專題16  相似三角形 一、單選題1．（2020·四川成都）如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（       ） A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可．【詳解】解：∵直線l1∥l2∥l3，∴.∵AB=5，BC=6，EF=4，∴.∴DE=.故選：D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．2．（2021·四川巴中）如圖，ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且，下列結(jié)論正確的是（　?。?/span>A．DE：BC＝1：2B．ADE與ABC的面積比為1：3C．ADE與ABC的周長比為1：2D．DEBC【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進行逐一判斷即可．【詳解】解：∵，∴AD：AB=AE：AC=1：3，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=1：3，故A錯誤；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE與△ABC的面積比為1：9，周長的比為1：3，故B和C錯誤；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC．故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．3．（2022·四川雅安）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，DE∥BC，若＝，那么＝（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求解再證明可得【詳解】解： ＝， DE∥BC， 故選D【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，證明是解本題的關鍵．二、填空題4．（2021·四川德陽）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為1，則該矩形的周長為 __________________．【答案】或4【解析】【分析】分兩種情況：①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，求出矩形的周長即可；②邊為矩形的寬時，則矩形的長為，求出矩形的周長即可．【詳解】解：分兩種情況：①邊為矩形的長時，則矩形的寬為，矩形的周長為：；②邊為矩形的寬時，則矩形的長為：，矩形的周長為；綜上所述，該矩形的周長為或4，故答案為：或4．【點睛】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關鍵．5．（2021·四川內(nèi)江）如圖，矩形中，，，對角線的垂直平分線交于點、交于點，則線段的長為 __．【答案】##7.5【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF即可．【詳解】解：如圖：四邊形是矩形，，又，，，是的垂直平分線，，，又，，，，解得，，四邊形是矩形，，，，是的垂直平分線，，，在和中，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應用，掌握矩形的四個角是直角、對邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關鍵．6．（2020·四川眉山）如圖，等腰中，，邊的垂直平分線交于點，交于點．若的周長為，則的長為________．【答案】【解析】【分析】過點A作AF⊥BC于F，先根據(jù)垂直平分線已知條件得出BC=16，再根據(jù)等腰三角形的三線合一和勾股定理得出AF=6，再根據(jù)即可得出結(jié)論【詳解】解：∵DE是AC的垂直平分線， ∴AD=CD，∠DEC=90°，AE=5∵的周長為，∴AB+BD+AD=26∴AB+BD+DC=AB+BC=26∵AB=10，∴BC=16，過點A作AF⊥BC于F，∵AB=AC=10∴CF=8， ∵∠DEC=∠AFC= 90°，∠C=∠C∴∴∴∴DE=故答案為：【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握有關的性質(zhì)．7．（2020·四川宜賓）在直角三角形ABC中，是AB的中點，BE平分交AC于點E連接CD交BE于點O，若，則OE的長是________．【答案】【解析】【分析】過E點作EG⊥AB于G點，根據(jù)三角形面積公式求出CE=EG=3，延長CD交過B作BF⊥BC于F，可得△ACD≌△BFD，得到BF=8,再根據(jù)△CEO∽△FBO，找到比例關系得到EO=BE，再求出BE即可求解．【詳解】過E點作EG⊥AB于G點，∵BE平分∴CE=EG,設CE=EG=x,∵,∴AB=∵S△ABC= S△ABE+S△BCE，故即解得x=3∴CE=3,延長CD交過B作BF⊥BC于F，∵D是AB中點∴AD=BD又AC∥BF∴∠A=∠DBF,由∠ADC=∠DBF∴△ACD≌△BFD，∴BF=AC=8,∵AC∥BF∴△CEO∽△FBO，∴∴EO=BE=×=，故答案為：．【點睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)．三、解答題8．（2022·四川自貢）如圖，用四根木條釘成矩形框，把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．(1)通過觀察分析，我們發(fā)現(xiàn)圖中線段存在等量關系，如線段由旋轉(zhuǎn)得到，所以．我們還可以得到＝            ， ＝            ；(2)進一步觀察，我們還會發(fā)現(xiàn)∥，請證明這一結(jié)論；(3)已知，若 恰好經(jīng)過原矩形邊的中點 ，求與之間的距離．【答案】(1)CD，AD；(2)見解析；(3)EF于BC之間的距離為64cm．【解析】【分析】（1）由推動矩形框時，矩形ABCD的各邊的長度沒有改變，可求解；（2）通過證明四邊形BEFC是平行四邊形，可得結(jié)論；（3）由勾股定理可求BH的長，再證明△BCH∽△BGE，得到，代入數(shù)值求解EG，即可得到答案．(1)解：∵ 把邊固定在地面上，向右推動矩形框，矩形框的形狀會發(fā)生改變（四邊形具有不穩(wěn)定性）．∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知矩形ABCD的各邊的長度沒有改變，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案為：CD，AD；(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四邊形BEFC是平行四邊形，∴EFBC，∴EFAD；(3)解：如圖，過點E作EG⊥BC于點G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，點H是CD的中點，∴ CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，∠BCH＝90°，BH＝（cm），∵ EG⊥BC，∴∠EGB＝∠BCH＝90°，∴CHEG，∴ △BCH∽△BGE，∴，∴，∴EG＝64，∵ EFBC，∴EF與BC之間的距離為64cm．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關鍵．9．（2021·四川雅安）如圖，為等腰直角三角形，延長至點B使，其對角線，交于點E．（1）求證：；（2）求的值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過是等腰直角三角形可知，再由，即可證明；（2）設，則，，再根據(jù)即可得到用含的表達式表示的DF，進而即可求得的值．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形∴E為BD中點∵∴∴又∵為等腰直角三角形∴，∴∴∵∴在與中∴；（2）解：設∵為等腰直角三角形∴，，∵∴∴又∵∴∴∵，∴∵E是DB中點∴∴∴∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定，三角形相似的性質(zhì)與判定，還涉及了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三線合一，矩形的性質(zhì)等相關內(nèi)容，熟練掌握相關幾何證明方法是解決本題的關鍵．

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