專題02  整式與因式分解  一、單選題1．（2020·四川廣安）下列運(yùn)算中，正確的是（　 ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則和二次根式的乘法公式逐一判斷即可．【詳解】解：A．和不是同類項(xiàng)，不能合并，故錯(cuò)誤；B． ，故錯(cuò)誤；C．，故錯(cuò)誤；D．，故正確．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是整式的運(yùn)算和二次根式的運(yùn)算，掌握同類項(xiàng)的定義、單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則和二次根式的乘法公式是解題關(guān)鍵．2．（2021·四川眉山）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】小括號(hào)先通分合并，再將除法變乘法并因式分解即可約分化簡(jiǎn)．【詳解】解：原式故答案是：B．【點(diǎn)睛】本題考察分式的運(yùn)算和化簡(jiǎn)、因式分解，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．解題關(guān)鍵是掌握分式的運(yùn)算法則．二、填空題3．（2022·四川廣安）已知a+b=1，則代數(shù)式a2﹣b2 +2b+9的值為________．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)平方差公式，把原式化為，可得，即可求解．【詳解】解：a2﹣b2 +2b+9 故答案為：10【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，利用整體代入思想解答是解題的關(guān)鍵．4．（2022·四川樂(lè)山）如果一個(gè)矩形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無(wú)縫隙，就稱它為“優(yōu)美矩形”，如圖所示，“優(yōu)美矩形”ABCD的周長(zhǎng)為26，則正方形d的邊長(zhǎng)為______．【答案】5【解析】【分析】設(shè)正方形a、b、c、d的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，分別求得b=c，c=d，由“優(yōu)美矩形”ABCD的周長(zhǎng)得4d+2c=26，列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：設(shè)正方形a、b、c、d的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d，∵“優(yōu)美矩形”ABCD的周長(zhǎng)為26，∴4d+2c=26，∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，則b=c，∴d=2b+c=c，則c=d，∴4d+d =26，∴d=5，∴正方形d的邊長(zhǎng)為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了整式加減的應(yīng)用，認(rèn)真觀察圖形，根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式推導(dǎo)出所求的答案是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川自貢）化簡(jiǎn)： ＝____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算的順序，依次計(jì)算即可．【詳解】=故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握約分，通分，因式分解的技巧是解題的關(guān)鍵．6．（2021·四川內(nèi)江）若實(shí)數(shù)滿足，則__．【答案】2020【解析】【分析】由等式性質(zhì)可得，，再整體代入計(jì)算可求解．【詳解】解：，，，．故答案為：2020．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，將等式轉(zhuǎn)化為，是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．（2021·四川涼山）閱讀以下材料，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Npler，1550－1617年）是對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人，他發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書(shū)寫(xiě)方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler．1707－1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．對(duì)數(shù)的定義：一般地．若（且），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為指數(shù)式．我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：，理由如下：設(shè)，則．．由對(duì)數(shù)的定義得又．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，解答下列問(wèn)題：（1）填空：①___________；②_______，③________；（2）求證：；（3）拓展運(yùn)用：計(jì)算．【答案】（1）5，3，0；（2）見(jiàn)解析；（3）2【解析】【分析】（1）直接根據(jù)定義計(jì)算即可；（2）結(jié)合題干中的過(guò)程，同理根據(jù)同底數(shù)冪的除法即可證明；（3）根據(jù)公式：loga（M?N）=logaM+logaN和loga=logaM-logaN的逆用，將所求式子表示為：，計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵，∴5，②∵，∴3，③∵，∴0；（2）設(shè)logaM=m，logaN=n，∴，，∴，∴，∴；（3）===2．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算、對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確新定義，明白指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．8．（2022·四川涼山）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝        ；x1x2＝        ．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2) (3)或 【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后將進(jìn)行變形求解即可；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后求出s-t的值，然后將進(jìn)行變形求解即可．(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴，．故答案為：；．(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩根分別為m、n，∴，，∴(3)∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根，∴，，∵∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出或，是解答本題的關(guān)鍵．

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