專題03  分式及二次根式 一、單選題1．（2021年四川綿陽）計(jì)算的結(jié)果是（       ）A．6 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由題意化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式后依據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.2．（2020年四川廣安）要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（　　　）A．x≤－3 B．x＞3 C．x≥3 D．x=3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)≥0，即可求出結(jié)論．【詳解】解：由題意可得解得：故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件：被開方數(shù)≥0，是解題關(guān)鍵．3．（2022年四川南充）已知，且，則的值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先將分式進(jìn)件化簡(jiǎn)為，然后利用完全平方公式得出，，代入計(jì)算即可得出結(jié)果．【詳解】解：，∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，∵，∴，∴，∵a>b>0，∴，∴原式=，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查完全公式的計(jì)算，分式化簡(jiǎn)等，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．二、填空題4．（2022年四川成都）已知，則代數(shù)式的值為_________．【答案】##3.5##3【解析】【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值；【詳解】解：＝＝＝＝＝．，移項(xiàng)得，左邊提取公因式得，兩邊同除以2得，∴原式＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5．（2022年四川達(dá)州）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)，，記，，…，，則_______．【答案】5050【解析】【分析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100，???，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：，，，，，…，故答案為：5050【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運(yùn)算，求得，找出的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．6．（2022年四川眉山）將一組數(shù)，2，，，…，，按下列方式進(jìn)行排列：，2，，；，，，4；…若2的位置記為，的位置記為，則的位置記為________．【答案】【解析】【分析】先找出被開方數(shù)的規(guī)律，然后再求得的位置即可．【詳解】數(shù)字可以化成：，，，；，，，；∴規(guī)律為：被開數(shù)為從2開始的偶數(shù)，每一行4個(gè)數(shù)，∵，28是第14個(gè)偶數(shù)，而∴的位置記為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了類比點(diǎn)的坐標(biāo)解決實(shí)際問題的能力和閱讀理解能力．被開方數(shù)全部統(tǒng)一是關(guān)鍵．7．（2021年四川眉山）觀察下列等式：；；；……根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，找到第n個(gè)等式的左邊為，等式右邊為1與的和；利用這個(gè)結(jié)論得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化為1﹣，化為﹣，化為﹣，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算即可．【詳解】解：由題意可知，，＝1+1+1+…+1﹣2021＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021＝2020+1﹣﹣2021＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)和找規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)算式找的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特征進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算．三、解答題8．（2022年四川德陽）計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)后再進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減法運(yùn)算．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，正確掌握二次根式的化簡(jiǎn)，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2022年四川內(nèi)江）（1）計(jì)算：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：（）÷，其中a＝﹣，b＝+4．【答案】（1）2；（2），【解析】【分析】（1）首先代入特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行乘方、絕對(duì)值運(yùn)算，再進(jìn)行乘法和加法運(yùn)算；（2）首先把分式化簡(jiǎn)，再代入a和b的值計(jì)算．【詳解】解：（1）原式＝ ＝+2﹣＝2；（2）原式＝[]? ＝＝．當(dāng)a＝﹣，b＝+4時(shí)，原式＝ ．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算、分式的化簡(jiǎn)求值、特殊角的三角函數(shù)值以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，掌握解題步驟是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022年四川雅安）如圖，E，F是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE＝DF．(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)若AB＝3，BE＝2，求四邊形AECF的面積．【答案】(1)證明見解析(2)6【解析】【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)證明再結(jié)合BE＝DF，從而可得結(jié)論；（2）先利用正方形的性質(zhì)證明 再求解EF的長(zhǎng)，再利用四邊形AECF的面積，即可得到答案．(1)證明： 正方形ABCD， (2)如圖，連結(jié)AC， 正方形ABCD， ∴四邊形AECF的面積 【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的乘法運(yùn)算，掌握“正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分”是解本題的關(guān)鍵．11．（2022年四川涼山）閱讀材料：材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝        ；x1x2＝        ．(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．【答案】(1)；(2) (3)或 【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后將進(jìn)行變形求解即可；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后求出s-t的值，然后將進(jìn)行變形求解即可．(1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，∴，．故答案為：；．(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩根分別為m、n，∴，，∴(3)∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根，∴，，∵∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出或，是解答本題的關(guān)鍵．  

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