絕密★啟用前2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學本試卷共5頁。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，則A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)    C．(-3，-1) D．(3，+∞)2．設z=-3+2i，則在復平面內(nèi)對應的點位于A．第一象限 B．第二象限   C．第三象限 D．第四象限3．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則=A．-3 B．-2   C．2 D．34．2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點的軌道運行．點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設，由于的值很小，因此在近似計算中，則r的近似值為A． B．   C． D．5．演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差   D．極差6．若a>b，則A．ln(a?b)>0         B．3a<3bC．a3?b3>0        D．│a│>│b│7．設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行           B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行     C．α，β平行于同一條直線              D．α，β垂直于同一平面8．若拋物線y2=2px(p>0)的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2            B．3            C．4              D．89．下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin 2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│10．已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，則sin α=A． B．C． D．11．設F為雙曲線C：的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于P，Q兩點.若，則C的離心率為A．  B． C．2  D．12．設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是A．  B． C．  D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97，有20個車次的正點率為0.98，有10個車次的正點率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為__________.14．已知是奇函數(shù)，且當時，.若，則__________.15．的內(nèi)角的對邊分別為.若，則的面積為__________.16．中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________.（本題第一空2分，第二空3分.）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分。17．（12分）如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.18．（12分）11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率.19．（12分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0， ，.（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項公式.20．（12分）已知函數(shù).（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點；（2）設x0是f(x)的一個零點，證明曲線y=ln x 在點A(x0，ln x0)處的切線也是曲線的切線.21．（12分）已知點A(?2,0)，B(2,0)，動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結QE并延長交C于點G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值. （二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標系中，O為極點，點在曲線上，直線l過點且與垂直，垂足為P.（1）當時，求及l的極坐標方程；（2）當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程. 23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知（1）當時，求不等式的解集；（2）若時，，求的取值范圍.2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學·參考答案1．A  2．C  3．C  4．D  5．A 6．C 7．B  8．D  9．A  10．B 11．A  12．B13．0.98  14．–3 15．6  16．26；17．解：（1）由已知得，平面，平面，故．又，所以平面．（2）由（1）知．由題設知，所以，故，．以為坐標原點，的方向為x軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，．設平面EBC的法向量為n=（x，y，x），則即所以可取n=.設平面的法向量為m=（x，y，z），則即所以可取m=（1，1，0）．于是．所以，二面角的正弦值為．18．解：（1）X=2就是10：10平后，兩人又打了2個球該局比賽結束，則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．（2）X=4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個球該局比賽結束，且這4個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．19．解：（1）由題設得，即．又因為a1+b1=l，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列．由題設得，即．又因為a1–b1=l，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．（2）由（1）知，，．所以，．20．解：（1）f（x）的定義域為（0，1），（1，+∞）單調(diào)遞增．因為f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零點x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零點．綜上，f（x）有且僅有兩個零點．（2）因為，故點B（–lnx0，）在曲線y=ex上．由題設知，即，故直線AB的斜率．曲線y=ex在點處切線的斜率是，曲線在點處切線的斜率也是，所以曲線在點處的切線也是曲線y=ex的切線．21．解：（1）由題設得，化簡得，所以C為中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點．（2）（i）設直線PQ的斜率為k，則其方程為．由得．記，則．于是直線的斜率為，方程為．由得．①設，則和是方程①的解，故，由此得．從而直線的斜率為．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面積．設t=k+，則由k>0得t≥2，當且僅當k=1時取等號．因為在[2，+∞）單調(diào)遞減，所以當t=2，即k=1時，S取得最大值，最大值為．因此，△PQG面積的最大值為．22．解：（1）因為在C上，當時，.由已知得.設為l上除P的任意一點.在中，經(jīng)檢驗，點在曲線上.所以，l的極坐標方程為.（2）設，在中， 即..因為P在線段OM上，且，故的取值范圍是.所以，P點軌跡的極坐標方程為 .23．解：（1）當a=1時，.當時，；當時，.所以，不等式的解集為.（2）因為，所以.當，時，所以，的取值范圍是.

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