類型1　集合及其數(shù)學(xué)思想【例1】　(1)已知全集U＝{1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{2,3}，則?U(A∪B)＝(　　)A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}(2)已知集合A＝{x|－3＜x＜3}，B＝{x|2k－1＜x＜2k＋1}，且A∪B＝A，則實數(shù)k的取值范圍是_______．(3)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x＜0}，若A∩B≠?，則實數(shù)m的取值范圍是_______．(1)D　(2)－1≤k≤1　(3){m|m≤－1}　[(1)∵A∪B＝{1,2,3}，∴?U(A∪B)＝{4}．(2)由A∪B＝A，得A?B，又B≠?，則，解得－1≤k≤1.(3)設(shè)全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝.若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的兩根x1，x2均非負，則解得m≥，∵在U中的補集為{m|m≤－1}．∴實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤－1}．]1．交集思想許多數(shù)學(xué)問題是求同時滿足若干個條件p1，p2，…，pn的解，如果把滿足各條件的對象表示成集合A1，A2，…，An，則Q＝A1∩A2∩…∩An就是問題的解集．如列方程組或不等式組解應(yīng)用題等，都是運用交集思想方法解題的具體體現(xiàn)．2．并集思想有些數(shù)學(xué)問題需要分若干種情況討論，若將問題分為n類，每類問題的解集為A1，A2，…，An，則Q＝A1∪A2∪…∪An就是問題的解集．3．補集思想“正難則反”策略是指當(dāng)某一問題從正面解決困難時，我們可以從其反面入手解決．這種“正難則反”策略運用的是補集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.1．(1)若全集U＝{1,2,3,4,5,6)，M＝{2,3}，N＝{1,4}，則集合{5,6}等于(　　)A．M∪N B．M∩NC．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)(2)已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝(　　)A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}(3)已知關(guān)于x的不等式>2的解集為A，且3?A，則實數(shù)a的取值范圍為________．(1)D　(2)D　(3){a|a≤1}　[(1)因為M∪N＝{1,2,3,4}，所以(?UM)∩(?UN)＝?U(M∪N)＝{5,6}，故選D.(2)由Venn圖可知A＝{3,9}．(3)因為3?A，所以3∈?UA＝，即當(dāng)x＝3時，有≤2，故a≤1.] 類型2　充分條件與必要條件【例2】　(1) 若a、b、c是常數(shù)，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0”的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分條件，則a的最大值為_______．(1)A　(2)－1　[(1)若a＞0且b2－4ac＜0，則對任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0，反之，則不一定成立．如a＝0，b＝0且c＞0時，也有對任意x∈R，有ax2＋bx＋c＞0.故選A.(2)由題意知：{x|x＜a}?{x|x＜－1或x＞1}，所以a≤－1.]1．充分條件、必要條件的判斷方法定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．2．判斷指定條件與結(jié)論之間關(guān)系的基本步驟：①確定條件是什么，結(jié)論是什么；②嘗試從條件推結(jié)論，從結(jié)論推條件；③確定條件和結(jié)論是什么關(guān)系．3．利用充要條件可進行命題之間的等價轉(zhuǎn)化．2．(1)設(shè)集合A＝，B＝{x|2－a＜x＜2＋a}，則“a＝2”是“A∩B≠?”的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)若“x∈{3，a}”是不等式2x2－5x－3≥0成立的一個充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．(1)A　(2)a≤－或a＞3　[(1)A＝＝{x|－1＜x＜1}，當(dāng)a＝2時，B＝{x|0＜x＜4}，A∩B＝{x|0＜x＜1}≠?；由A∩B≠?推不出a＝2，比如a＝3時，A∩B＝{x|－1＜x＜1}≠?，故選A.(2)由2x2－5x－3≥0，得x≤－或x≥3，所以a≤－或a＞3.] 類型3　利用基本不等式求最值【例3】　(1)設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是__________．(2)設(shè)a＞b＞0，則a2＋＋的最小值是(　　)A．1 B．2C．3 D．4(1)　(2)D　[(1)∵4x2＋y2＋4xy－3xy＝1，∴1＝(2x＋y)2－·2xy≥(2x＋y)2－·2＝(2x＋y)2，∴2x＋y≤，故2x＋y的最大值為.(2)a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝ab＋＋a(a－b)＋≥2＋2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)ab＝1，a(a－b)＝1時等號成立．如取a＝，b＝滿足條件．]利用基本不等式求最值，要注意以下兩點：(1)使用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”，特別是利用拆項、添項、配湊、分離變量、減少變元等構(gòu)造定值的方法，和對等號能否成立的驗證；(2)若等號取不到，則應(yīng)利用函數(shù)單調(diào)性求最值．3．(1)設(shè)x＞－1，則函數(shù)y＝的最小值為________．(2)若x，y為實數(shù)，且x＋2y＝4，則xy的最大值為________．(1)9　(2)2　[(1)y＝＝x＋1＋＋5，由均值不等式可得：y≥2＋5＝9，等號成立條件為x＋1＝?x＝1，所以最小值為9.(2)xy＝·x·(2y)≤·2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，且x＋2y＝4，即x＝2，y＝1時取“＝”)．] 類型4　全稱量詞命題與存在量詞命題【例4】　(1)命題“至少有一個實數(shù)x，使x3＋1＝0”的否定是________；(2)若對任意x∈[1,2]，x2－a≥0，則實數(shù)a的取值范圍是________．(1)任意x∈R，x3＋1≠0　(2)a≤1　[(1)任意x∈R，x3＋1≠0(2)對任意x∈[1,2]，x2－a≥0，則a≤(x2)min＝1.]1．不等式恒成立問題的求解方法：若y≥a恒成立，則a≤ymin；若y≤a恒成立，則a≥ymax.2．不等式有解問題的求解方法：若y≥a有解，則a≤ymax；若y≤a有解，則a≥ymin.4．(1)命題“存在x∈R，x2＋2x＋2≤0”的否定是________；(2)若存在x∈[1,2]，x2－a≥0，則實數(shù)a的取值范圍是________．(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0　(2)a≤4　[(1)任意x∈R，x2＋2x＋2＞0；(2)存在x∈[1,2]，x2－a≥0，則a≤(x2)max＝4.]1．(2019·全國卷Ⅰ理)已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，則M∩N＝(　　)A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}C　[由題知N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<3}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，選C.]2．(2018·全國卷Ⅱ理)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數(shù)為(　　)A．9 B．8C．5 D．4A　[A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}共9個元素，選A.]3．(2019·全國卷Ⅰ文)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，則B∩?UA＝(　　)A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}C　[由題知?UA＝{1,6,7}，則知B∩?UA＝{6,7}，選C.]4．(2019·天津高考文)設(shè)x∈R，則“0<x<5”是“|x－1|<1”的(　　)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B　[由|x－1|<1得0<x<2，故0<x<5推不出0<x<2，而0<x<2能推出0<x<5，故為必要而不充分條件，選B.]5．(2014·四川高考)若a>b>0，c<d<0，則一定有(　　)A．> B．<C．> D．<B　[由c<d<0，得－>－>0，又a>b>0，由不等式的性質(zhì)知，－>－>0，∴<，選B.]  

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