2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù) 學(xué)一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，則　　．2．（4分）計(jì)算　　．3．（4分）不等式的解集為　　．4．（4分）函數(shù)的反函數(shù)為　　．5．（4分）設(shè)為虛數(shù)單位，，則的值為　　6．（4分）已知，當(dāng)方程有無(wú)窮多解時(shí)，的值為　　．7．（5分）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于　 　．8．（5分）在中，，，且，則　　．9．（5分）首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有　　種（結(jié)果用數(shù)值表示）10．（5分）如圖，已知正方形，其中，函數(shù)交于點(diǎn)，函數(shù)交于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，則的值為　　．11．（5分）在橢圓上任意一點(diǎn)，與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，若有，則與的夾角范圍為　　．12．（5分）已知集合，，，，存在正數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則的值是　　．二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13．（5分）下列函數(shù)中，值域?yàn)?/span>，的是　　A． B． C． D．14．（5分）已知、，則“”是“”的　　A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件15．（5分）已知平面、、兩兩垂直，直線、、滿足：，，，則直線、、不可能滿足以下哪種關(guān)系　　A．兩兩垂直 B．兩兩平行 C．兩兩相交 D．兩兩異面16．（5分）以，，，為圓心的兩圓均過(guò)，與軸正半軸分別交于，，，，且滿足，則點(diǎn)的軌跡是　　A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如圖，在正三棱錐中，．（1）若的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，求與的夾角；（2）求的體積．18．（14分）已知數(shù)列，，前項(xiàng)和為．（1）若為等差數(shù)列，且，求；（2）若為等比數(shù)列，且，求公比的取值范圍．19．（14分）改革開(kāi)放40年，我國(guó)衛(wèi)生事業(yè)取得巨大成就，衛(wèi)生總費(fèi)用增長(zhǎng)了數(shù)十倍．衛(wèi)生總費(fèi)用包括個(gè)人現(xiàn)在支出、社會(huì)支出、政府支出，如表為2012年年我國(guó)衛(wèi)生貨用中個(gè)人現(xiàn)金支出、社會(huì)支出和政府支出的費(fèi)用（單位：億元）和在衛(wèi)生總費(fèi)用中的占比．年份衛(wèi)生總費(fèi)用（億元）個(gè)人現(xiàn)金衛(wèi)生支出社會(huì)衛(wèi)生支出政府衛(wèi)生支出絕對(duì)數(shù)（億元）占衛(wèi)生總費(fèi)用比重絕對(duì)數(shù)（億元）占衛(wèi)生總費(fèi)用比重絕對(duì)數(shù)（億元）占衛(wèi)生總費(fèi)用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)年鑒）（1）指出2012年到2015年之間我國(guó)衛(wèi)生總費(fèi)用中個(gè)人現(xiàn)金支出占比和社會(huì)支出占比的變化趨勢(shì)：（2）設(shè)表示1978年，第年衛(wèi)生總費(fèi)用與年份之間擬合函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并預(yù)測(cè)我國(guó)衛(wèi)生總費(fèi)用首次超過(guò)12萬(wàn)億的年份．20．（16分）已知拋物線方程，為焦點(diǎn)，為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為線段與拋物線的交點(diǎn)，定義：．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）證明：存在常數(shù)，使得；（3），，為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn)，且，判斷與的關(guān)系．21．（18分）已知等差數(shù)列的公差，，數(shù)列滿足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有兩個(gè)元素；（3）若集合恰好有三個(gè)元素：，是不超過(guò)7的正整數(shù)，求的所有可能的值．
2019年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，則　，　．【解答】解：集合，2，3，4，，，5，，，．故答案為：，．2．（4分）計(jì)算　2　．【解答】解：．故答案為：2．3．（4分）不等式的解集為　　．【解答】解：由得，即故答案為：，．4．（4分）函數(shù)的反函數(shù)為　　．【解答】解：由解得，故答案為 5．（4分）設(shè)為虛數(shù)單位，，則的值為　　【解答】解：由，得，即，．故答案為：．6．（4分）已知，當(dāng)方程有無(wú)窮多解時(shí)，的值為　　．【解答】解：由題意，可知：方程有無(wú)窮多解，可對(duì)①，得：．再與②式比較，可得：．故答案為：．7．（5分）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于　15　．【解答】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)為令得，故展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為第3項(xiàng)：．故答案為：15．8．（5分）在中，，，且，則　　．【解答】解：，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：．故答案為：．9．（5分）首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動(dòng)，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有　24　種（結(jié)果用數(shù)值表示）【解答】解：在五天里，連續(xù)的2天，一共有4種，剩下的3人排列，故有種，故答案為：24．10．（5分）如圖，已知正方形，其中，函數(shù)交于點(diǎn)，函數(shù)交于點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，則的值為　　．【解答】解：由題意得：點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值，故答案為：．11．（5分）在橢圓上任意一點(diǎn)，與關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，若有，則與的夾角范圍為　，　．【解答】解：設(shè)，則點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，，，結(jié)合可得：，故與的夾角滿足：，故，故答案為：，12．（5分）已知集合，，，，存在正數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則的值是　1或　．【解答】解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，則，，當(dāng)，時(shí)，則，，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，解得．當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，則，．當(dāng)，，則，，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，，解得．當(dāng)時(shí)，同理可得無(wú)解．綜上，的值為1或．故答案為：1或．二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13．（5分）下列函數(shù)中，值域?yàn)?/span>，的是　　A． B． C． D．【解答】解：，的值域?yàn)?/span>，故錯(cuò)，的定義域?yàn)?/span>，，值域也是，，故正確． ，的值域?yàn)?/span>，故錯(cuò) ，的值域?yàn)?/span>，，故錯(cuò)．故選：．14．（5分）已知、，則“”是“”的　　A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【解答】解：等價(jià)，，得“”， “”是“”的充要條件，故選：．15．（5分）已知平面、、兩兩垂直，直線、、滿足：，，，則直線、、不可能滿足以下哪種關(guān)系　　A．兩兩垂直 B．兩兩平行 C．兩兩相交 D．兩兩異面【解答】解：如圖1，可得、、可能兩兩垂直；如圖2，可得、、可能兩兩相交；如圖3，可得、、可能兩兩異面；故選：．16．（5分）以，，，為圓心的兩圓均過(guò)，與軸正半軸分別交于，，，，且滿足，則點(diǎn)的軌跡是　　A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線【解答】解：因?yàn)?/span>，則，同理可得，又因?yàn)?/span>，所以，則，即，則，設(shè)，則為直線，故選：．三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如圖，在正三棱錐中，．（1）若的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，求與的夾角；（2）求的體積．【解答】解：（1），分別為，的中點(diǎn)，，則為與所成角，在中，由，，可得，與的夾角為；（2）過(guò)作底面垂線，垂直為，則為底面三角形的中心，連接并延長(zhǎng)，交于，則，．．．18．（14分）已知數(shù)列，，前項(xiàng)和為．（1）若為等差數(shù)列，且，求；（2）若為等比數(shù)列，且，求公比的取值范圍．【解答】解：（1），，；（2），存在，，存在，且，，，，或，公比的取值范圍為，，．19．（14分）改革開(kāi)放40年，我國(guó)衛(wèi)生事業(yè)取得巨大成就，衛(wèi)生總費(fèi)用增長(zhǎng)了數(shù)十倍．衛(wèi)生總費(fèi)用包括個(gè)人現(xiàn)在支出、社會(huì)支出、政府支出，如表為2012年年我國(guó)衛(wèi)生貨用中個(gè)人現(xiàn)金支出、社會(huì)支出和政府支出的費(fèi)用（單位：億元）和在衛(wèi)生總費(fèi)用中的占比．年份衛(wèi)生總費(fèi)用（億元）個(gè)人現(xiàn)金衛(wèi)生支出社會(huì)衛(wèi)生支出政府衛(wèi)生支出絕對(duì)數(shù)（億元）占衛(wèi)生總費(fèi)用比重絕對(duì)數(shù)（億元）占衛(wèi)生總費(fèi)用比重絕對(duì)數(shù)（億元）占衛(wèi)生總費(fèi)用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)年鑒）（1）指出2012年到2015年之間我國(guó)衛(wèi)生總費(fèi)用中個(gè)人現(xiàn)金支出占比和社會(huì)支出占比的變化趨勢(shì)：（2）設(shè)表示1978年，第年衛(wèi)生總費(fèi)用與年份之間擬合函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并預(yù)測(cè)我國(guó)衛(wèi)生總費(fèi)用首次超過(guò)12萬(wàn)億的年份．【解答】解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知個(gè)人現(xiàn)金支出占比逐漸減少，社會(huì)支出占比逐漸增多．（2）是減函數(shù)，且，在上單調(diào)遞增，令，解得，當(dāng)時(shí)，我國(guó)衛(wèi)生總費(fèi)用超過(guò)12萬(wàn)億，預(yù)測(cè)我國(guó)到2028年我國(guó)衛(wèi)生總費(fèi)用首次超過(guò)12萬(wàn)億．20．（16分）已知拋物線方程，為焦點(diǎn)，為拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為線段與拋物線的交點(diǎn)，定義：．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）證明：存在常數(shù)，使得；（3），，為拋物線準(zhǔn)線上三點(diǎn)，且，判斷與的關(guān)系．【解答】解：（1）拋物線方程的焦點(diǎn)，，，的方程為，代入拋物線的方程，解得，拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得，，；（2）證明：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，則，聯(lián)立和，可得，，，則存在常數(shù)，使得；（3）設(shè)，，，則，由，，則．21．（18分）已知等差數(shù)列的公差，，數(shù)列滿足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有兩個(gè)元素；（3）若集合恰好有三個(gè)元素：，是不超過(guò)7的正整數(shù)，求的所有可能的值．【解答】解：（1）等差數(shù)列的公差，，數(shù)列滿足，集合．當(dāng)，集合，0，．（2），數(shù)列滿足，集合恰好有兩個(gè)元素，如圖：根據(jù)三角函數(shù)線，①等差數(shù)列的終邊落在軸的正負(fù)半軸上時(shí)，集合恰好有兩個(gè)元素，此時(shí)，②終邊落在上，要使得集合恰好有兩個(gè)元素，可以使，的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，如圖，，此時(shí)，綜上，或者．（3）①當(dāng)時(shí)，，集合，，，符合題意．②當(dāng)時(shí)，，，，或者，等差數(shù)列的公差，，故，，又，2當(dāng)時(shí)滿足條件，此時(shí)，1，．③當(dāng)時(shí)，，，，或者，因?yàn)?/span>，，故，2．當(dāng)時(shí)，，1，滿足題意．④當(dāng)時(shí)，，，所以或者，，，故，2，3．當(dāng)時(shí)，，滿足題意．⑤當(dāng)時(shí)，，，所以，或者，，，故，2，3當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>對(duì)應(yīng)著3個(gè)正弦值，故必有一個(gè)正弦值對(duì)應(yīng)著3個(gè)點(diǎn)，必然有，，，，不符合條件．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>對(duì)應(yīng)著3個(gè)正弦值，故必有一個(gè)正弦值對(duì)應(yīng)著3個(gè)點(diǎn)，必然有，，不是整數(shù)，不符合條件．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>對(duì)應(yīng)著3個(gè)正弦值，故必有一個(gè)正弦值對(duì)應(yīng)著3個(gè)點(diǎn)，必然有或者，，或者，此時(shí)，均不是整數(shù)，不符合題意．綜上，，4，5，6．

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