絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則A． B． C． D．2．若，則z=A． B． C． D．3．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A．0.5   B．0.6  C．0.7 D．0.84．（1+2x2 ）（1+x）4的展開式中x3的系數(shù)為A．12 B．16 C．20      D．245．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5=3a3+4a1，則a3=A．16 B．8 C．4     D．26．已知曲線在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則A． B．a=e，b=1 C． D．，7．函數(shù)在的圖像大致為A． B．
C． D．8．如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則A．BM=EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM=EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線9．執(zhí)行下邊的程序框圖，如果輸入的為0.01，則輸出的值等于A．   B．   C．   D．10．雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為A． B． C． D．11．設(shè)是定義域?yàn)?/span>R的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）  B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3）12．設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點(diǎn)，下述四個結(jié)論：①在（）有且僅有3個極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個極小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號是A．①④   B．②③  C．①②③  D．①③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知a，b為單位向量，且a·b=0，若，則___________.14．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則___________.15．設(shè)為橢圓C:的兩個焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為___________.16．學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O­—EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．18．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍．19．（12分）圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求圖2中的二面角B?CG?A的大小.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.21．已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22．[選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，，，，，弧，，所在圓的圓心分別是，，，曲線是弧，曲線是弧，曲線是弧.（1）分別寫出，，的極坐標(biāo)方程；（2）曲線由，，構(gòu)成，若點(diǎn)在M上，且，求P的極坐標(biāo).23．[選修4?5：不等式選講]（10分）設(shè)，且.（1）求的最小值；（2）若成立，證明：或.         2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)·參考答案一、選擇題1．A 2．D 3．C 4．A 5．C 6．D 7．B 8．B 9．C 10．A 11．C 12．D二、填空題13． 14．4 15． 16．118.8三、解答題17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．18．解：（1）由題設(shè)及正弦定理得．因?yàn)?/span>sinA0，所以．由，可得，故．因?yàn)?/span>，故，因此B=60°．（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積．由正弦定理得．由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°<C<90°，故，從而．因此，△ABC面積的取值范圍是．19．解：（1）由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG確定一個平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．又因?yàn)?/span>AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．（2）作EHBC，垂足為H．因?yàn)?/span>EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面ABC．由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=．以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H–xyz，則A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，），=（1，0，），=（2，–1，0）．設(shè)平面ACGD的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，–）．又平面BCGE的法向量可取為m=（0，1，0），所以．因此二面角B–CG–A的大小為30°．20. 解：（1）．令，得x=0或.若a>0，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a=0，在單調(diào)遞增；若a<0，則當(dāng)時，；當(dāng)時，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（2）滿足題設(shè)條件的a，b存在.（i）當(dāng)a≤0時，由（1）知，在[0，1]單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[0，l]的最小值為，最大值為.此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，，即a=0，．（ii）當(dāng)a≥3時，由（1）知，在[0，1]單調(diào)遞減，所以在區(qū)間[0，1]的最大值為，最小值為．此時a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)，b=1，即a=4，b=1．（iii）當(dāng)0<a<3時，由（1）知，在[0，1]的最小值為，最大值為b或．若，b=1，則，與0<a<3矛盾.若，，則或或a=0，與0<a<3矛盾．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a=0，或a=4，b=1時，在[0，1]的最小值為-1，最大值為1．21．解：（1）設(shè)，則.由于，所以切線DA的斜率為，故 .整理得設(shè)，同理可得.故直線AB的方程為.所以直線AB過定點(diǎn).（2）由（1）得直線AB的方程為.由，可得.于是，.設(shè)分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則.由于，而，與向量平行，所以.解得t=0或.當(dāng)=0時，S=3；當(dāng)時，.因此，四邊形ADBE的面積為3或.22.解：（1）由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標(biāo)方程分別為，，.所以的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)，由題設(shè)及（1）知若，則，解得；若，則，解得或；若，則，解得.綜上，P的極坐標(biāo)為或或或.23．解：（1）由于，故由已知得，當(dāng)且僅當(dāng)x=，y=–，時等號成立．所以的最小值為.（2）由于，故由已知，當(dāng)且僅當(dāng)，，時等號成立．因此的最小值為．由題設(shè)知，解得或．

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