21.4  一次函數(shù)的應(yīng)用
1．根據(jù)問(wèn)題及條件找出能反映出實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)；(重點(diǎn))2．能利用一次函數(shù)圖象解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的問(wèn)題．(重點(diǎn))一、情境導(dǎo)入聯(lián)通公司手機(jī)話(huà)費(fèi)收費(fèi)有A套餐(月租費(fèi)15元，通話(huà)費(fèi)每分鐘0.1元)和B套餐(月租費(fèi)0元，通話(huà)費(fèi)每分鐘0.15元)兩種．設(shè)A套餐每月話(huà)費(fèi)為y1(元)，B套餐每月話(huà)費(fèi)為y2(元)，月通話(huà)時(shí)間為x(分鐘)．(1)分別表示出y1與x，y2與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)月通話(huà)時(shí)間為多長(zhǎng)時(shí)，A、B兩種套餐收費(fèi)一樣？(3)什么情況下A套餐更省錢(qián)？二、合作探究探究點(diǎn)：一次函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題【類(lèi)型一】 利用一次函數(shù)解決最值問(wèn)題 廣安某水果店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共140千克，這兩種水果的進(jìn)價(jià)、售價(jià)如表所示：   進(jìn)價(jià)(元/千克)售價(jià)(元/千克)甲種58乙種913(1)若該水果店預(yù)計(jì)進(jìn)貨款為1000元，則這兩種水果各購(gòu)進(jìn)多少千克？(2)若該水果店決定乙種水果的進(jìn)貨量不超過(guò)甲種水果的進(jìn)貨量的3倍，應(yīng)怎樣安排進(jìn)貨才能使水果店在銷(xiāo)售完這批水果時(shí)獲利最多？此時(shí)利潤(rùn)為多少元？解析：(1)根據(jù)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共140千克，進(jìn)而利用該水果店預(yù)計(jì)進(jìn)貨款為1000元，列出等式求出即可；(2)利用兩種水果每千克的利潤(rùn)表示出總利潤(rùn)，再利用一次函數(shù)增減性得出最大值即可．解：(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種水果x千克，則購(gòu)進(jìn)乙種水果(140－x)千克，根據(jù)題意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：購(gòu)進(jìn)甲種水果65千克，乙種水果75千克；(2)由圖表可得甲種水果每千克利潤(rùn)為3元，乙種水果每千克利潤(rùn)為4元．設(shè)總利潤(rùn)為W，由題意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560.∵該水果店決定乙種水果的進(jìn)貨量不超過(guò)甲種水果的進(jìn)貨量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35.∵－1<0，∴W隨x的增大而減小，則x越小W越大．∴當(dāng)x＝35時(shí)，W最大＝－35＋560＝525(元)，140－35＝105(千克)．答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲種水果35千克，購(gòu)進(jìn)乙種水果105千克時(shí)，此時(shí)利潤(rùn)最大為525元．方法總結(jié)：利用一次函數(shù)增減性得出函數(shù)最值是解題關(guān)鍵．【類(lèi)型二】 利用一次函數(shù)解決有關(guān)路程問(wèn)題 為倡導(dǎo)低碳生活，綠色出行，某自行車(chē)俱樂(lè)部利用周末組織“遠(yuǎn)游騎行”活動(dòng)．自行車(chē)隊(duì)從甲地出發(fā)，途經(jīng)乙地短暫休息完成補(bǔ)給后，繼續(xù)騎行至目的地丙地，自行車(chē)隊(duì)出發(fā)1h后，恰有一輛郵政車(chē)從甲地出發(fā)，沿自行車(chē)隊(duì)行進(jìn)路線(xiàn)前往丙地，在丙地完成2h裝卸工作后按原路返回甲地，自行車(chē)隊(duì)與郵政車(chē)行駛速度均保持不變，并且郵政車(chē)行駛速度是自行車(chē)隊(duì)行駛速度的2.5倍，如圖表示自行車(chē)隊(duì)、郵政車(chē)離甲地的路程y(km)與自行車(chē)隊(duì)離開(kāi)甲地的時(shí)間x(h)的函數(shù)關(guān)系圖象，請(qǐng)根據(jù)圖象提供的信息解答下列各題：(1)自行車(chē)隊(duì)行駛的速度是________km/h；(2)郵政車(chē)出發(fā)多久與自行車(chē)隊(duì)首次相遇？(3)郵政車(chē)在返程途中與自行車(chē)隊(duì)再次相遇時(shí)的地點(diǎn)距離甲地多遠(yuǎn)？解析：(1)由“速度＝路程÷時(shí)間”就可以求出結(jié)論；(2)由自行車(chē)的速度就可以求出郵政車(chē)的速度，再由追及問(wèn)題設(shè)郵政車(chē)出發(fā)ah與自行車(chē)隊(duì)首次相遇建立方程求出其解即可；(3)由郵政車(chē)的速度可以求出B的坐標(biāo)和C的坐標(biāo)，由自行車(chē)的速度就可以求出D的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出BC，ED的解析式就可以求出結(jié)論．解：(1)由題意得自行車(chē)隊(duì)行駛的速度為72÷3＝24(km/h)．(2)由題意得郵政車(chē)的速度為24×2.5＝60(km/h)．設(shè)郵政車(chē)出發(fā)ah與自行車(chē)隊(duì)首次相遇，由題意得24(a＋1)＝60a，解得a＝.答：郵政車(chē)出發(fā)h與自行車(chē)隊(duì)首次相遇；(3)由題意得郵政車(chē)到達(dá)丙地的時(shí)間為135÷60＝(h)，∴郵政車(chē)從丙地出發(fā)返回甲地前共用時(shí)為＋2＋1＝(h)，∴B(，135)，C(7.5，0)．自行車(chē)隊(duì)到達(dá)丙地的時(shí)間為135÷24＋0.5＝＋0.5＝(h)，∴D(，135)．設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y1＝k1＋b1，由題意得解得∴y1＝－60x＋450.設(shè)ED的解析式為y2＝k2x＋b2，由題意得解得∴y2＝24x－12.當(dāng)y1＝y2時(shí)，－60x＋450＝24x－12，解得x＝5.5.y1＝－60×5.5＋450＝120.答：郵政車(chē)在返程途中與自行車(chē)隊(duì)再次相遇時(shí)的地點(diǎn)距離甲地120km.方法總結(jié)：本題考查了行程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一次函數(shù)與一元一次方程的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【類(lèi)型三】 利用一次函數(shù)解決圖形面積問(wèn)題 如圖①，底面積為30cm2的空?qǐng)A柱形容器內(nèi)水平放置著由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”，現(xiàn)向容器內(nèi)勻速注水，注滿(mǎn)為止，在注水過(guò)程中，水面高度h(cm)與注水時(shí)間t(s)之間的關(guān)系如圖②所示．　請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)圓柱形容器的高為多少？勻速注水的水流速度(單位：cm3/s)為多少？(2)若“幾何體”的下方圓柱的底面積為15cm2，求“幾何體”上方圓柱的高和底面積．解析：(1)根據(jù)圖象，分三個(gè)部分：注滿(mǎn)“幾何體”下方圓柱需18s；注滿(mǎn)“幾何體”上方圓柱需24－18＝6(s)，注滿(mǎn)“幾何體”上面的空?qǐng)A柱形容器需42－24＝18(s)．再設(shè)勻速注水的水流速度為xcm3/s，根據(jù)圓柱的體積公式列方程，再解方程；(2)由圖②知幾何體下方圓柱的高為acm，根據(jù)圓柱的體積公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“幾何體”上方圓柱的高為5cm，設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為Scm2，根據(jù)圓柱的體積公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根據(jù)函數(shù)圖象得到圓柱形容器的高為14cm，兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”的高度為11cm，水從剛滿(mǎn)過(guò)由兩個(gè)實(shí)心圓柱組成的“幾何體”到注滿(mǎn)用了42－24＝18(s)，這段高度為14－11＝3(cm)．設(shè)勻速注水的水流速度為xcm3/s，則18·x＝30×3，解得x＝5，即勻速注水的水流速度為5cm3/s；(2)由圖②知“幾何體”下方圓柱的高為acm，則a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“幾何體”上方圓柱的高為11－6＝5(cm)．設(shè)“幾何體”上方圓柱的底面積為Scm2，根據(jù)題意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“幾何體”上方圓柱的底面積為24cm2.方法總結(jié)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用：把分段函數(shù)圖象中自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，然后運(yùn)用方程的思想解決實(shí)際問(wèn)題．【類(lèi)型四】 利用一次函數(shù)解決銷(xiāo)售問(wèn)題 某社區(qū)活動(dòng)中心準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)10副某種品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)個(gè)羽毛球，供社區(qū)居民免費(fèi)借用．該社區(qū)附近A、B兩家超市都有這種品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的標(biāo)價(jià)均為30元，每個(gè)羽毛球的標(biāo)價(jià)為3元，目前兩家超市同時(shí)在做促銷(xiāo)活動(dòng)：A超市：所有商品均打九折(按標(biāo)價(jià)的90%)銷(xiāo)售；B超市：買(mǎi)一副羽毛球拍送2個(gè)羽毛球．設(shè)在A超市購(gòu)買(mǎi)羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yA(元)，在B超市購(gòu)買(mǎi)羽毛球拍和羽毛球的費(fèi)用為yB(元)．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)分別寫(xiě)出yA、yB與x之間的關(guān)系式；(2)若該活動(dòng)中心只在一家超市購(gòu)買(mǎi)，你認(rèn)為在哪家超市購(gòu)買(mǎi)更劃算？(3)若每副球拍配15個(gè)羽毛球，請(qǐng)你幫助該活動(dòng)中心設(shè)計(jì)出最省錢(qián)的購(gòu)買(mǎi)方案．解析：(1)根據(jù)購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用＝單價(jià)×數(shù)量建立關(guān)系就可以表示出yA、yB的解析式；(2)分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)yA＝yB時(shí)，當(dāng)yA＞yB時(shí)，當(dāng)yA＜yB時(shí)，分別求出購(gòu)買(mǎi)劃算的方案；(3)分兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算求出需要的費(fèi)用，再進(jìn)行比較就可以求出結(jié)論．解：(1)由題意得yA＝(10×30＋3×10x)×0.9＝27x＋270；yB＝10×30＋3(10x－20)＝30x＋240；(2)當(dāng)yA＝yB時(shí)，27x＋270＝30x＋240，得x＝10；當(dāng)yA＞yB時(shí)，27x＋270＞30x＋240，得x＜10.∵x≥2，∴2≤x＜10；當(dāng)yA＜yB時(shí)，27x＋270＜30x＋240，得x＞10；∴當(dāng)2≤x＜10時(shí)，到B超市購(gòu)買(mǎi)劃算，當(dāng)x＝10時(shí)，兩家超市一樣劃算，當(dāng)x＞10時(shí)，在A超市購(gòu)買(mǎi)劃算；(3)由題意知x＝15，15＞10，∴只在一家超市購(gòu)買(mǎi)時(shí)，選擇A超市劃算，yA＝27×15＋270＝675(元)．在兩家超市購(gòu)買(mǎi)時(shí)，先選擇B超市購(gòu)買(mǎi)10副羽毛球拍，送20個(gè)羽毛球，然后在A超市購(gòu)買(mǎi)剩下的羽毛球：(10×15－20)×3×0.9＝351(元)，共需要費(fèi)用10×30＋351＝651(元)．∵651元＜675元，∴最佳方案是先選擇B超市購(gòu)買(mǎi)10副羽毛球拍，然后在A超市購(gòu)買(mǎi)130個(gè)羽毛球．方法總結(jié)：本題考查了一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，方案設(shè)計(jì)的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．【類(lèi)型五】 利用圖表信息解決實(shí)際問(wèn)題 某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種不同的產(chǎn)品，所需原料為同一種原材料，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品所需原材料的數(shù)量和生產(chǎn)過(guò)程中投入的生產(chǎn)成本的關(guān)系如表所示：產(chǎn)　品甲乙原材料數(shù)量(噸)12生產(chǎn)成本(萬(wàn)元)42若該工廠(chǎng)生產(chǎn)甲種產(chǎn)品m噸，乙種產(chǎn)品n噸，共用原材料160噸，銷(xiāo)售甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)與銷(xiāo)售量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，全部銷(xiāo)售后獲得的總利潤(rùn)為200萬(wàn)元．(1)求m、n的值；(2)該工廠(chǎng)投入的生產(chǎn)成本是多少萬(wàn)元？解析：(1)求出甲、乙兩種產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)，然后根據(jù)兩種原材料的噸數(shù)和全部銷(xiāo)售后的總利潤(rùn)，列出關(guān)于m、n的二元一次方程組，求解即可；(2)根據(jù)“生產(chǎn)成本＝甲的成本＋乙的成本”，列式計(jì)算即可得解．解：(1)由圖可知，銷(xiāo)售甲、乙兩種產(chǎn)品每噸分別獲利6÷2＝3(萬(wàn)元)、6÷3＝2(萬(wàn)元)．根據(jù)題意可得解得(2)由(1)知，甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)20噸、70噸，所以投入的生產(chǎn)成本為20×4＋70×2＝220(萬(wàn)元)．答：該工廠(chǎng)投入的生產(chǎn)成本為220萬(wàn)元．方法總結(jié)：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)表格求出兩種產(chǎn)品每噸的利潤(rùn)，然后列出方程組是解題的關(guān)鍵．三、板書(shū)設(shè)計(jì)1．利用一次函數(shù)解決最值問(wèn)題2．利用一次函數(shù)解決有關(guān)路程問(wèn)題3．利用一次函數(shù)解決圖形面積問(wèn)題4．利用一次函數(shù)解決銷(xiāo)售問(wèn)題5．利用圖表信息解決實(shí)際問(wèn)題本節(jié)課的設(shè)計(jì)，力求體現(xiàn)新課程改革的理念，結(jié)合學(xué)生自主探究的時(shí)間，為學(xué)生營(yíng)造寬松、和諧的氛圍，讓學(xué)生學(xué)得更主動(dòng)、更輕松，力求在探索知識(shí)的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．在學(xué)生選擇解決問(wèn)題的諸多方法的過(guò)程中，不過(guò)多地干涉學(xué)生的思維，而是通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生自己去探究來(lái)選擇合適的辦法解決問(wèn)題．
  

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21.4 一次函數(shù)的應(yīng)用

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