2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 理（全國卷3）注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號碼填寫在答題卡上.2．回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,在涂選其它答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給的四個選項中，只有一項符合題目要求的。）1．已知集合，，則（    ）A．    B．    C．   D．2．（    ）A．    B．   C．    D．3．中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來，構件的凸出部分叫棒頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是棒頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（    ） 4．若，則（    ）A．    B．    C．    D． 5．的展開式中的系數(shù)為（    ）A．10    B．20    C．40    D．80 6．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是（    ）A．   B．   C．  D． 7．函數(shù)的圖像大致為（    ）8．某群體中的每位成品使用移動支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨立，設為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，，則（    ）A．0.7    B．0.6    C．0.4    D．0.3 9．的內角的對邊分別為，，，若的面積為，則（    ）A．    B．    C．    D．10．設是同一個半徑為4的球的球面上四點，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為（    ）A．   B．   C．    D．  11．設是雙曲線（）的左，右焦點，是坐標原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（    ）A．    B．2    C．     D． 12．設，，則（    ）A．       B．C．       D．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知向量，，．若，則________． 14．曲線在點處的切線的斜率為，則________． 15．函數(shù)在的零點個數(shù)為________． 16．已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．      三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．）（一）必考題：共60分。17．（12分）等比數(shù)列中，．⑴求的通項公式；⑵記為的前項和．若，求．    18．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：⑴根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；⑵求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過不超過第一種生產(chǎn)方式  第二種生產(chǎn)方式   ⑶根據(jù)⑵中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，．19．（12分）如圖，邊長為2的正方形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點．⑴證明：平面平面；⑵當三棱錐體積最大時，求面與面所成二面角的正弦值．     20．（12分）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點．線段的中點為．⑴證明：；⑵設為的右焦點，為上一點,且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．        21．（12分）已知函數(shù)．⑴若，證明：當時，；當時，；⑵若是的極大值點，求．          （二）選考題：共10分，請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在平面直角坐標系中，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），過點且傾斜角為的直線與交于兩點．⑴求的取值范圍；⑵求中點的軌跡的參數(shù)方程．         23．[選修4—5：不等式選講]（10分）設函數(shù)．⑴畫出的圖像；⑵當， ，求的最小值．        參考答案一、選擇題1．答案：C解答：∵，，∴.故選C.2．答案：D解答：，選D.3．答案：A解答：根據(jù)題意，A選項符號題意.4．答案：B解答：.故選B.5．答案：C解答：，當時，，此時系數(shù).故選C.6．答案：A解答：由直線得，∴，圓的圓心為，∴圓心到直線的距離為，∴點到直線的距離的取值范圍為，即，∴. 7．答案：D解答：當時，，可以排除A、B選項；又因為，則的解集為，單調遞增區(qū)間為，；的解集為，單調遞減區(qū)間為，.結合圖象，可知D選項正確.8．答案：B解答：由，∴，∴，解之得，由，有.9．答案：C解答：，又，故，∴.故選C.10．答案：B解答：如圖，為等邊三角形，點為，，，外接球的球心，為的重心，由，得，取的中點，∴，∴，∴球心到面的距離為，∴三棱錐體積最大值.11．答案：C解答：∵，，∴ ；又因為，所以；在中，；∵在中，，∴.12．答案：B解答：∵，，∴，，∴，∴即，又∵，，∴，故選B.二、填空題13．答案：解答：，∵，∴，解得.14．答案：解答：，則，所以.15．答案：解答：由，有，解得，由得可取，∴在上有個零點.16．答案：解答：依題意得，拋物線的焦點為，故可設直線，聯(lián)立消去得，設，，則，，∴，.又，，∴，∴.三、解答題17．答案：（1）或；（2）.解答：（1）設數(shù)列的公比為，∴，∴.∴或.（2）由（1）知，或，∴或（舍），∴.18． 解答：（1）第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為，第二種生產(chǎn)方式平均數(shù)為，∴，所以第一種生產(chǎn)方式完成任務的平均時間大于第二種，∴第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（2）由莖葉圖數(shù)據(jù)得到，∴列聯(lián)表為（3），∴有的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.19． 解答：（1）∵正方形半圓面，∴半圓面，∴平面.∵在平面內，∴，又∵是半圓弧上異于的點，∴.又∵，∴平面，∵在平面內，∴平面平面.（2）如圖建立坐標系：∵面積恒定，∴，最大.，，，，,設面的法向量為，設面的法向量為，，，，，，同理，，∴，∴ .20． 解答：（1）設直線方程為，設,,聯(lián)立消得，則，得…①，且，，∵，∴ 且.且…②.由①②得，∴或.∵，∴ .（2），,∵，，∴的坐標為.由于在橢圓上，∴ ，∴，，又，，兩式相減可得，又，，∴，直線方程為，即，∴，消去得，，，,∴.∴，，成等差數(shù)列，.∴.21． 解答：（1）若時，，∴.令，∴.∴當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減.∴，∴恒成立，∴在上單調遞增，又，∴當時，；當時，.（2），，，，.設，∴，，，∴在鄰域內，時，，時，.時，，由洛必達法則得，時，，由洛必達法則得，綜上所述，.22． 解答：（1）的參數(shù)方程為，∴的普通方程為，當時，直線：與有兩個交點，當時，設直線的方程為，由直線與有兩個交點有，得，∴或，∴或，綜上.（2）點坐標為，當時，點坐標為，當時，設直線的方程為，，∴有，整理得，∴，，∴  得代入④得.當點時滿足方程，∴中點的的軌跡方程是，即，由圖可知，，，則，故點的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.23． 解答：（1），如下圖：（2）由（1）中可得：，，當，時，取最小值，∴的最小值為.

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