專題14  圓與正多邊形  一、單選題1．（2022·四川雅安）如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（　?。?/span>A．3 B． C． D．3【答案】C【解析】【分析】利用圓的周長(zhǎng)先求出圓的半徑，正六邊形的邊長(zhǎng)等于圓的半徑，正六邊形一條邊與圓心構(gòu)成等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出OG．【詳解】∵圓O的周長(zhǎng)為，設(shè)圓的半徑為R，∴∴R=3連接OC和OD，則OC=OD=3∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=，∴△OCD是等邊三角形，OG垂直平分CD，∴OC=OD=CD，∴故選 C 【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川廣元）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，若∠CAB＝65°，則∠ADC的度數(shù)為（　　） A．25° B．35° C．45° D．65°【答案】A【解析】【分析】首先利用直徑所對(duì)的圓周角是直角確定∠ACB=90°，然后根據(jù)∠CAB=65°求得∠ABC的度數(shù)，利用同弧所對(duì)的圓周角相等確定答案即可．【詳解】解：∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=65°，∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，∴∠ADC=∠ABC=25°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解直徑所對(duì)的圓周角為直角，難度不大．3．（2020·四川巴中）如圖，在中，點(diǎn)在圓上，，則的半徑的長(zhǎng)是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理求出，再求出即可．【詳解】解：根據(jù)圓周角定理得：，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和解直角三角形，能求出是直角三角形是解此題的關(guān)鍵．4．（2020·四川廣安）如圖，點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)均在圓O上，∠AOD=68°，AO//DC，則∠B的度數(shù)為（　　　）A．40° B．60° C．56° D．68°【答案】C【解析】【分析】連接AD，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ODA，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ODC，最后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：連接AD，∵∠AOD=68°，OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=56°，∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=68°，∴∠ADC=124°，∵點(diǎn)A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)都在⊙O上，∴∠B=180°-∠ADC=56°，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．5．（2020·四川雅安）如圖，內(nèi)接于圓，，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．則（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠CAB.【詳解】解：連接OC，∵CP與圓O相切，∴OC⊥CP，∵∠ACB=90°，∴AB為直徑，∵∠P=28°，∴∠COP=180°-90°-28°=62°，而OC=OA，∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，即∠CAB=31°，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，外角，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠COP.6．（2021·四川內(nèi)江）如圖，是的外接圓，，若的半徑為2，則弦的長(zhǎng)為（     ）A．4 B． C．3 D．【答案】B【解析】【分析】過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理以及垂徑定理可得結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，是的外接圓，，，又，，，，在中，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟知相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．7．（2021·四川德陽）如圖，邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點(diǎn)F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60°，那么經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（　?。?/span>A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）【答案】A【解析】【分析】如圖，連接，．首先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)6次一個(gè)循環(huán)，由，推出經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同，由此即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，．在正六邊形中，，，，，在中，，，，，，，，將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，次一個(gè)循環(huán)，，經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，經(jīng)過第2025次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問題，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．二、填空題8．（2020·四川眉山）如圖，點(diǎn)為⊙外一點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線、，點(diǎn)、為切點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．已知，，則的長(zhǎng)為________．【答案】【解析】【分析】連接OB，在中應(yīng)用勾股定理求得的半徑為3，再根據(jù)，對(duì)應(yīng)線段成比例即可求解．【詳解】解：連接OB，∵、為的切線，∴，，∴，∴，設(shè)的半徑為r，則，在中，，即，解得，∴，∵，，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理、相似三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理的應(yīng)用等內(nèi)容，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2022·四川雅安）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線，以O為圓心，OC為半徑作⊙O與直線AO交于點(diǎn)E和點(diǎn)D． (1)求證：AB是⊙O的切線；(2)連接CE，求證：△ACE∽△ADC；(3)若＝，⊙O的半徑為6，求tan∠OAC．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)tan∠OAC【解析】【分析】（1）如圖，過作于證明 即可得到結(jié)論；（2）證明 再結(jié)合 從而可得結(jié)論；（3）由相似三角形的性質(zhì)可得 設(shè) 則 而 從而建立方程求解x，從而可得答案．(1)證明：如圖，過作于   ∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分線， O為圓心，OC為半徑，是⊙O的切線．(2)如圖，連結(jié)CE， 為的直徑， (3) 設(shè) 則 而 解得 tan∠OAC【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，求解銳角的正切，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解是解本題的關(guān)鍵．10．（2021·四川內(nèi)江）如圖，是的直徑，、是上兩點(diǎn)，且，過點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)等邊對(duì)等角得到∠DAB=∠ODA，則∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，進(jìn)而得到OD⊥DE，據(jù)此即可得解；（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，則∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根據(jù)S陰影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；（3）過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，連接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，則MB=，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，的半徑為2，，，如圖，連接，是的直徑，，，，，，即，，在中，，，，，，，，；（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，在中，，，，．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并證明△OGD∽△EGA求出AE是解題的關(guān)鍵．

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