絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)   學(xué)（文史類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2.本卷共8小題，每小題5分共40分。參考公式：·如果事件A，B互斥，那么.·圓柱的體積公式，其中表示圓柱的底面面積，表示圓柱的高·棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高一、選擇題：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）設(shè)集合， ， ，則（A）{2}   （B）{2，3}   （C）{-1，2，3}   （D）{1，2，3，4} （2）設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（A）2   （B）3   （C）5   （D）6（3）設(shè)，則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（4）閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的值為（A）5   （B）8   （C）24   （D）29（5）已知，，，則的大小關(guān)系為（A）     （B）（c）     （D）（6）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且（為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（A）   （B）   （C）2   （D）（7）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且的最小正周期為，將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為.若，則（A）-2   （B）    （C）    （D）2（8）已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（A）   （B）    （C）    （D）絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)   學(xué)（文史類）第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2.本卷共12小題，共110分。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。（9）是虛數(shù)單位，則的值的值為__________.（10）設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為__________.（11）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.（12）已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________.（13）設(shè)，，，則的最小值為__________.（14）在四邊形中，， ， ， ，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則__________.三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（15）（本小題滿分13分）2019年，我國施行個人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.（Ⅰ）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為.享受情況如右表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；（ii）設(shè)為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件發(fā)生的概率.（16）（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.（17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.（18）（本小題滿分13分）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于，已知， ，.（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足求.（19）（本小題滿分14分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，頂點(diǎn)為B.已知（為原點(diǎn)）.（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓在軸上方的交點(diǎn)為，圓同時與軸和直線相切，圓心在直線上，且，求橢圓的方程.（20）（本小題滿分14分設(shè)函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個零點(diǎn)（ii）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.      絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)   學(xué)（文史類）參考解答一.選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分40分（1）D   （2）C   （3）B   （4）B（5）A   （6）D   （7）C   （8）D二.填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算.每小題5分，滿分30分（9）     （10）     （11）（12）     （13）       （14）三.解答題（15）本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識，考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力，滿分13分.解：（1）由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員中分別抽取6人，9人，10人.（Ⅱ）（i）從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為，共15種.（ii）由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為，共11種.所以，事件發(fā)生的概率（16）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)算求解能力.滿分13分.（1）解：在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因?yàn)?/span>，得到，.由余弦定理可得.（Ⅱ）解：由（1）可得，從而，，故.（17）本小題主要考查直線與平面平行直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查空間想象能力和推理論證能力滿分13分.（Ⅰ）證明：連接，易知，.又由，故，又因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面.（Ⅱ）證明：取棱的中點(diǎn)，連接.依題意，得，又因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，所以平面，交平面，故.又已知，，所以平面.（Ⅲ）解：連接，由（Ⅱ）中平面，可知為直線與平面所成的角，因?yàn)?/span>為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以.又，在中，.所以，直線與平面所成角的正弦值為.（18）本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力.滿分13分.（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為依題意，得，解得，故，.所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式 為.（Ⅱ）解：                                .  ①        ，   ②②-①得，.所以，                           .（19）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、圓等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力，滿分14分.（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知有，又由，消去得，解得.所以，橢圓的離心率為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，， ，故橢圓方程為.由題意，，則直線的方程為.點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，消去并化簡，得到，解得，，代入到的方程，解得，.因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方，所以.由圓心在直線上，可設(shè).因?yàn)?/span>，且由（Ⅰ）知，故，解得.因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑為2，又由圓與相切，得，可得.所以，橢圓的方程為.（20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法，考查函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.（Ⅰ）解：由已知，的定義域?yàn)?/span>，且因此當(dāng)時， ，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（Ⅱ）證明：（i）由（Ⅰ）知.令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且.故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則.當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn).令，則當(dāng)時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時， ，所以.從而，又因?yàn)?/span>，所以在內(nèi)有唯零點(diǎn).又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，）在內(nèi)恰有兩個零點(diǎn).（ii）由題意，即，從而，即.因?yàn)楫?dāng)時， ，又，故，兩邊取對數(shù)，得，于是，整理得. 

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