高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)選擇性必修第一冊第一章　空間向量與立體幾何1.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.5 空間中的距離習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

課時作業(yè)(十)　空間中的距離一、選擇題1．(2022山東青島二中模擬)如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為a的正方體OABC—D′A′B′C′，A′C的中點E與AB的中點F的距離為(　　)A.a　 B.a　 C．a　 D.a答案：B解析：由圖易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)，則F，E.∴|EF|＝＝＝a.2．已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，則點A到直線BC的距離是(　　)A. B．1 C. D．2答案：A3．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點E是A1B1的中點，則點A到直線BE的距離是(　　)A. B. C. D.答案：B4．(2022山東五蓮模擬)已知向量n＝(2,0,1)為平面α的法向量，點A(－1,2,1)在α內(nèi)，則點P(1,2，－2)到平面α的距離為(　　)A. B. C．2 D.答案：A5．(2022山東師范大學(xué)附中月考)四棱錐P－ABCD中，＝(2，－1,3)，＝(－2,1,0)，＝(3，－1,4)，則這個四棱錐的高為(　　)A. B. C. D.答案：A6．(多選題)(2022泉州科技中學(xué)月考)已知直線l的方向向量n＝(1,0，－1)，A(2，1，－3)為直線l上一點，若點P(－1,0，－2)為直線外一點，則P到直線l上任意一點Q的距離可能為(　　)A．2 B. C. D．1答案：AB7．(多選題)(2022山東師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，點E，O分別是A1B1，A1C1的中點，P在正方體內(nèi)部且滿足＝＋＋，則下列說法正確的是(　　)A．點A到直線BE的距離是B．點O到平面ABC1D1的距離為C．平面A1BD與平面B1CD1的距離為D．點P到直線AB的距離為答案：BC解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)，D1(0,1,1)，E，所以＝(－1,0,0)，＝.設(shè)∠ABE＝θ，則cos θ＝＝，sin θ＝＝.故A到直線BE的距離d1＝||sin θ＝1×＝，故A錯．易知＝＝，平面ABC1D1的一個法向量＝(0，－1,1)，則點O到平面ABC1D1的距離d2＝＝＝，故B對．＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝(0,1,0)．設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則所以令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1,1,1)．所以點D1到平面A1BD的距離d3＝＝＝.因為平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD與平面B1CD1的距離等于點D1到平面A1BD的距離，所以平面A1BD與平面B1CD1的距離為，故C對．因為＝＋＋，所以＝，又＝(1,0,0)，則＝，所以點P到AB的距離d＝＝＝，故D錯．故選BC.二、填空題8．(2022江蘇泰州檢測)已知A(2,2,0)，B(1，4,2)，C(0,0,1)，則原點O到平面ABC的距離為________．答案：9．在底面是直角梯形的四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為________．答案：10．正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為__________. 答案：解析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)．∴＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)，∴＝，＝，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面EFBD.設(shè)n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，則解得取z＝1，則x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)．平面AMN到平面EFBD的距離就是點B到平面EFBD的距離．∵＝(0,4,0)，∴平面AMN與平面EFBD間的距離d＝＝.11．(2022湖南天心區(qū)長郡中學(xué)模擬)如圖，棱長為3的正方體的頂點A在平面α上，三條棱AB，AC，AD都在平面α的同側(cè)，若頂點B，C到平面α的距離分別為，，則頂點D到平面α的距離為________．答案：解析：如圖，以O為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)，C(3,0,0)，B(0,3,0)，A(3,3,0)，D(3,3,3)，所以＝(3,0,0)，＝(0,3,0)，＝(0,0,3)．設(shè)平面α的法向量為n＝(x，y，z)，則點B到平面α的距離為d1＝＝＝，①點C到平面α距離為d2＝＝＝，②由①②可得|y|＝|x|，|z|＝|x|，所以點D到平面α的距離為＝＝＝.故答案為.三、解答題12．(2021新高考全國卷Ⅰ)如圖，在三棱錐A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點．(1)證明：OA⊥CD；(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E－BC－D的大小為45°，求三棱錐A－BCD的體積．答案：(1)證明：因為AB＝AD，O為BD的中點，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，所以AO⊥CD；(2)解：取OD的中點F，因為△OCD為正三角形，所以CF⊥OD，過O作OM∥CF與BC交于點M，則OM⊥OD，所以OM，OD，OA兩兩垂直，以點O為坐標(biāo)原點，分別以OM，OD，OA為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則B(0，－1,0)，C，D(0,1,0)，設(shè)A(0,0，t)，則E，因為OA⊥平面BCD，故平面BCD的一個法向量為＝(0,0，t)，設(shè)平面BCE的法向量為n＝(x，y，z)，又＝，＝，所以由得令x＝，則y＝－1，z＝，故n＝，因為二面角E－BC－D的大小為45°，所以|cos〈n，〉|＝＝＝，解得t＝1，所以OA＝1，又S△OCD＝×1×1×＝，所以S△BCD＝，故VA－BCD＝·S△BCD·OA＝××1＝.13．(2022遼寧瓦房店實驗高級中學(xué)月考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在棱BB1上，EB1＝1，D，F，G分別為CC1，B1C1，A1C1的中點，EF與B1D相交于點H.(1)求證：B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD；(3)求平面EGF與平面ABD的距離．答案：(1)證明：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AB＝a，則A1(a,0,0)，B1(0,0,0)，C1(0,2,0)，F(0,1,0)，E(0,0,1)，A(a,0,4)，B(0,0,4)，D(0,2,2)，G.所以＝(0,2,2)，＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)．所以·＝0＋0＋0＝0，·＝0＋4－4＝0.所以⊥，⊥，所以B1D⊥AB，B1D⊥BD.又AB∩BD＝B，所以B1D⊥平面ABD.(2)證明：由(1)可得＝(－a,0,0)，＝(0,2，－2)，＝，＝(0,1，－1)，所以＝2，＝2，所以∥，∥.所以GF∥AB，EF∥BD.又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，所以平面EGF∥平面ABD.(3)解：由(1)(2)知，是平面EGF和平面ABD的法向量．因為平面EGF∥平面ABD，所以點E到平面ABD的距離就是兩平面的距離，設(shè)為d.因為＝(0,0,3)，＝(0,2,2)，所以d＝＝＝.即平面EGF與平面ABD間的距離為.