中，，即球的半徑為，所以球的表面積為．

40．(2017·全國(guó)Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的
體積為_(kāi)_______．
40．答案　　解析　如圖畫(huà)出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離
為OM＝．∴底面圓半徑r＝＝，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π·×1＝．

41．三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在體積為的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三
棱錐的高的最大值為(　　)
A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．10
41．答案　C　解析　依題意，設(shè)題中球的球心為O、半徑為R，△ABC的外接圓半徑為r，則＝，
解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距離為＝3，因此三棱錐P－ABC的高的最大值為5＋3＝8.
42．(2015·全國(guó)Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC
體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　)
A．36π　　　　　　　　B．64π　　　　　　　　C．144π　　　　　　　　D．256π
42．答案　C　解析　∵S△OAB是定值，且VO-ABC＝VC-OAB，∴當(dāng)OC⊥平面OAB時(shí)，VC-OAB最大，即VO-ABC
最大．設(shè)球O的半徑為R，則(VO-ABC)max＝×R2×R＝R3＝36，∴R＝6，∴球O的表面積S＝4πR2＝4π×62＝144π．

43．已知點(diǎn)A，B，C，D均在球O上，AB＝BC＝，AC＝2．若三棱錐D－ABC體積的最大值為3，
則球O的表面積為_(kāi)_______．
43．答案　16π　解析　由題意可得，∠ABC＝，△ABC的外接圓半徑r＝，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，
VD-ABC＝S△ABC·h(h為D到底面ABC的距離)，即3＝×××h?h＝3，即R＋＝3(R為外接球半徑)，解得R＝2，∴球O的表面積為4π×22＝16π．
44．在三棱錐A－BCD中，AB＝1，BC＝，CD＝AC＝，當(dāng)三棱錐A－BCD的體積最大時(shí)，其外接球
的表面積為_(kāi)_______．
44．答案　6π　解析　∵AB＝1，BC＝，AC＝，∴AB2＋BC2＝AC2，即△ABC為直角三角形，當(dāng)CD
⊥面ABC時(shí)，三棱錐A－BCD的體積最大，又∵CD＝，△ABC外接圓的半徑為，故外接球的半徑R滿(mǎn)足R2＝＋＝，∴外接球的表面積為4πR2＝6π．

45．已知三棱錐D－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB＝BC＝2，AC＝2，若三棱錐D－ABC體
積的最大值為2，則球O的表面積為(　　)
A．8π　　　　　　　　B．9π　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
45．答案　D　解析　由AB＝BC＝2，AC＝2，可得AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC為直角三角形，且AC
為斜邊，所以過(guò)△ABC的截面圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)E．當(dāng)DE⊥平面ABC，且球心O在DE上時(shí)，三棱錐D－ABC的體積取最大值，因?yàn)槿忮FD－ABC體積的最大值為2，所以S△ABC·DE＝2，即××22×DE＝2，解得DE＝3．設(shè)球的半徑為R，則AE2＋OE2＝AO2，即()2＋(3－R)2＝R2，解得R＝．所以球O的表面積為4πR2＝4π×2＝．
46．若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則＝________.
46．答案　解析　設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，則正四面體表面積為S1＝4×·a2＝a2，其內(nèi)切球半徑為正
四面體高的，即r＝×a＝a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝，則＝＝.
47．已知一個(gè)平放的各棱長(zhǎng)為4的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球O(重量忽略不計(jì))，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，
小球慢慢上浮，當(dāng)注入的水的體積是該三棱錐體積的時(shí)，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
47．答案　C　解析　當(dāng)注入水的體積是該三棱錐體積的時(shí)，設(shè)水面上方的小三棱錐的棱長(zhǎng)為x(各棱長(zhǎng)都
相等)，依題意，＝，得x＝2．易得小三棱錐的高為，設(shè)小球半徑為r，則S底面·＝4··S底面·r，得r＝，故小球的表面積S＝4πr2＝．故選C．
48．已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個(gè)半徑為1的
球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是(　　)
A．6　　　　　　　　B．5　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．
48．答案　D　解析　由題意知，四棱錐P－ABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上，過(guò)正
四棱錐的高作組合體的軸截面如圖：

其中PE，PF是斜高，A為球面與側(cè)面的切點(diǎn)．設(shè)PH＝h，易知Rt△PAO∽R(shí)t△PHF，所以＝，即＝，解得h＝，故選D．
49．將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為(　　)
A．π　　　　　　　　B．2π　　　　　　　　C．3π　　　　　　　　D．4π
49．答案　B　解析　將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個(gè)圓錐，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為R，則有2πR
＝3×，所以R＝1，設(shè)圓錐的內(nèi)切球的半徑為r，結(jié)合圓錐和球的特征，可知內(nèi)切球球心必在圓錐的高線上，設(shè)圓錐的高為h，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為3，所以h＝＝2，所以＝，解得r＝，因此內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝2π．故選B．
50．體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為_(kāi)_______.
50．答案　6　解析　設(shè)球的半徑為R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h(yuǎn)＝2，設(shè)底面邊長(zhǎng)為
a，則×a＝1，所以a＝2．所以V＝×(2)2×2＝6．

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