從本節(jié)開始，我們將進一步認識一些特殊的四邊形，并探究這些四邊形的一些基本性質.
在我們的周圍存在著許多四邊形.觀察下列圖片，從中找出四邊形，并就它們的共同特性和不同特性，和大家交流你的看法.
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我們把兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形(parallelgram).連接平行四邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做平行四邊形的對角線(diagnal). 兩條對角線的交點叫做平行四邊形的中心(center).
如圖，四邊形ABCD 是平行四邊形，記作 “□ABCD ”，讀作“平行四邊形ABCD ”.線段AC， BD 為□ABCD 的兩條對角線，點O 為它的中心.
1. 定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2. 表示方法：平行四邊形用符號“? ”表示，如圖，平 行四邊形ABCD 記作“?ABCD ”， 讀作“平行四邊形 ABCD ”．3. 數(shù)學表達： ?四邊形ABCD 是平行四邊形. 即：若AB∥CD，AD∥BC，則四邊形ABCD 是平行 四邊形；若四邊形ABCD 是平行四邊形，則AB∥CD， AD∥BC.
例1 如圖，在?ABCD 中，過點P 作直線EF，GH 分別平 行于AB，BC，那么圖中共有______ 個平行四邊形．
導引： 根據(jù)平行四邊形的定義，知AB∥CD，AD∥BC，由 已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根據(jù)平行四邊 形的定義可以判定四邊形ABFE 是平行四邊形，同理 可判定四邊形EFCD、四邊形AGHD、四邊形GBCH、 四邊形AGPE、四邊形EPHD、四邊形GBFP、四邊 形PFCH 都是平行四邊形，最后還要加上?ABCD， 即共有9個平行四邊形．
平行四邊形的定義的功能：平行四邊形的定義既是平行四邊形的性質：平行四邊形的兩組對邊分別平行；又是平行四邊形判定的一種方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．對于任何一個幾何定義，都具有兩種功能，順用是判定，逆用是性質． 對于幾何計數(shù)問題，要按照一定的順序(如從小到大等)分類計數(shù)，做到不重復不遺漏．
在上面的問題中，銷售員的月工資數(shù)y (元)與他當月銷售產(chǎn)品數(shù)x (件)之間的函數(shù)關系式為: y =10x+3 000. 當銷售員的工資為4 100元時，有4100=10x+3 000.解得y =110. 要想使月工資超過4 500元，只要使此10x+3 000 >4 500即可.解得 x >150.
1 如圖，在?ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB=3.求?ABCD 的周長.
在?ABCD 中，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA.因為AC 平分∠DAB，所以∠DAC＝∠BAC.所以∠BAC＝∠BCA.所以AB＝CB.又因為AB＝3，所以AD＝DC＝BC＝AB＝3.所以?ABCD的周長為AD＋DC＋BC＋AB＝3＋3＋3＋3＝12.
如圖，?ABCD 中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，則圖中平行四邊形的個數(shù)是(　　)A．13 B．14 C．15 D．18
平行四邊形的中心對稱性
1. 如圖，在半透明的紙上畫一個?ABCD，再復制一個.將兩個圖形完全重合，用大頭針釘在中心處.使下面的圖形不動，將上面的圖形繞中心O 旋轉180°.這兩個圖形能完全重合？平行四邊形是不是中心對稱圖形？如果是中心對稱圖形，哪個點是它的對稱中心？被對角線分成的三角形中，關于點O 成中心對稱的三角形有幾對？
2. 在上面的活動過程中，你發(fā)現(xiàn)了?ABCD 的對邊AD 與CB，AB 與CD 之間具有怎樣的數(shù)量關系？對角∠BAD 與∠DCB，∠ABC 與∠CDA 之間具有怎樣的數(shù)量關系？線段OA與OC，OB與OD 之間具有怎樣的數(shù)量關系?3. 把你的發(fā)現(xiàn)寫出來，說明理由，并將結果與大家交流.
平行四邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點.
例2 下列所述圖形中，是中心對稱圖形的是( )A．直角三角形 B．平行四邊形 C．正五邊形 D．正三角形
根據(jù)中心對稱圖形的定義對各選項分析判斷即可得解．A、直角三角形不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、平行四邊形是中心對稱圖形，故本選項正確；C、正五邊形不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、正三角形不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.故選B．
本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合.
在平面直角坐標系中，已知平行四邊形ABCD 的三個頂點坐標分別是A (a，b)，B (4，－2)，C (－a，－b)，則關于點D 的說法正確的是(　　)甲：點D 在第一象限．乙：點D 與點A 關于原點對稱．丙：點D 的坐標是(－4，2)．?。狐cD 與原點距離是2 .A．甲乙 B．丙丁 C．甲丁 D．乙丙
平行四邊形的性質——對邊相等
根據(jù)定義畫一個平行四邊形，觀察它，除了“兩組對邊分別平行”外，它的邊之間還有什么關系？ 通過觀察和度量，我們猜想：平行四邊形的對邊相等；下面我們對它進行證明.
如圖，連接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC 是△ABC 和△CDA 的公共邊，∴ △ABC ≌△CDA.∴AD =CD，AB =CD.
這樣我們證明了平行四邊形具有以下性質：平行四邊形的對邊相等.
1. 邊的性質：平行四邊形對邊平行；平行四邊形對邊相等．2. 數(shù)學表達式：如圖， ∵四邊形ABCD 是平行四邊形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
例3 如圖，在?ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分線，交CD 于點M，且MC＝2，?ABCD 的周長是14，則DM 等于(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
根據(jù)BM 平分∠ABC 和AB∥CD 可以判定△BCM 是等腰三角形，從而得到BC＝MC＝2，再結合?ABCD 的周長是14得到CD 的長，進而得到DM 的長．具體過程如下：∵在?ABCD 中，AB∥CD，BM 是∠ABC 的平分線，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2.又∵?ABCD 的周長是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝3.
當題目中平行線和角平分線同時出現(xiàn)時，極有可能出現(xiàn)等腰三角形，如本題中由AB∥CD 和BM 平分∠ABC 就得到△BCM 是等腰三角形；在平行四邊形的邊的計算中，“平行四邊形相鄰兩邊之和等于平行四邊形的周長的一半”會經(jīng)常用到．
1 在? ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求? ABCD 的周長.
在?ABCD 中，因為AB＝CD，AD＝BC，AB＝3，AD＝2，所以CD＝3，BC＝2.所以?ABCD 的周長為AB＋CD＋AD＋BC＝3＋3＋2＋2＝10.
2 已知：如圖，在? ABCD 中，E 為BC 的中點，DE 與AB 的延長線相交于點F.求證：B 為AF 的中點.
在?ABCD 中，因為AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE.因為E 為BC 的中點，所以BE＝CE.在△FBE 和△DCE 中，所以△FBE ≌△DCE.所以BF＝CD.又因為AB＝CD，所以BF＝AB，即點B 為AF 的中點．
如圖，在?ABCD 中，對角線AC 的垂直平分線分別交AD，BC 于點E，F(xiàn)，連接CE，若△CED 的周長為6，則?ABCD的周長為(　　)A．6 B．12 C．18 D．24
如圖，在?ABCD中，BM 是∠ABC 的平分線，交CD 于點M，且MC＝2，?ABCD 的周長是14，則DM 等于(　　)A．1 B．2 C．3 D．4
平行四邊形的性質——對角相等
根據(jù)定義畫一個平行四邊形，觀察它，除了“兩組對邊分別平行”外，它的角之間還有什么關系？度量一下，和你的猜想一致嗎？ 通過觀察和度量，我們猜想：平行四邊形的對角相等；下面我們對它進行證明.
如圖，連接AC.∵AD//BC，AB//CD，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又AC 是△ABC 和△CDA 的公共邊，∴ △ABC ≌△CDA.∴∠B=∠D.請同學們自己證明∠BAD=∠DCB.
這樣我們證明了平行四邊形具有以下性質：平行四邊形的對角相等.
角的性質：平行四邊形對角相等；平行四邊形鄰角互補．數(shù)學表達式：如圖， ∵四邊形ABCD 是平行四邊形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.
例4 如圖，在?ABCD 中，已知∠A＋∠C＝120°，求平 行四邊形各角的度數(shù)． 由平行四邊形的對角相等， 得∠A＝∠C，結合已知條件 ∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A 和∠C 的度數(shù)； 再根據(jù)平行線的性質，進而求出∠B，∠D 的度數(shù)． 在?ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°. ∵∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°. ∴∠B＝∠D＝120°.
平行四邊形中求有關角度的基本方法是利用平行四邊形對角相等，鄰角互補的性質，并且已知一個角或已知兩鄰角的關系可求出其他三個角的度數(shù)．
在? ABCD 中，已知∠A， ∠B 的度數(shù)之比為5：4.求∠C 的度數(shù).
在?ABCD 中，因為AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°.又因為∠A∶∠B＝5∶4，所以∠A＝180°× ＝100°.所以∠C＝∠A＝100°.
2 已知一個平行四邊形，其相鄰兩角的差是40°.求平行四邊形各角的度數(shù).
3 求平行四邊形四個內角的度數(shù)和.
如圖所示，在?ABCD 中，因為AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.所以平行四邊形ABCD 的四個內角的和為2×180°＝360°.
4 如圖，在? ABCD 中， CE⊥BA，交BA 延長線于點E， ∠EAD＝46°.求∠BCE 和∠D 的度數(shù).
如圖，記AD 與CE 交于點F，在?ABCD 中，因為BA∥CD，所以∠D＝∠EAD＝46°.因為CE⊥BA，所以∠AEC＝90°.所以∠AFE＝90°－46°＝44°.又因為AD∥BC，所以∠BCE＝∠AFE＝44°.
5 如圖，在? ABCD 中，點E，F(xiàn) 在對角線BD上，且BE=DF .猜想AE 與CF 有怎樣的數(shù)量關系，并對你的猜想給與證明.
證明：在?ABCD 中，因為AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，所以△ABE ≌△CDF.所以AE＝CF.
6 已知：如圖，在? ABCD 中，E，F(xiàn) 分別是BC，AD上的點，且BE=DF.求證AE=CF.
在?ABCD 中，AB＝CD，∠B＝∠D，在△ABE 和△CDF 中，所以△ABE ≌△CDF，所以AE＝CF.
如圖，在?ABCD 中，連接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，則BC 的長是(　　)A. B．2C．2 D．4
如圖，在?ABCD 中，CE⊥AB，E 為垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE 的度數(shù)是(　　)A．80° B．50° C．40° D．30°
在?ABCD 中，∠DAB 的平分線分邊BC 為3 cm和4 cm兩部分，則?ABCD 的周長為(　　)A．20 cm　 B．22 cm　C．10 cm　 D．20 cm或22 cm
易錯點：不注意分情況討論，造成漏解
如圖，E，F(xiàn) 分別是?ABCD 的邊AD，BC 上的點，EF＝6，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD 沿EF 翻折，得到四邊形EFC′D ′，ED ′交BC 于點G，則△GEF 的周長為(　　)A．6 B．12 C．18 D．24
如圖，在?ABCD 中，∠DAB 的平分線交CD 于點E，交BC 的延長線于點G，∠ABC 的平分線交CD 于點F，交AD 的延長線于點H，AG 與BH 交于點O，連接BE，下列結論錯誤的是(　　)A．BO＝OH B．DF＝CEC．DH＝CG D．AB＝AE
已知?ABCD 中，∠A＋∠C＝200°，則∠B 的度數(shù)是(　　)A．100° B．160° C．80° D．60°
如圖，在?ABCD 中，DE＝CE，連接AE 并延長交BC 的延長線于點F.(1)求證：△ADE ≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°，求∠B 的度數(shù)．
(1)證明：∵四邊形ABCD 是平行四邊形， ∴AD∥BC.∴∠DAE＝∠F. ∵∠DEA＝∠CEF，DE＝CE， ∴△ADE ≌△FCE.(2)解：∵四邊形ABCD 是平行四邊形，∴AD＝BC. ∵△ADE ≌△CEF，∴AD＝CF. ∴CB＝CF.∴BF＝2BC. ∵AB＝2BC，∴BF＝AB. ∵∠F＝36°，∴∠FAB＝∠F＝36°. ∴∠B＝180°－2×36°＝108°.
如圖，?ABCD 中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F(xiàn) 分別是AB，CD上的點，且BE＝DF，連接EF 交BD 于O. (1)求證：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延長EF 交AD 的延長線于G，當FG＝1時，求AE 的長．
(1)∵四邊形ABCD 是平行四邊形， ∴DC∥AB，∴∠ODF＝∠OBE. 在△ODF 和△OBE 中， ∴△ODF ≌△OBE(AAS)， ∴BO＝DO.
(2) ∵EF⊥AB，AB∥DC， ∴∠GEA＝∠GFD＝90°. ∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°. ∴AE＝GE.∵BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠GDO＝90°. ∴∠GOD＝∠G＝45°.∴DG＝DO. ∴OF＝FG＝1. 由(1)可知，△ODF ≌△OBE， ∴OE＝OF＝1. ∴GE＝OE＋OF＋FG＝3.∴AE＝3.
如圖所示的是某城市部分街道示意圖，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE.甲、乙兩人同時從B 站乘車到F 站，甲乘1路車，路線是B→A→E→F，乙乘2路車，路線是B→D→C→F.假設兩車速度相同，途中耽誤時間相同，那么誰先到達F 站？請說明理由．
兩人同時到達F 站．理由如下：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四邊形ABDE 是平行四邊形．∴BA＝DE，BD＝AE，①且S△ABD＝S△ADE∵AF∥BC，EC⊥BC，∴EC⊥AF.∴EF 為△ADE 的邊AD上的高，CF 與△ABD 的邊AD上的高相等．∴S△ABD＝ AD ·CF，S△ADE＝ AD ·EF.
∵S△ABD＝S△ADE，∴CF＝EF.②∴DF 為EC 的垂直平分線，∴DC＝DE.又BA＝DE，∴DC＝BA.③由①②③得BA＋AE＋EF＝BD＋DC＋CF.又∵兩人同時出發(fā)，兩車速度相同，途中耽誤時間相同，∴兩人同時到達F 站．
如圖，將平行四邊形ABCD 沿對角線BD 進行折疊，折疊后點C 落在點F 處，DF 交AB 于點E.(1)求證：∠EDB＝∠EBD；(2)判斷AF 與BD 是否平行，并說明理由．
(1)由折疊可知： ∠CDB＝∠EDB. ∵四邊形ABCD 是平行四邊形， ∴DC∥AB，∴∠CDB＝∠EBD， ∴∠EDB＝∠EBD；
(2) AF∥BD，理由如下：∵∠EDB＝∠EBD， ∴DE＝BE，由折疊可知：DC＝DF. ∵四邊形ABCD 是平行四邊形， ∴DC＝AB，∴AB＝DF. ∴AB－BE＝DF－DE，即AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， 在△BED 中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°， 即2∠EDB＋∠DEB＝180°， 同理在△AEF 中，2∠EFA＋∠AEF＝180°， ∵∠DEB＝∠AEF， ∴∠EDB＝∠EFA，∴AF∥BD.
1. 平行四邊形的定義既可當性質用，又可當判定用．平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心是兩對角線的交點．2. 平行四邊形的邊、角的性質為證明線段的平行和相等、角的互補和相等提供了很重要的依據(jù)．注意常和全等三角形一起綜合運用．

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22.1 平行四邊形的性質

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