?第19講 圓（精練）
垂徑定理及其運(yùn)用

1. （2020秋?宜州區(qū)期末）下列4個(gè)說(shuō)法中：①直徑是弦；②弦是直徑；③任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸；④弧是半圓；正確的有　　
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】根據(jù)弧的分類、圓的性質(zhì)對(duì)各小題進(jìn)行逐一分析即可．
【解答】解：①直徑是最長(zhǎng)的弦，故本小題說(shuō)法正確；
②弦是不一定是直徑，故本小題說(shuō)法錯(cuò)誤；
③經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸，故本小題說(shuō)法正確；
④半圓是弧，但弧不一定是半圓，故本小題說(shuō)法錯(cuò)誤．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的認(rèn)識(shí)，熟知軸對(duì)稱的性質(zhì)以及弦的定義．注意熟記定理是關(guān)鍵．
2. （2020秋?武安市期末）如圖，是圓弦的是　　

A．線段 B．線段 C．線段 D．線段
【分析】根據(jù)弦的定義確定答案即可．
【解答】解：弦是圓上兩點(diǎn)間的的線段，圖中是弦，其他均不是，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】考查了圓的認(rèn)識(shí)，了解弦的定義是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．
3. （2021秋?盱眙縣期中）下列說(shuō)法中，不正確的是　　
A．直徑是最長(zhǎng)的弦
B．同圓中，所有的半徑都相等
C．圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形
D．長(zhǎng)度相等的弧是等弧
【分析】根據(jù)弦的定義、中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形定義、等弧定義可得答案．
【解答】解：、直徑是最長(zhǎng)的弦，說(shuō)法正確；
、同圓中，所有的半徑都相等，說(shuō)法正確；
、圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，說(shuō)法正確；
、長(zhǎng)度相等的弧是等弧，說(shuō)法錯(cuò)誤；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵是掌握能重合的弧叫等?。?br /> 4. （2020秋?揚(yáng)州期末）、是半徑為的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦求解．
【解答】解：圓中最長(zhǎng)的弦為直徑，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)，了解圓中最長(zhǎng)的弦是直徑最關(guān)鍵．
5. （2021春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，的弦交直徑于，，，若，則的長(zhǎng)為　　

A． B． C． D．
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理以及勾股定理即可求出答案．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，，
，，
由垂徑定理可知：，
，
由勾股定理可知：，
在中，
由勾股定理可知：，
，
，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理以及勾股定理，本題屬于中等題型．
6. （2021?饒平縣校級(jí)模擬）如圖，的半徑弦于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為　　

A． B．8 C． D．
【分析】根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)三角形的中位線求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．
【解答】解：連接，

為直徑，
，
，過(guò)，
，
，
，
，
，
在中，，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)垂徑定理求出是解此題的關(guān)鍵．
7. （2020秋?饒平縣校級(jí)期末）如圖，已知的半徑為5，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為　　

A．3 B．4 C． D．
【分析】連接，作于，于，根據(jù)弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系定理得到，得到矩形為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)垂徑定理和勾股定理求出，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：連接，作于，于，
則，四邊形為矩形，
，，，
，
矩形為正方形，
，
在中，，
，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．
8. （2021?黃石模擬）如圖，過(guò)點(diǎn)、，圓心在等腰直角的內(nèi)部，，，，則的半徑為　　

A． B． C．4 D．
【分析】連接并延長(zhǎng)，交于，連接，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．
【解答】解：連接并延長(zhǎng)，交于，連接，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解題的關(guān)鍵．
9. （2021?遷西縣模擬）如圖是某個(gè)球放進(jìn)盒子內(nèi)的截面圖，球的一部分露出盒子外，已知交矩形的邊于點(diǎn)，，已知，則球的半徑長(zhǎng)為　　

A． B． C． D．
【分析】由題意得與相切，記切點(diǎn)為，作直線，分別交、劣弧于點(diǎn)、，連接，易求得的長(zhǎng)，設(shè)的半徑為，則，然后在中，由勾股定理得，解此方程即可求得答案．
【解答】解：由題意得：與相切，記切點(diǎn)為，作直線，分別交、劣弧于點(diǎn)、，連接，如圖所示：
四邊形是矩形，
，
，
，
，
設(shè)的半徑為，則，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即球的半徑長(zhǎng)為，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握切線的性質(zhì)和垂徑定理以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
10. （2020秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)月考）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作，書中記載：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表述為：“如圖，為的直徑，弦于，寸，寸，求直徑的長(zhǎng)．”則的長(zhǎng)是　　

A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸
【分析】由垂徑定理得（寸，設(shè)的長(zhǎng)為寸，則寸，寸，在中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：連接，如圖所示：
，且寸，
（寸，
設(shè)的長(zhǎng)為寸，則寸，
寸，
寸，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
解得：，
（寸．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
11. （2020?黃岡模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了弓形面積的計(jì)算方法．如圖，弓形的弦長(zhǎng)為，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的中點(diǎn)之間的距離）為，則這個(gè)弓形的面積是　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】設(shè)弧所在圓的圓心為，連接、，在構(gòu)造的中，利用垂徑定理和勾股定理即可求出弧的半徑長(zhǎng)，解直角三角形求得，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)弧所在圓的圓心為，連接、、，則與的交點(diǎn)即為點(diǎn)，如圖所示：

在中，設(shè)，則，，
，
即，
解得，
，
，
，
，

弓形的面積，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，三角形的面積的計(jì)算，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
12. （2020?奉化區(qū)模擬）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧，點(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且，則這段彎路所在圓的半徑為　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意，可以推出是等邊三角形，若設(shè)半徑為，則，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．
【解答】解：連接，
點(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，
，
，
是等邊三角形，
，
設(shè)，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，，三點(diǎn)共線，
，
在中，
，
，
，
解得：，
這段彎路所在圓的半徑為，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于設(shè)出半徑為后，用表示出、的長(zhǎng)度．
13. （2021秋?寶應(yīng)縣期中）如圖，在中，弦，點(diǎn)在上移動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則的最大值為　1?。?br />
【分析】連接，如圖，利用勾股定理得到，利用垂線段最短得到當(dāng)時(shí)，最小，再求出即可．
【解答】解：連接，如圖，
，
，
，
當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最大，
而時(shí)，最小，此時(shí)、兩點(diǎn)重合，
，
即的最大值為1，
故答案為：1．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出點(diǎn)的位置是解此題的關(guān)鍵．
14. （2021?饒平縣校級(jí)模擬）如圖，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若，，則的長(zhǎng)度是　?。?br />
【分析】連接，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算，得到答案．
【解答】解：連接，
，
，
由勾股定理得，，
，
，又，
，
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是垂徑定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直徑平分弦是解題的關(guān)鍵．
15. （2021秋?海州區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心的圓過(guò)點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)的最小值為　?。?br />
【分析】易知直線過(guò)定點(diǎn)，運(yùn)用勾股定理可求出，由條件可求出半徑，由于過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的所有弦中，與垂直的弦最短，因此只需運(yùn)用垂徑定理及勾股定理就可解決問(wèn)題．
【解答】解：對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，
故直線恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)，記為點(diǎn)．
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
則有，，．
點(diǎn)，
，
．
由于過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的所有弦中，與垂直的弦最短，如圖所示，
因此運(yùn)用垂徑定理及勾股定理可得：
的最小值為．
故答案為．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，發(fā)現(xiàn)直線恒經(jīng)過(guò)點(diǎn)以及運(yùn)用“過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)的所有弦中，與垂直的弦最短”這個(gè)經(jīng)驗(yàn)是解決該選擇題的關(guān)鍵．
16. （2020秋?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為　?。?br />
【分析】作于，連接，如圖，根據(jù)垂徑定理由得到，再利用，可計(jì)算出半徑，則，接著在中根據(jù)含30度的直角三角形的性質(zhì)計(jì)算出，然后在中利用勾股定理計(jì)算出，所以．
【解答】解：作于，連接，如圖，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，，
，
．
故答案為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ硪约昂?0度的直角三角形的性質(zhì)．
17. （2020秋?依蘭縣期末）如圖，在直角三角形中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為　?。?br />
【分析】作于，根據(jù)勾股定理得到，利用三角形面積公式求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)垂徑定理計(jì)算即可．
【解答】解：作于，
則，
，，，
，
，即，
解得，，
，
則，
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，垂徑定理：垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br /> 18. （2021春?福州期中）如圖，已知直徑為5的過(guò)點(diǎn)，，與軸的正半軸交于點(diǎn)，為直徑，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的面積最大值是　　．

【分析】先判斷出，根據(jù)勾股定理得出，再判斷出得出，即是直徑時(shí)最大即可得出結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接，

，
，
是的直徑，，
是的直徑，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，要最長(zhǎng)，
則有最長(zhǎng)，而是的弦，
最大是直徑為5，
最大，
此時(shí)的面積的最大值為，
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】此題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線判斷出是解本題的關(guān)鍵．

【解題技巧】
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的?。?br /> 推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br /> （2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br /> （3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?br /> 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．
基本方法歸納：垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．
注意問(wèn)題歸納：這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．










圓周角定理及其運(yùn)用

1. （2021春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，已知是的直徑，弦，垂足為，若，，則　　

A． B． C． D．2
【分析】根據(jù)垂徑定理和含的直角三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：是的直徑，弦，，，
，，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理和含的直角三角形的性質(zhì)解答．
2. （2021?酒泉一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是　　

A． B． C． D．
【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：連接，
點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，，
，
為的直徑，
，
，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，掌握直徑所對(duì)的的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．
3. （2021?饒平縣校級(jí)模擬）如圖，是的直徑，，若，則圓周角的度數(shù)是　　

A． B． C． D．
【分析】求出，利用圓周角定理即可解決問(wèn)題．
【解答】解：，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
4. （2021?鄖西縣校級(jí)模擬）如圖，的頂點(diǎn)、、均在上，若，則的大小是　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)圓周角定理得出，求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和進(jìn)行內(nèi)角和定理求出即可．
【解答】解：根據(jù)圓周角定理得：，
，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出是解此題的關(guān)鍵．
5. （2021秋?東港區(qū)校級(jí)月考）如圖，是的直徑，點(diǎn)、在的異側(cè)，連接、、，若，且，則的度數(shù)為　　．

【分析】首先由可以得到，又由得到，由此即可求出的度數(shù)．
【解答】解：，
，
又，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡(jiǎn)單，主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，綜合利用它們即可解決問(wèn)題．
6. （2021秋?蕭山區(qū)月考）如圖，是的直徑，，，則的度數(shù)是　　．

【分析】由，可求得，繼而可求得的度數(shù)；然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理來(lái)求的度數(shù)．
【解答】解：如圖，，，
，
．
又，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
7. （2021?蓮湖區(qū)模擬）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，，，，則的長(zhǎng)為　　

A． B．1 C． D．
【分析】延長(zhǎng)、交于，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】解：延長(zhǎng)、交于，
，，
，，
在中，，
在中，，
，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
8. （2020秋?龍口市期末）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，，，．則的長(zhǎng)為　　

A． B． C．2 D．3
【分析】延長(zhǎng)、交于，根據(jù)正切、正弦的概念分別求出、，計(jì)算即可．
【解答】解：延長(zhǎng)、交于，
，，
，，
在中，，
在中，，
，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
9. （2021秋?余姚市期中）如圖，點(diǎn)、、、、都是上的點(diǎn)，，，則的度數(shù)為　　

A． B． C． D．
【分析】連接、，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理求出，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．
【解答】解：連接、，
點(diǎn)、、、都是上的點(diǎn)，
，
，
，
，
點(diǎn)、、、都是上的點(diǎn)，
，
，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
10. （2021秋?東城區(qū)校級(jí)期末）如圖，是的直徑，，是上的兩點(diǎn)．若，則的度數(shù)為 　?。?br />
【分析】首先利用直徑所對(duì)的圓周角是直角確定，然后根據(jù)求得的度數(shù)，利用同弧所對(duì)的圓周角相等確定答案即可．
【解答】解：是直徑，
，
，
，
，
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解直徑所對(duì)的圓周角為直角，難度不大．
11. （2020秋?昌平區(qū)校級(jí)期末）如圖，在中，弦，若，則　?。?br />
【分析】先利用平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)圓周角定理得到的度數(shù)．
【解答】解：，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了平行線的性質(zhì)．
12. （2021秋?泗水縣期中）如圖，為直徑，，，平分，則　?。?br />
【分析】連接，先利用勾股定理求出，再證明，設(shè)，列出方程即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖，連接．

是直徑，，，
，
，
平分，
，
，設(shè)，
，
．
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，勾股定理，圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用勾股定理解決問(wèn)題．
13. （2021秋?昌江區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，，以為直徑的交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．若，，則　?。?br />
【分析】連接，由為直徑可得，由可得點(diǎn)為中點(diǎn)，從而得出與長(zhǎng)度，再由求解．
【解答】解：連接，

為直徑，
，
，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
在中，，，

，
，
，．故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓與三角形的綜合問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，掌握解執(zhí)教三角形的方法．
14. （2021秋?泰興市期中）如圖，、、是上的點(diǎn)，且，在這個(gè)圖中，畫出下列度數(shù)的圓周角：，，，，其中僅用無(wú)刻度的直尺能畫出的圓周角有 　40或50或90　．

【分析】作直徑，連接，求出，，可得結(jié)論．
【解答】解：作直徑，連接、，如圖
，
，
為直徑，
，
；
能作出，，的圓周角，
故答案為：40或50或90．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
15. （2021秋?亭湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，點(diǎn)、、在上，，，的半徑為，則　　．

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．證明四邊形是矩形，求出，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

，，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．
16. （2021秋?溫州期中）如圖，在中，，，則的度數(shù)為 　?。?br />
【分析】連接，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角與圓心角的關(guān)系求出，進(jìn)而求解．
【解答】解：連接，，

則，，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，解題關(guān)鍵是通過(guò)添加輔助線求解．
17. （2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，是的直徑，是的弦，，的延長(zhǎng)線交于，若，，　　，　　．

【分析】連接，設(shè)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出，，再求出即可．
【解答】解：連接，

設(shè)，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
即，，
故答案為：，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能得出關(guān)于的方程是解此題的關(guān)鍵．
18. （2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)，在半圓上，若，則的度數(shù)為 　?。?br />
【分析】根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
19. （2021?尋烏縣模擬）如圖，四邊形內(nèi)接于，連接、，若，，則　40?。?br />
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)圓周角定理求出即可．
【解答】解：、、、四點(diǎn)共圓，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：40．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理是解此題的關(guān)鍵．
20. （2021?徐州）如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上，若，則　32　．

【分析】根據(jù)圓周角定理得到，，然后利用互余計(jì)算的度數(shù)．
【解答】解：是的直徑，
，
，
．
故答案為32．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
21. （2021?彭澤縣模擬）如圖，，，則　?。?br />
【分析】如圖，以為圓心，為半徑作，延長(zhǎng)交于，連接．證明，解直角三角形求出即可．
【解答】解：如圖，以為圓心，為半徑作，延長(zhǎng)交于，連接．

，
點(diǎn)是的外接圓的圓心，
，，
，
是直徑，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造圓解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
22. （2021?宿遷）如圖，在中，，，點(diǎn)、在上，邊、分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則　　．

【分析】由，可得是的直徑，由點(diǎn)是的中點(diǎn)以及三角形的內(nèi)角和，可得，利用三角形的內(nèi)角和求出，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出，由圓周角定理可得得出答案．
【解答】解：如圖，連接，
，
是的直徑，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
在中，，，
，
，
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，弦、弧、圓心角之間的關(guān)系以及三角形內(nèi)角和定理，掌握?qǐng)A周角定理和推論是正確計(jì)算的前提．
23. （2021?安鄉(xiāng)縣二模）如圖，為的直徑，、是上兩點(diǎn)，，與交于點(diǎn)．，則　　．

【分析】在中，求出即可解決問(wèn)題．
【解答】解：是直徑，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
24. （2021?海陵區(qū)一模）如圖，、、、是上四點(diǎn)，為的中點(diǎn)，如果，則的度數(shù)為 　25　．

【分析】根據(jù)等弧對(duì)等角確定，然后利用等弧所對(duì)的圓周角相等．
【解答】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
故答案為：25．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系、圓周角定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系定理和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
25. （2021?安徽二模）如圖，劣弧與的度數(shù)之差為，弦與交于點(diǎn)，，求的度數(shù)　?。?br />
【分析】根據(jù)圓周角定理，可得：；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得；聯(lián)立兩式可求得的度數(shù)．
【解答】解：由題意，弧與弧的度數(shù)之差為，
兩弧所對(duì)圓心角相差，
，
①；
是的外角，
②；
①②，得：，即．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理，屬于中考常考題型．
26. （2021?西城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)、、在上，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，．若，則的大小為　40?。?br />
【分析】利用平行線的性質(zhì)求出，再利用圓周角定理求出，利用平行線的性質(zhì)可得，再證明可得結(jié)論．
【解答】解：，
，
，
，
是直徑，
，
，
故答案為：40．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
27. （2020秋?新昌縣期末）如圖，是半圓的直徑，以弦（非直徑）為對(duì)稱軸將弧折疊，點(diǎn)是折疊后的弧與的交點(diǎn)，若，，則　?。?br />
【分析】如圖，連接，，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于．利用勾股定理求出，，可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，連接，，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于．

是直徑，
，，
由對(duì)稱的性質(zhì)可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．
28. （2021?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形中，，，，則　?。?br />
【分析】過(guò)點(diǎn)作于．分別求出，，可得結(jié)論．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于．

，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
29. （2021?泰興市模擬）如圖，的半徑為，四邊形內(nèi)接于，，，則的值為　10　．

【分析】作直徑，連接，．證明，設(shè)，，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．
【解答】解：作直徑，連接，．

是直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可以假設(shè)，，
，
，
或（舍棄），
，，
，，故答案為10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題．
【解題技巧】
①弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等．
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．
基本方法歸納：正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．
注意問(wèn)題歸納：這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．
②圓周角定理
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．
推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等．
推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
基本方法歸納：在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．
注意問(wèn)題歸納：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”---圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．







點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1. （2020?廣東）有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，，點(diǎn)，分別在射線，上，長(zhǎng)度始終保持不變，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離分別為4和2．在此滑動(dòng)過(guò)程中，貓與老鼠的距離的最小值為　?。?br />
【分析】如圖，連接，．求出，，根據(jù)求解即可．
【解答】解：如圖，連接，．

由題意，
，，，，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，2為半徑的弧，
當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，的值最小，
的最小值為．（也可以用，即確定最小值）故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
2. （2019秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙片上，使點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在半圓上，邊、分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)、、對(duì)應(yīng)的讀數(shù)分別為、、，則　24?。?br />
【分析】連接．可得，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【解答】解：連接．
可得，，，
．故答案為：24．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，得到和的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．

【解題技巧】
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則有：
d＜r 點(diǎn)P在⊙O內(nèi)；
d=r 點(diǎn)P在⊙O上；
d＞r 點(diǎn)P在⊙O外．
基本方法歸納：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
注意問(wèn)題歸納：符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．



切線的判定及其性質(zhì)

1. （2021?郴州）如圖，是的內(nèi)接三角形，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：直線與相切；
（2）若的直徑是10，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，如圖，先利用垂徑定理得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)切線的判定方法得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)圓周角定理得到，則，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，則可判斷為等腰直角三角形，于是可求出，然后計(jì)算即可．
【解答】（1）證明：連接，如圖，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
直線與相切；
（2）解：是的直徑，
，
，
，
，
，
而，
為等腰直角三角形，
，
．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)與判定：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)．
2. （2021?東營(yíng)）如圖，以等邊三角形的邊為直徑畫圓，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，且．
（1）求證：是的切線；
（2）求線段的長(zhǎng)度．

【分析】（1）連接，根據(jù)等邊三角形及圓性質(zhì)求出，再由，推出求出，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）由，，可求得，，的長(zhǎng)度，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理即可求得的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接，

是等邊三角形，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
，
是的切線；
（2）解：，，
是的中位線，
，，
，

，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
線段的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定方法，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)點(diǎn)，能夠求得半徑與直線的垂直是證明切線的關(guān)鍵，能夠靈活應(yīng)用“銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”是解決線段長(zhǎng)度的關(guān)鍵．
3. 如圖，已知內(nèi)接于，是的直徑，的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑和的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得，根據(jù)角平分線的定義和同圓的半徑相等，等邊對(duì)等角及等量代換可得，根據(jù)切線的判定定理可得結(jié)論；
（2）如圖，設(shè)的半徑為，則，根據(jù)勾股定理列方程可得的值，證明，列比例式，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列方程可得的值，證明，列比例式可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接，

是的直徑，
，
即，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）解：如圖，設(shè)的半徑為，則，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
的半徑為15；

，，
，
，
設(shè)，則，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定，平行線分線段成比例定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，掌握切線的判定定理是解（1）題的關(guān)鍵，證明，確定和的關(guān)系是解（2）題的關(guān)鍵．
4. 如圖，是的外接圓，是的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，，且．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)切線的判定，連接，證明出即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內(nèi)角和以及等腰三角形的性質(zhì)可得答案；
（2）由，根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義和勾股定理可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出答案．
【解答】解：（1）連接，
是的直徑，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切線；
（2），，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
，
，
設(shè)，則，，
又，
即，
解得（取正值），
．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的性質(zhì)是正確解答的前提．
5. 如圖，是直徑，弦，垂足為點(diǎn)．弦交于點(diǎn)，點(diǎn)在延長(zhǎng)線上，且．
（1）求證：為切線；
（2）若，，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，由，，得到，即可證明；
（2）連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由，，求得的長(zhǎng)度，繼而利用三角函數(shù)求得，，求出，，再利用，即可求出的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接，如圖，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半徑，
為切線；

（2）解：連接，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，如圖，

是直徑，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
在中，，，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，即，
解得：，
的長(zhǎng)為5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定方法，利用等角之間的轉(zhuǎn)化，能夠求得半徑與直線的垂直是證明切線的關(guān)鍵，能夠靈活應(yīng)用三角函數(shù)和三角形相似是解決線段長(zhǎng)度的關(guān)鍵．
6. （2021?湖北）如圖，為直徑，為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，平分．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求和的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，只要證明即可，利用角平分線，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形兩銳角互余可得結(jié)論；
（2）連接交于，先證明四邊形是矩形，利用矩形的性質(zhì)、垂徑定理勾股定理得到的三邊長(zhǎng)，再利用即可求得的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接，

平分．
，
又，
，
，
又，
，
，
，
即，
是的切線；
（2）解：連接交于點(diǎn)，

為直徑，
，
，
，，
，
四邊形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定方法，如何利用垂徑定理、勾股定理求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)點(diǎn)，能夠求證四邊形是矩形是解決本題的關(guān)鍵．
7. （2021?本溪）如圖，在中，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，以為直徑作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，證明即可；
（2）連接，根據(jù)已知條件求出的直徑，在中，求出，，在中，求出，根據(jù)，求出，進(jìn)而得到，根據(jù)相似三角形的判定證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出．
【解答】證明：（1）連接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；

（2）解：連接，
，，
，
，
，
是的直徑，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
是的切線，
，
，，
，
，
，
，
，
．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，把化為直角三角形，靈活應(yīng)用三角函數(shù)的定義解決問(wèn)題．
8. （2021?衢州）如圖，在中，，與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）求證：是的切線．
（2）若，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，利用與相切于點(diǎn)，可得；通過(guò)說(shuō)明得到，結(jié)論得證；
（2）利用，可得，于是，得到，將已知條件代入可得，利用勾股定理在中可求．
【解答】解：（1）證明：連接，如圖，

，
．
，
．
與相切于點(diǎn)，
．
．
．
在和中，
，
．
．
是的切線．
（2）由（1）得：，
，
．
．
，
，，
，
．
．
在中，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)．連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類問(wèn)題常添加的輔助線，也是解題的關(guān)鍵．
9. （2021?濟(jì)寧）如圖，點(diǎn)在以為直徑的上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的半徑．

【分析】（1）由為直徑，可得，又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，可得，從而．由得，又，，所以，又，得．又，從而可得，即．則可證為切線；
（2）由（1）可得，從而，可證明，從而得比例，解得，最后由勾股定理可求半徑．
【解答】解：（1）證明：為直徑，
，
又為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
故，，
．
，
，
又，，
，
又，
．
，
，
．
又為半徑，
故是的切線．
（2），
由（1）得，
又，
．
，，
．
，即，
．
．
故的半徑為．

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于主要考查了圓周角定理，三角形中位線性質(zhì)定理，等腰三角形性質(zhì)，圓切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．
10. （2021?懷化）如圖，在半徑為的中，是的直徑，是過(guò)上一點(diǎn)的直線，且于點(diǎn)，平分，是的中點(diǎn)，．
（1）求證：是的切線；
（2）求的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，由平分，，可得，，根據(jù)，即可證明是的切線；
（2）由是的中位線，得，再證明，得，即，從而可得．
【解答】（1）證明：連接，如圖：

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的切線；
（2）是的中點(diǎn)，且，
是的中位線，，
，
，
是的直徑，
，
又，
，
，即，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線及圓中的計(jì)算，涉及圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用圓的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化圓中的角和線段．
11. （2021?南充）如圖，，是上兩點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所在直線交于點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）證明即可；
（2）求弦長(zhǎng)，根據(jù)垂徑定理先求出弦長(zhǎng)的一半即可．連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)中位線定理得，所以，求出，根據(jù)勾股定理求出，乘2即可求出．
【解答】（1）證明：，
是等邊三角形．
．
，
，
，
，
．
．
，
點(diǎn)在上，
是的切線；
（2）解：如圖，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
，．
點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
，．
，．
．
．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，三角形中位線定理，垂徑定理，屬于中檔題，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
12. （2020?貴港）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，且，是的外接圓，是的直徑．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求直徑的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，根據(jù)圓周角定理得到，得到，于是得到結(jié)論；
（2）作，垂足為點(diǎn)，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出的長(zhǎng)，證明，得出，則可求出答案．
【解答】（1）證明：連接，如圖1，

，，
，，
，
，
是的直徑，
，
，
，
即，
，
直線是的切線；
（2）解：如圖2，作，垂足為點(diǎn)，

，
，
，
，
，
即，
又，，
，
在中，，
，
，，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
13. （2020?蘭州）如圖，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為半徑作．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)切線的判定定理即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求得，然后根據(jù)三角形面積公式即可求得．
【解答】（1）證明：，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
為的半徑，
是的切線；
（2）是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形面積等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
14. （2020?河池）如圖，是的直徑，，，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2），交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）由垂徑定理可得，，由平行線的性質(zhì)可得，可證是的切線；
（2）由勾股定理可求的長(zhǎng)，由面積法可求的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求的長(zhǎng)，由平行線分線段成比例可求解．
【解答】證明：（1）連接，交于，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，是半徑，
，，
，
，
又是半徑，
是的切線；
（2）是的直徑，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，平行線分線段成比例等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．
15. （2020?寧夏）如圖，在中，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)，連接，且平分．
（1）求證：是的切線；
（2）連接，若，求．

【分析】（1）連接，證明，得，即可得出結(jié)論；
（2）連接，先證明，得出，易證，由角平分線定義得，由此可得的值，即可得出結(jié)果．
【解答】（1）證明：連接，如圖1所示：
平分，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
即，
為的半徑，
是的切線；
（2）解：連接，如圖2所示：
是的直徑，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
．


【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線定義、切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)；結(jié)合題意靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
16. （2020?邵陽(yáng)）如圖，在等腰中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為直徑的過(guò)點(diǎn)，連接，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的半徑．

【分析】（1）連接，由圓的性質(zhì)可得，即；再由，即，再結(jié)合，可得，然后由說(shuō)明即可完成證明；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖：連接，
，
，
，
，
，
，
，
是直徑，
，
，
是的切線；

（2）解：由（1）可知是的切線，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
的半徑為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線的判定，證得是解答本題的關(guān)鍵．
17. （2020?湘西州）如圖，是的直徑，是的切線，交于點(diǎn)．
（1）若為的中點(diǎn)，證明：是的切線；
（2）若，，求的半徑的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，，由是的直徑，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，等量代換得到，于是得到結(jié)論；
（2）證明，列比例式可得的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：連接，，

是的直徑，且在上，
，
，
為的中點(diǎn)，
，
，
是的切線，
，
，
，
，
即，
是的切線；
（2）解：，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
即的半徑的長(zhǎng)是4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
18. （2020?濰坊）如圖，為的直徑，射線交于點(diǎn)，點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求陰影部分的面積．

【分析】（1）連接，證明，連接，證明即可得到結(jié)論；
（2）連接，求出扇形的面積即可得到陰影部分的面積．
【解答】解：（1）連接，，
是的直徑，
，即，
，
，
連接，
點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，
，
，
，
是的半徑，
是的切線；
（2）連接，，
，，
，
點(diǎn)為劣弧的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
陰影部分的面積，
，
，
，
即陰影部分的面積為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定以及扇形面積的求法，熟練掌握切線的判定定理以及扇形面積的求法是解答此題的關(guān)鍵．
19. （2020?營(yíng)口）如圖，中，，為的角平分線，以點(diǎn)為圓心，為半徑作與線段交于點(diǎn)．
（1）求證：為的切線；
（2）若，，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）過(guò)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)的半徑為，則，在解直角三角形即可得到結(jié)論．
【解答】 （1）證明：過(guò)作于，
，
，
為的角平分線，，
，
即為的半徑，
，
為的切線；
（2）解：設(shè)的半徑為，則，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
20. （2020?青海）如圖，已知是的直徑，直線與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：是的切線．
（2）若，直徑，求線段的長(zhǎng)．

【分析】（1）連接，要證明為圓的切線，只要證明即可；
（2）連接，根據(jù)已知求得再根據(jù)相似比即可求得的值．
【解答】（1）證明：連接，如圖所示：
，
．
，
，．
．
，，
．
．
是圓的切線且為半徑，
．
．
．
又經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)，
為圓的切線．

（2）解：連接，
是直徑，
．
在直角中，，
，且，
．
，即．
．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，常見(jiàn)的輔助線有：
①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；
②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．
21. （2020?鹽城）如圖，是的外接圓，是的直徑，．
（1）求證：是的切線；
（2）若，垂足為，交于點(diǎn)，求證：是等腰三角形．

【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，求得，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)已知條件得到，得到，推出，于是得到結(jié)論．
【解答】證明：（1）連接，
，
，
是的直徑，
，
，
，
，
，
是的切線；
（2），，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
22. （2020?張家界）如圖，在中，，以為直徑作，過(guò)點(diǎn)作直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，使．
（1）求證：為的切線；
（2）若平分，且分別交，于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．

【分析】（1）如圖，連接，欲證明是的切線，只需求得；
（2）由角平分線及三角形外角性質(zhì)可得，即，根據(jù)勾股定理可求得的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：在中，，為直徑作，
點(diǎn)在上，
如圖，連接，
為的直徑，
，即，
又，
，
，
，即，
是圓的半徑，
是的切線；
（2）解：平分，
，又，
，即，
，，，．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查切線的判定方法、角平分線及三角形外角性質(zhì)和勾股定理，熟練進(jìn)行推理論證是解題關(guān)鍵．
23. （2020?福建）如圖，與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，是上不與，重合的點(diǎn)，．
（1）求的大??；
（2）若的半徑為3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且，求證：與相切．

【分析】（1）連接，由切線求出的度數(shù)，再由三角函數(shù)求出，由三角形的外角性質(zhì)求得，最后由圓周角與圓心角的關(guān)系求得結(jié)果；
（2）連接，，證明，得，便可得結(jié)論．
【解答】解：（1）連接，如圖1，
與相切于點(diǎn)，
，，，，；


（2）證明：連接，，如圖2，
是切線，，，，
，，，，
在和中，
，
，，與相切．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)與判定，解直角三角形，圓周角定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，第（2）題關(guān)鍵是證明三角形全等．

【解題技巧】
1．判斷直線與圓相切時(shí)：(1)直線與圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，連半徑證垂直；(2)直線與圓的公共點(diǎn)未知時(shí)，過(guò)圓心作直線的垂線證垂線段等于半徑．
2．利用切線的性質(zhì)解決問(wèn)題，通常連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角三角形來(lái)解決．
3.由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直．








正多邊形與圓

1. （2021?永嘉縣校級(jí)模擬）如圖，在正五邊形中，連接，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓弧交于點(diǎn)，連接．則的度數(shù)是　　

A． B． C． D．
【分析】證明四邊形是菱形，推出可得結(jié)論．
【解答】解：五邊形是正五邊形，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是菱形，
，，，故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷四邊形是平行四邊形．
2. （2020秋?海勃灣區(qū)期末）如圖，正八邊形中，大小為　　

A． B． C． D．
【分析】連接、、，易知四邊形為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：連接、、，如圖所示：
則四邊形為正方形，，故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
3. （2021?酒泉一模）我們定義：圓內(nèi)接正邊形的最短對(duì)角線與最長(zhǎng)對(duì)角線的比值稱為這個(gè)正多邊形的“特征值”，記為．則是 　　．
【分析】如圖，正六邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，連接．易知是正六邊形最長(zhǎng)的對(duì)角線，是正六邊形的最短的對(duì)角線，只要證明是直角三角形即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖，正六邊形中，對(duì)角線、交于點(diǎn)，連接．

易知是正六邊形最長(zhǎng)的對(duì)角線，是正六邊形的最短的對(duì)角線，
是等邊三角形，
，
，，，
，，
是直角三角形，，，，故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問(wèn)題．
4. （2021?梧州）如圖，正六邊形的周長(zhǎng)是，連接這個(gè)六邊形的各邊中點(diǎn)，，，，，，則六邊形的周長(zhǎng)是 　?。?br />
【分析】設(shè)正六邊形的中心為，連接，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)正六邊形的中心為，
連接，，
正六邊形的周長(zhǎng)是，
，，
順次連接正六邊形各邊的中點(diǎn)、、、、、得到的六邊形為正六邊形，
，六邊形的周長(zhǎng)是，故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．

【解題技巧】
1.圓內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。
2.牢記圓的有關(guān)計(jì)算公式，并靈活處理好公式之間的轉(zhuǎn)換，當(dāng)出現(xiàn)求不規(guī)則圖形的面積時(shí)，注意利用割補(bǔ)法與等面積變換轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．
內(nèi)切圓的有關(guān)概念：
與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．




與圓有關(guān)的計(jì)算

1. （2021秋?南崗區(qū)校級(jí)期末）扇形半徑為5，圓心角為，則其弧長(zhǎng)為 　　．
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：扇形半徑為5，圓心角為，
弧長(zhǎng)為，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)公式的計(jì)算，能熟記弧長(zhǎng)公式是解此題的關(guān)鍵．
2. （2021秋?余杭區(qū)月考）如圖，四邊形內(nèi)接于半徑為18的，若，則的長(zhǎng)度為 　　．

【分析】如圖，連接，．利用圓周角定理求出，再利用弧長(zhǎng)公式求解．
【解答】解：如圖，連接，．

，
又，
的長(zhǎng)度，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查弧長(zhǎng)公式，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住弧長(zhǎng)公式．
3. （2021?福建模擬）如圖，小明用一個(gè)半徑為，面積為的扇形紙板，制作一個(gè)圓錐形的玩具帽，則帽子的底面半徑　　．

【分析】圓錐的側(cè)面積底面周長(zhǎng)母線長(zhǎng)，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【解答】解：由扇形的面積公式得，扇形面積，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算，利用了扇形的面積公式求解，牢記公式是解答本題的關(guān)鍵．
4. （2021?黔東南州）如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無(wú)底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，側(cè)面積為，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是 　150　度．

【分析】根據(jù)扇形面積公式求出圓錐的母線長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．
【解答】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，扇形的圓心角為，
圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，
圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)為，
由題意得：，
解得：，
則，
解得，，即扇形的圓心角為，
故答案為：150．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來(lái)的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
5. （2021?邗江區(qū)二模）如圖，已知圓錐底面半徑是，母線長(zhǎng)是．如果是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到點(diǎn)，則這根繩子的最短長(zhǎng)度是 　18　．

【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖弧長(zhǎng)與其底面周長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系，求出側(cè)面展開圖中的度數(shù)，從而求出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出以及的長(zhǎng)即可．
【解答】解：設(shè)，
底面圓的周長(zhǎng)等于：，
解得：；
連接，過(guò)作于，
則．
，
，
，
，
即這根繩子的最短長(zhǎng)度是18．
故答案為：18．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓錐的計(jì)算；得到圓錐的底面圓的周長(zhǎng)和扇形弧長(zhǎng)相等是解決本題的突破點(diǎn)．
6. （2021?建鄴區(qū)一模）若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑為2，其側(cè)面展開圖是半圓，則此圓錐的側(cè)面積是　?。?br /> 【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)底面周長(zhǎng)，可求得圓錐的底面周長(zhǎng)以及圓錐母線長(zhǎng)，那么圓錐的側(cè)面積底面周長(zhǎng)母線長(zhǎng)．
【解答】解：底面半徑為2，則底面周長(zhǎng)，側(cè)面展開圖是半圓，則母線長(zhǎng)，
圓錐的側(cè)面積．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題利用了圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解．牢記圓錐與扇形各個(gè)元素之間的關(guān)系是解決此類題目的關(guān)鍵．

【解題技巧】
弧長(zhǎng)公式
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式為
注意問(wèn)題歸納：①在弧長(zhǎng)的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．
②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長(zhǎng)．
③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長(zhǎng)用π表示．
④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長(zhǎng)三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長(zhǎng)不一定相等，弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．
扇形面積
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
扇形面積公式：
注意問(wèn)題歸納：其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長(zhǎng)．
圓錐的側(cè)面積
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：
圓錐的側(cè)面積：，其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的地面半徑．
注意問(wèn)題歸納：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．
②圓錐的底面周長(zhǎng)與展開后所得扇形的弧長(zhǎng)相等．
陰影部分面積
基本方法歸納：求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．
注意問(wèn)題歸納：求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．







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