我們知道，世界各國溫度的汁量單位尚不統(tǒng)一，常用的有攝氏溫度(℃)和華氏溫度(°F)兩種．它們之問的換算關(guān)系如下表所示： 觀察上表，如果把表中的攝氏溫度與華氏溫度都看作變量，那么它們之間的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)嗎?
建立一次函數(shù)模型解實(shí)際問題
1. 設(shè)某銷售員月銷售產(chǎn)品x 件，他應(yīng)得的工資記為y 元. 求y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式.2. 用求出的函數(shù)關(guān)系式，嘗試解決下列問題：(1)該銷售員某月的工資為4 100元，他這個月銷售了多少件產(chǎn)品？(2)要想使月工資超過4 500元，該月的銷售量應(yīng)當(dāng)超過多少件？
在上面的問題中，銷售員的月工資數(shù)y (元)與他當(dāng)月銷售產(chǎn)品數(shù)x (件)之間的函數(shù)關(guān)系式為: y =10x+3 000. 當(dāng)銷售員的工資為4 100元時，有4100=10x+3 000.解得y =110. 要想使月工資超過4 500元，只要使此10x+3 000 >4 500即可.解得 x >150.
要點(diǎn)精析：“建?！笨梢园褜?shí)際問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一次函數(shù)的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是確定函數(shù)與自變量之間的函數(shù)表達(dá)式，并確定實(shí)際問題中自變量的取值范圍．
例1 “黃金1號”玉米種子的價(jià)格為5元/kg.如果一次購買2 kg以上的種子，超過2 kg部分的種子價(jià)格打8折.(1)填寫表1.(2)寫出付款金額關(guān)于購買量的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象.
付款金額與種子價(jià)格相關(guān).問題中種子價(jià)格不是固定不變的，它與購買量有關(guān).設(shè)購買x kg種子，當(dāng)0≤ x≤2時，種子價(jià)格為5元/kg;當(dāng)x>2時，其中有2 kg種子按5元/kg計(jì)價(jià)，其余的(x-2)kg(即超出2 kg部分)種子按4元/kg (即8折)計(jì)價(jià).因此，寫函數(shù)解析式與畫函數(shù)圖像時，應(yīng)對 0≤ x≤ 2和x >2分段討論.
(1)(2)設(shè)購買量為x kg.付款金額為y 元. 當(dāng)0≤ x≤ 2時，y =5x； 當(dāng)x >2時， y =4(x-2)+10=4x+2. 函數(shù)圖像如圖.
表格信息題是中考的熱點(diǎn)題，解決表格信息題的關(guān)鍵是從表格中獲取正確、易于解決問題的信息；其建模的過程是：先設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，然后找出需要的對應(yīng)值，列出方程(組)，求解即可得到表達(dá)式．
1 某水庫在春季播種前，向下游灌溉區(qū)開閘放水.放水量V (m3)與放水時間t (min)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：(1)求放水量V (m3)與放水時間t (min)之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)求放水24 h的放水量.
(1)通過觀察表格中給出的數(shù)據(jù)可知，V 是t 的一次函數(shù)．由此設(shè)V 與t 之間的函數(shù)關(guān)系式為V＝kt＋b，將(30，1 500)，(60，3 000)分別代入，可得 解得 所以V＝50t.將(90，4 500)，(120，6 000)，(150，7 500)分別代入V＝50t，均符合，所以放水量V 與放水時間t 之間的函數(shù)關(guān)系式為V＝50t.(2)當(dāng)t＝60×24時，V＝50×60×24＝72 000.所以放水24 h的放水量為72 000 m3.
某出版社出版了一種適合中學(xué)生閱讀的科普書.當(dāng)該書首次出版的印數(shù)不少于5千冊時，該出版社投入的成本y (萬元)與印數(shù) x (千冊)之間為一次函數(shù)關(guān)系，并有下表中的對應(yīng)值：(1)求y (萬元)與x (千冊)之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)出版社投入成本4.1萬元時，能印該書多少千冊?
(1)設(shè)y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b.將(6，3.1)，(8，3.6)分別代入，可得 解得 所以y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝0.25x＋1.6(x ≥5).(2)將y＝4.1代入y＝0.25x＋1.6，得0.25x＋1.6＝4.1，解得x＝10.所以當(dāng)出版社投入成本4.1萬元時，能印該書10千冊．
3 一個長方形的長、寬分別為60和40.現(xiàn)將它的寬減少10，長增加了x. 設(shè)變化后的長方形的面積為y.(1)寫出y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)當(dāng)x 取何值時，變化后的長方形與原來的長方形的面積相等？(3)當(dāng)x 取哪些值時，可以使變化后的長方形的面積比原來的長方形面的2倍還要大？
(1)y＝30(60＋x )＝30x＋1 800(x >0)．(2)令30x＋1 800＝60×40，解得x＝20，即當(dāng)x＝20時，變化后的長方形與原來的長方形的面積相等.(3)令30x＋1 800＞2×60×40，解得x＞100，即當(dāng)x＞100時，可以使變化后的長方形的面積比原來的長方形面積的2倍還要大．
4 一輛中型客車，準(zhǔn)乘21人(包括一名司機(jī)和一名乘務(wù)員).這輛客車由A 地 行駛到B 地，油費(fèi)為45元，高速公路費(fèi)為20元，其他運(yùn)行成本為42元，每人票價(jià)25元.設(shè)乘客為x 人時，盈利為y 元.(1)寫出y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)至少要有多少名乘客才能保證不虧本？若載滿了乘客，可獲利多少元？
(1)y＝25x－45－20－42＝25x－107，即y＝25x－107(0≤ x ≤19，且x 為整數(shù))．(2)令25x－107≥0，解得x ≥ ，所以至少要有5名乘客才能保證不虧本．當(dāng)x＝19時，y＝25×19－107＝368.故若載滿了乘客，可獲利368元．
5 一家游泳館的游泳收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為30元/次，若購買會員年卡，可享受如下優(yōu)惠：
例如，購買A類會員年卡，一年內(nèi)游泳20次，消費(fèi)50＋25×20＝550(元)，若一年內(nèi)在該游泳館游泳的次數(shù)介于45～55次之間，則最省錢的方式為(　　)A．購買A類會員年卡 B．購買B類會員年卡C．購買C類會員年卡 D．不購買會員年卡
6 下一旅游團(tuán)來到黃岡某旅游景點(diǎn)，看到售票處旁邊的公告欄如圖所示，請根據(jù)公告欄內(nèi)容回答下列問題：(1)若旅游團(tuán)人數(shù)為9人，門票費(fèi)用是________元； 若旅游團(tuán)人數(shù)為30人，門票費(fèi)用是________元；
公告欄各位游客，本景點(diǎn)門票價(jià)格如下：1．一次購買10張以下(含10張)，每張門票180元；2．一次購買10張以上，超過10張的部分，每張門票6折優(yōu)惠．
(2)設(shè)旅游團(tuán)人數(shù)為x人，寫出該旅游團(tuán)門票費(fèi)用y (元)與人數(shù)x (人)的函數(shù)關(guān)系式(直接填寫在下面的橫線上)．
7 一食堂需要購買盒子存放食物，盒子有A，B兩種型號，單個盒子的容量和價(jià)格如表．現(xiàn)有15升食物需要存放且要求每個盒子要裝滿，由于A型號盒子正做促銷活動：購買三個及三個以上可一次性返還現(xiàn)金4元，則購買盒子所需要最少費(fèi)用為________元．　
用一次函數(shù)解含圖像的實(shí)際問題
如圖，某種稱量體重的臺秤 ，最大稱量是150 kg.稱體重時，體重x (kg)與指針按順時針方向轉(zhuǎn)過的角y (°)有如下一些對應(yīng)數(shù)值：
(1)請你在直角坐標(biāo)系中，分別以上表中的每對對應(yīng)數(shù) 值為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).描點(diǎn)連線，畫出圖像.(2)求y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量x 的取值 范圍.(3)當(dāng)體重為多少千克時，臺秤的指針恰好轉(zhuǎn)到180° 的位置？當(dāng)體重為 50 kg時，臺秤的指針轉(zhuǎn)過的角 度是多少？
由這些對應(yīng)值畫出的圖像.如圖所示.由表格給出的數(shù)據(jù)可以看出，體重為0 kg時，臺秤指針指向0°，每增加5 kg，臺秤指針按順時針方向旋轉(zhuǎn)12°，所以y 是x 的正比例函數(shù).根據(jù)條件可得當(dāng)y=180 時， 解得 x=75.當(dāng)x=50 時，
即當(dāng)體重為75 kg時，臺秤的指針恰好轉(zhuǎn)到180°的位置；當(dāng)體重為50 kg時，臺秤的指針轉(zhuǎn)過的角度是120°.
利用函數(shù)方法解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是分析題中的等量關(guān)系，聯(lián)系實(shí)際生活及以前學(xué)過的內(nèi)容，將實(shí)際問題抽象、升華為一次函數(shù)模型，即建模，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.一次函數(shù)的應(yīng)用主要有兩種類型：(1)給出了一次函數(shù)表達(dá)式，直接應(yīng)用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；(2)只用語言敘述或用表格、圖像提供一次函數(shù)的情境時，應(yīng)先求出表達(dá)式，進(jìn)而利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
例2 蓮城超市以10元/件的價(jià)格調(diào)進(jìn)一批商品，根據(jù)前期銷售情況，每天的銷售量y (件)與該商品定價(jià)x (元/件)是一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．(1)求每天的銷售量y 與定價(jià)x 之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果超市將該商品的銷售價(jià)定為13元/件，不考慮其他因素，求超市每天銷售這種商品所獲得的利潤．
(1)由圖像可知y 與x 是一次函數(shù)關(guān)系，又由函數(shù)圖像過點(diǎn)(11，10)和(15，2)，用待定系數(shù)法即可求得y 與x 的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)(1)求出的函數(shù)關(guān)系式和每件該商品的利潤，即可求得超市每天銷售這種商品所獲得的利潤．
(1)設(shè)y＝kx＋b (k≠0)，由圖像可知， 解得故每天的銷售量y 與定價(jià)x 之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝－2x＋32.(2)當(dāng)x＝13時，超市每天銷售這種商品所獲得的利潤是(－2x＋32)·(13－10)＝－6x＋96＝－6×13＋96＝18(元)．
本題解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)題意求得函數(shù)關(guān)系式，注意待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
1 汽車在剎車后都會由于慣性繼續(xù)向前滑行一段距離，我們將其稱為“剎車距離”.某型號轎車的“剎車距離”y (m)與速度x (km/h)的關(guān)系如圖所示.(1)寫出y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式.(2)要使剎車距離不超過12m，車速應(yīng)當(dāng)保持在哪個范圍內(nèi)？
(1)設(shè)y＝kx，則9＝60k，解得k＝ ，所以y＝ x (x ≥0)．(2)由題意可得，0≤ x ≤12，解得0≤ x ≤80. 故要使剎車距離不超過12 m，車速應(yīng)保持在0～80 km/h的范圍內(nèi).
2 某市為鼓勵市民節(jié)約用水，自來水公司采用分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，每月收取水費(fèi)y (元)與用水量x (t)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.(1)小蘭家7月份用水7t，應(yīng)交水費(fèi)多少元？(2)按上述分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，小蘭家3月份和4月份分別交水費(fèi)29元和19.8元.小蘭家4月份比3月份節(jié)約用水多少噸？
設(shè)當(dāng)0≤ x ≤10時，y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx，將點(diǎn)(10，22)的坐標(biāo)代入，可得10k＝22，解得k＝2.2.即當(dāng)0≤ x ≤10時，y＝2.2x.設(shè)當(dāng)x >10時，y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝k ′x＋b，將點(diǎn)(10，22)，(20，57)的坐標(biāo)分別代入，可得 解得即當(dāng)x >10時，y＝3.5x－13.綜上可知，y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝
(1)當(dāng)x＝7時，將x＝7代入y＝2.2x，得y＝15.4. 所以應(yīng)交水費(fèi)15.4元．(2)通過觀察圖像可知，小蘭家3月份用水量超過了 10 t，4月份用水量少于10 t．所以將y＝29代入y＝3.5x－13，得29＝3.5x－13，解得x＝12；將y＝19.8代入y＝2.2x，得19.8＝2.2x，解得x＝9，即小蘭家3月份用水量為12 t，4月份用水量為9 t，所以小蘭家4月份比3月份節(jié)約用水12－9＝3(t)．
4 如圖①，在某個盛水容器內(nèi)有一個小水杯，小水杯內(nèi)有部分水，現(xiàn)在勻速持續(xù)地向小水杯內(nèi)注水，注滿小水杯后，繼續(xù)注水，小水杯內(nèi)水的高度y (cm)和注水時間x (s)之間的關(guān)系滿足圖②中的圖像，則至少需要________s能把小水杯注滿．
汽車由A地駛往相距400 km的B地，如果汽車的平均速度是100 km/h，那么汽車距B地的距離s (km)與行駛時間t (h)的關(guān)系用圖像表示應(yīng)為(　　)
易錯點(diǎn)：對自變量或函數(shù)值代表的實(shí)際意義理解不準(zhǔn)確而造成錯誤.
某藍(lán)莓種植生產(chǎn)基地產(chǎn)銷兩旺，采摘的藍(lán)莓部分加工銷售，部分直接銷售，且當(dāng)天都能銷售完,直接銷售是40元/斤，加工銷售是130元/斤(不計(jì)損耗)．已知基地雇傭20名工人，每名工人只能參與采摘和加工中的一項(xiàng)工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，設(shè)安排x 名工人采摘藍(lán)莓，剩下的工人加工藍(lán)莓．(1)若基地一天的總銷售收入為y 元，求y 與x 的函數(shù)關(guān)系式.(2)試求如何分配工人，才能使一天的銷售收入最大．并求出最大值．
(1)根據(jù)題意得y＝[70x－(20－x )×35]×40＋(20－x )×35 ×130＝－350x＋63 000. ∴y 與x 的函數(shù)關(guān)系式為y＝－350x＋63 000.(2)∵70x ≥35(20－x )，∴x ≥ . ∵x 為正整數(shù)，且x ≤ 20，∴7≤ x ≤20，且x 為整數(shù)． ∵y＝－350x＋63 000中k＝－350＜0， ∴y 的值隨x 的值的增大而減小，∴當(dāng)x＝7時，y 取最 大值，最大值為－350×7＋63 000＝60 550. 答：安排7名工人進(jìn)行采摘，13名工人進(jìn)行加工， 才能使一天的收入最大，最大收入為60 550元．
某快遞公司的每位“快遞小哥”日收入與每日的派送量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示．(1)求每位“快遞小哥”的日收入y (元)與日派送量x (件)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知某“快遞小哥”的日收入不少于110元，則他至少要派送多少件？
(1)設(shè)每位“快遞小哥”的日收入y (元)與日派送量x (件)之 間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx＋b，將(0，70)，(30，100) 代入y＝kx＋b， 得 解得： ∴每位“快遞小哥”的日收入y (元)與日派送量x (件)之 間的函數(shù)關(guān)系式為y＝x＋70.(2)根據(jù)題意得：x＋70 ≥110，解得：x ≥40. ∴他至少要派送40件．
某班級45名同學(xué)自發(fā)籌集到1 700元資金，用于初中畢業(yè)時各項(xiàng)活動的經(jīng)費(fèi)．通過商議，決定拿出不少于544元但不超過560元的資金用于請專業(yè)人士拍照，其余資金用于給每名同學(xué)購買一件文化衫或一本制作精美的相冊作為紀(jì)念品．已知每件文化衫28元，每本相冊20元．(1)設(shè)用于購買文化衫和相冊的總費(fèi)用為W 元，求總費(fèi)用W (元)與購買的文化衫件數(shù)t (件)的函數(shù)關(guān)系式．(2)購買文化衫和相冊有哪幾種方案？為了使拍照的資金更充足，應(yīng)選擇哪種方案？并說明理由．
(1)根據(jù)題意得：W＝28t＋20×(45－t )＝8t＋900.(2)根據(jù)題意得： 解得：30≤t ≤32，∴有三種購買方案： 方案一：購買30件文化衫、15本相冊； 方案二：購買31件文化衫、14本相冊； 方案三：購買32件文化衫、13本相冊． ∵W＝8t＋900中W 隨t 的增大而增大， ∴當(dāng)t＝30時，W 取最小值，此時用于拍照的費(fèi)用最多， ∴為了使拍照的資金更充足，應(yīng)選擇方案一：購買30 件文化衫、15本相冊．
在體育局的策劃下，市體育館將組織明星籃球賽，為此體育局推出兩種購票方案(設(shè)購票張數(shù)為x，購票總價(jià)為y )：方案一：提供8 000元贊助后，每張票的票價(jià)為50元；方案二：票價(jià)按圖中的折線OAB 所表示的函數(shù)關(guān)系確定．
(1)當(dāng)購買120張票時，按方案一和方案二分別應(yīng)付的購票款是多少？(2)求方案二中y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)至少買多少張票時選擇方案一比較合算？
(1)當(dāng)購買120張票時，方案一購票款：y＝8 000＋50×120＝14 000(元)，方案二購票款：y＝13 200元．
(2)當(dāng)0≤ x ≤100時，設(shè)y＝ax， 代入點(diǎn)(100，12 000)的坐標(biāo)得12 000＝100a， 解得a＝120，∴y＝120x； 當(dāng)x＞100時，設(shè)y＝kx＋b， 代入點(diǎn)(100，12 000)，(120，13 200)的坐標(biāo)， 得 解得 ∴y＝60x＋6 000.
∴方案二中y 與x 之間的函數(shù)關(guān)系式 為
(3)由(1)可知，要選方案一比較合算，必須超過 120張，由此得8 000＋50x＜60x＋6 000， 解得x＞200. 答：至少買201張票時選擇方案一比較合算．
1. 運(yùn)用一次函數(shù)解決實(shí)際問題的方法：在日常生活和生產(chǎn)實(shí)踐中有不少問題的數(shù)量關(guān)系可以用一次函數(shù)來刻畫．在運(yùn)用一次函數(shù)解決實(shí)際問題時，首先判斷問題中的兩個變量之間是不是一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)確定是一次函數(shù)關(guān)系時，求出函數(shù)表達(dá)式，并運(yùn)用一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)一步求得所需的結(jié)果．說明：在應(yīng)用一次函數(shù)的過程中，要注意結(jié)合實(shí)際，確定自變量的取值范圍，也要結(jié)合實(shí)際情況舍去不符合題意的解．
2. 用一次函數(shù)解實(shí)際問題要明確“三點(diǎn)”(1)一次函數(shù)關(guān)系的建立：一種是利用問題中變量間的相等關(guān)系去列；另一種是在已知兩個變量是一次函數(shù)關(guān)系的情況下，用待定系數(shù)法去求.(2)利用一次函教的值隨自變量值的變化情況，在自變量的取值范圍內(nèi)，求最大值或最小值.利用函數(shù)圖像比較大小.(3)正確理解題意，讀懂問題至關(guān)重要，我們可以通過畫圖、聯(lián)想實(shí)際情況等來幫助理解題意.

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初中數(shù)學(xué)冀教版八年級下冊電子課本

21.4 一次函數(shù)的應(yīng)用

版本： 冀教版

年級： 八年級下冊

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