1.理解對頂角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念； （重點）2.掌握對頂角的性質(zhì)，并能運用該性質(zhì)進行角的計算及解決簡單實際問題.（難點）3.結(jié)合圖形識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；（重點）4.從復(fù)雜圖形分解為基本圖形的過程中，體會化繁為簡，化難為易的化歸思想.（難點）
如圖4-7，剪刀的兩個交叉腿構(gòu)成四個角，將其簡單地表示為圖4-8.
對頂角的概念：如果兩個角有一個公共頂點，并且其中一個角的兩邊是另一個角的兩邊的 ，那么這兩個角互為對頂角.圖中∠1的對頂角是______.
例1 下列各圖中，∠1與∠2是對頂角的是（ ）
提示：對頂角是由兩條相交直線構(gòu)成的；只有兩條直線相交時，才能構(gòu)成對頂角．
問題：∠1 與∠3在數(shù)量上有什么關(guān)系呢？
思考：怎樣說明∠1=∠3？
例2 如圖，已知：直線AB與CD相交于點O,試說明:∠1=∠3， ∠2=∠4.
解：因為直線AB與CD相交于O點,所以∠1+∠2=180°， ∠2+∠3=180°，所以∠1=∠3.同理可得∠2=∠4.
想一想：下圖中是對頂角量角器，你能說出用它測量角的度數(shù)的原理嗎？
解：由鄰補角的定義，得 ∠2=180°－∠1=140°；由對頂角相等，得∠3=∠1=40°，∠4= ∠2=140°.
例3 如圖,直線a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4 的度數(shù).
兩條直線相交，可以構(gòu)成四個角，若在圖中再添加一條直線，即直線EF被第三條直線CD所截，構(gòu)成了幾個角？
活動 觀察∠1與∠5的位置關(guān)系：
①在直線EF的同旁（右側(cè)）
②在直線AB、CD的同一側(cè)（上方）
∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8
圖中的同位角還有哪些？
A.(1)，(2)， (3) B.(3)，(4) C.(1)，(2) D.(2)，(3) ，(4)
練一練：下列圖形中，∠1和∠2是同位角的有（ ）
特征：在形如字母“F”的圖形中有同位角.
變形：圖中的∠1與∠2都是同位角.
活動 觀察∠3與∠5的位置關(guān)系：
②在直線AB、CD內(nèi)部
圖中的內(nèi)錯角還有哪些？
變形：圖中的∠1與∠2都是內(nèi)錯角.
特征：在形如“Z”的圖形中有內(nèi)錯角.
活動 觀察∠4與∠5的位置關(guān)系:
圖中還有哪些同旁內(nèi)角？
變形：圖中的∠1與∠2都是同旁內(nèi)角.
特征：在形如“U”的圖形中有同旁內(nèi)角.　
例4 如圖，直線EF與AB，CD相交，構(gòu)成8個角. 指出 圖中所有的對頂角、同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角.
解：對頂角有∠1和∠3，∠2和∠4， ∠5和∠7，∠6和∠8；
同位角有∠2和∠5，∠1和∠8， ∠3和∠6，∠4和∠7；
內(nèi)錯角有∠1和∠6，∠4和∠5；
同旁內(nèi)角有∠1和∠5，∠4和∠6.
例5 如圖，直線AB，CD被直線MN所截，同位角∠1 與∠2相等，那么內(nèi)錯角∠2與∠3相等嗎？
解：因為∠1=∠3（對頂角相等）， ∠1=∠2（已知）， 所以∠2=∠3 （等量代換）.
由上可知：兩條直線被第三條直線所截，如果有一對同位角相等，則內(nèi)錯角相等.
2.下列圖形中，∠1與∠2是同位角的是( )
3.如圖，下列說法中不正確的是(　　)A．∠1和∠3是同旁內(nèi)角B．∠2和∠3是內(nèi)錯角C．∠2和∠4是同位角D．∠3和∠5是對頂角
4.如圖，寫出圖中∠A所有的內(nèi)錯角： .
5.如圖，直線AB與CD相交于點O，已知∠BOD＝30°，OE是∠BOC的平分線，則∠EOA＝ .
6.如圖，直線DE截AB ，AC構(gòu)成8個角，指出所有的同位角,內(nèi)錯角,同旁內(nèi)角.
解：兩條直線是AB，AC，截線是DE，同位角：∠2與∠5，∠4與∠7，∠1與∠8, ∠6和∠3；內(nèi)錯角：∠4與∠5，∠1與∠6；同旁內(nèi)角：∠1與∠5，∠4與∠6.
7.如圖，直線AB、CD相交于點O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度數(shù)．
8.如圖，已知直線AB、CD相交于點O，∠COE＝90°.(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度數(shù)；(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度數(shù)．
解：(1)∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－36°－90°＝54°.(2)因為∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°，所以∠BOD＝30°.因為∠AOC＝∠BOD，所以∠AOC＝30°，所以∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°.
9. 觀察下列各圖，尋找對頂角（不含平角)
⑴ 如圖1，圖中共有 對對頂角；⑵ 如圖2，圖中共有 對對頂角；⑶ 如圖3，圖中共有 對對頂角；⑷ 研究⑴～⑶小題中直線條數(shù)與對頂角的對數(shù)之間的 關(guān)系，猜測：若有n條直線相交于一點，則可形成 對對頂角；⑸ 若有20條直線相交于一點，則可形成 對對頂角.
10. 如圖，直線a，b被直線c所截，找出圖中所有的對頂角、同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角. 若∠1=∠5=108°，求其他角的度數(shù).
答：∠1與∠5，∠2與∠6是同位角； ∠3與∠5是內(nèi)錯角； ∠2與∠5是同旁內(nèi)角. ∠3=∠1=108°， ∠4= 180°-∠1=180°-108°=72°； ∠2 = ∠4 = 72°； ∠6 = 180°-∠5=72°.
截線:同側(cè)被截線:同旁
截線:同側(cè)被截線:內(nèi)部
截線:兩側(cè)被截線:內(nèi)部
這三類角都是沒有公共頂點的

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初中數(shù)學(xué)湘教版（2024）七年級下冊電子課本 舊教材

4.1.2 相交直線所成的角

版本： 湘教版（2024）

年級： 七年級下冊

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