專題06  分式方程  一、單選題1．（2021·四川巴中）關(guān)于x的分式方程3＝0有解，則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件是（　　）A．m＝﹣2 B．m≠﹣2 C．m＝2 D．m≠2【答案】B【解析】【分析】解分式方程得：即，由題意可知，即可得到.【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得：，∴，∵分式方程有解，∴，∴，∴，∴，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，理解分式方程有意義的條件是解題的關(guān)鍵.2．（2021·四川宜賓）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（       ）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】C【解析】【分析】先把分式方程化為整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．【詳解】解：，去分母得：，∵關(guān)于x的分式方程有增根，增根為：x=2，∴，即：m=2，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵．3．（2020·四川瀘州）已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則正整數(shù)m的所有個(gè)數(shù)為（       ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)解分式方程，可得分式方程的解，根據(jù)分式方程的解為負(fù)數(shù)，可得不等式，解不等式，即可解題．【詳解】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，移項(xiàng)、合并，解得：x=，∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴≥0且≠1，解得：m≤5且m≠3，∵m為正整數(shù)∴m=1，2，4，5，共4個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合條件的不等式的解．4．（2022·四川遂寧）若關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值為（       ）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【解析】【分析】現(xiàn)將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無(wú)解的情況分類討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】方程兩邊同乘，得，整理得，原方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上，m的值為0或4；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡(jiǎn)公分母為0和化成的整式方程無(wú)解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川德陽(yáng)）關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（ ）A．a＞－1 B．a＞－1且a≠0 C．a＜－1 D．a＜－1且a≠－2【答案】D【解析】【分析】將分式方程變?yōu)檎椒匠糖蟪鼋?，再根?jù)解為正數(shù)且不能為增根，得出答案．【詳解】方程左右兩端同乘以最小公分母x-1，得2x+a=x-1．解得：x=-a-1且x為正數(shù)．所以-a-1＞0，解得a＜-1，且a≠-2.（因?yàn)楫?dāng)a=-2時(shí)，方程不成立.）．【點(diǎn)睛】本題難度中等，易錯(cuò)點(diǎn)：容易漏掉了a≠-2這個(gè)信息．二、填空題6．（2021·四川涼山）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是_________．【答案】m＞-3且m≠-2【解析】【分析】先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以x-1得，，解得，∵x為正數(shù)，∴m+3＞0，解得m＞-3．∵x≠1，∴m+3≠1，即m≠-2．∴m的取值范圍是m＞-3且m≠-2．故答案為：m＞-3且m≠-2．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解是解答此題的關(guān)鍵．7．（2020·四川巴中）若關(guān)于x的分式方程有增根，則_________．【答案】或【解析】【分析】先確定最簡(jiǎn)公分母，令最簡(jiǎn)公分母為0求出x的值，然后把分式方程化為整式方程，再將x的值代入整式方程，解關(guān)于m的方程即可得解．【詳解】解：分式方程最簡(jiǎn)公分母為，由分式方程有增根，得到或，即或，分式方程去分母得：，把代入方程得：，解得：．把代入方程得：，解得：．故填：或．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根問(wèn)題，增根問(wèn)題可按如下步驟進(jìn)行：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②化分式方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．8．（2021·四川雅安）若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，則k的取值范圍是______．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)題意，將分式方程的解用含的表達(dá)式進(jìn)行表示，進(jìn)而令，再因分式方程要有意義則，進(jìn)而計(jì)算出的取值范圍即可．【詳解】解： 根據(jù)題意且∴∴∴k的取值范圍是且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解及分式方程有意義的條件、一元一次不等式組的求解，熟練掌握相關(guān)計(jì)算方法是解決本題的關(guān)鍵．9．（2020·四川眉山）關(guān)于的分式方程的解為正實(shí)數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】且【解析】【分析】利用解分式方程的一般步驟解出方程，根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：方程兩邊同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，解得，，且故答案為：且【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步驟、分式方程無(wú)解的判斷方法是解題的關(guān)鍵．10．（2020·四川內(nèi)江）若數(shù)a使關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，且使關(guān)于y的不等式組的解集為，則符合條件的所有整數(shù)a的積為_____________【答案】40【解析】【分析】根據(jù)分式方程的解為正數(shù)即可得出a5且a≠3，根據(jù)不等式組的解集為，即可得出a>0，找出0<a5且a≠3中所有的整數(shù)，將其相乘即可得出結(jié)論．【詳解】解：分式方程的解為x=且x≠1，∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴且≠1.∴a5且a≠3.解不等式①，得.解不等式②，得y<a.∵關(guān)于y的不等式組的解集為，∴a>0.∴0<a5且a≠3.又a為整數(shù)，則a的值為1，2，4，5.符合條件的所有整數(shù)a的積為.故答案為：40.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)結(jié)合不等式組的解集為，找出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵．11．（2020·四川攀枝花）實(shí)驗(yàn)學(xué)校某班開(kāi)展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”測(cè)量活動(dòng)．有兩座垂直于水平地面且高度不一的圓柱，兩座圓柱后面有一斜坡，且圓柱底部到坡腳水平線的距離皆為．王詩(shī)嬑觀測(cè)到高度矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為；而高圓柱的部分影子落在坡上，如圖所示．已知落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，測(cè)得斜坡坡度，在不計(jì)圓柱厚度與影子寬度的情況下，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）若王詩(shī)嬑的身高為，且此刻她的影子完全落在地面上，則影子長(zhǎng)為多少？（2）猜想：此刻高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)．請(qǐng)直接回答這個(gè)猜想是否正確？（3）若同一時(shí)間量得高圓柱落在坡面上的影子長(zhǎng)為，則高圓柱的高度為多少？【答案】（1）120cm；（2）正確；（3）280cm【解析】【分析】（1）根據(jù)同一時(shí)刻，物長(zhǎng)與影從成正比，構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)落在地面上的影子皆與坡腳水平線互相垂直，并視太陽(yáng)光為平行光，結(jié)合橫截面分析可得；（3）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，設(shè)FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，再根據(jù)同一時(shí)刻身高與影長(zhǎng)的比例，求出AH的長(zhǎng)度，即可得到AB.【詳解】解：（1）設(shè)王詩(shī)嬑的影長(zhǎng)為xcm，由題意可得：，解得：x=120，經(jīng)檢驗(yàn)：x=120是分式方程的解，王詩(shī)嬑的的影子長(zhǎng)為120cm；（2）正確，因?yàn)楦邎A柱在地面的影子與MN垂直，所以太陽(yáng)光的光線與MN垂直，則在斜坡上的影子也與MN垂直，則過(guò)斜坡上的影子的橫截面與MN垂直，而橫截面與地面垂直，高圓柱也與地面垂直，∴高圓柱和它的影子與斜坡的某個(gè)橫截面一定同在一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)；（3）如圖，AB為高圓柱，AF為太陽(yáng)光，△CDE為斜坡，CF為圓柱在斜坡上的影子，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥CE于點(diǎn)G，由題意可得：BC=100，CF=100，∵斜坡坡度，∴，∴設(shè)FG=4m，CG=3m，在△CFG中，，解得：m=20，∴CG=60，FG=80，∴BG=BC+CG=160，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H，∵同一時(shí)刻，90cm矮圓柱的影子落在地面上，其長(zhǎng)為72cm，FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，可知四邊形HBGF為矩形，∴，∴AH==200，∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圓柱的高度為280cm.【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解實(shí)際物體與影長(zhǎng)之間的關(guān)系解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
 

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