?第17講 解直角三角形（精練）
銳角三角函數(shù)的計(jì)算

1. （2020秋?濟(jì)南期末）如圖，在中，，，，　?。?br />
【分析】先利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)正弦的定義求解．
【解答】解：，，，
，
．
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：熟練掌握正弦、余弦和正切的定義是解決此類它們的關(guān)鍵．
2. （2021?海淀區(qū)校級(jí)模擬）如圖，中，，于點(diǎn)，若，則　?。?br />
【分析】根據(jù)同角的余角相等，可得，再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．
【解答】解：中，，，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】考查了銳角三角函數(shù)的定義，本題關(guān)鍵是得到．
3. （2020秋?西城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，，，，則的值是 　?。?br />
【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：由勾股定理得，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的前提．
4. （2020秋?拱墅區(qū)校級(jí)月考）在中，，，則的值為 　?。?br /> 【分析】根據(jù)勾股定理，可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦等于對邊比斜邊，可得答案．
【解答】解：設(shè)，，由勾股定理，得
，
由三角函數(shù)的正弦等于對邊比斜邊，得
．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
5. （2019秋?昌平區(qū)校級(jí)期末）在直角三角形中，，，，則　　．
【分析】利用勾股定理求出，再根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：在直角三角形中，，，，
，
，
故答案為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
6. （2020?肥城市四模）如圖，在直角坐標(biāo)系中放入矩形紙片．將紙片翻折后，點(diǎn)恰好落在軸上，記為，折痕為，已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是　?。?br />
【分析】根據(jù)，設(shè)，則，由勾股定理得，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，可知，由折疊的性質(zhì)可證△，由相似三角形對應(yīng)邊的比相等求，，在△中，利用勾股定理求即可確定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：在△中，根據(jù)，
設(shè)，則，
由勾股定理，
根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，
，
由折疊的性質(zhì)可證△，
，即，
，，
在△中，由勾股定理得
，即，
解得，
，，
．
故本題答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)值的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，折疊的性質(zhì)．關(guān)鍵是利用勾股定理列方程求解．
7. （2019秋?錦江區(qū)校級(jí)期中）在中，，斜邊長為5，，則的值為　?。?br /> 【分析】根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式，先求出、的值，再計(jì)算的值．
【解答】解：在中，，
，，
，即，
．


．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)、勾股定理、三角形的面積公式、及異分母分式的加減，把轉(zhuǎn)化為三角形三邊間關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．
8. （2019?順慶區(qū)校級(jí)自主招生）直角三角形中，且，則　?。?br /> 【分析】根據(jù)正切的定義得到，，根據(jù)題意列出方程，解方程得到，根據(jù)等腰直角三角形的概念解答．
【解答】解：在直角三角形中，，
則，，
，
整理得，，
，
解得，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角的對邊與鄰邊的比叫做的正切是解題的關(guān)鍵．
9. （2021秋?普寧市期末）計(jì)算：tan30°?sin60°﹣cos245°＝　0?。?br /> 【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案．
【解答】解：原式＝×﹣（）2
＝﹣
＝0．
故答案為：0．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
10. （2017春?霍林郭勒市校級(jí)月考）　?。?br /> 【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值、非零的零次冪，可得答案．
【解答】解：原式，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值、非零的零次冪是解題關(guān)鍵．
11. （2020秋?李滄區(qū)期末）計(jì)算：　2?。?br /> 【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可．
【解答】解：


，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確熟練地掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
12. （2021秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）在銳角中，若，則等于 　?。?br /> 【分析】根據(jù)平方的非負(fù)性，絕對值的非負(fù)性求出，值，然后求出，的度數(shù)即可．
【解答】解：由題意得：，，
，，
，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的非負(fù)性，偶次方的非負(fù)性，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
13. （2020秋?青島期末）計(jì)算　2?。?br /> 【分析】先利用特殊角的三角函數(shù)值得到原式，然后進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算．
【解答】解：原式

．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：熟記特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．
14. （2020秋?拱墅區(qū)校級(jí)期末）　1?。?br /> 【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入原式，計(jì)算即可．
【解答】解：原式

，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
15. （2020秋?嶗山區(qū)期末）　?。?br /> 【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算得出答案．
【解答】解：原式

．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．
16. （2020秋?青羊區(qū)期末）計(jì)算：　?。?br /> 【分析】把的正弦值、的余弦值代入原式，計(jì)算即可．
【解答】解：

，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
17. （2020秋?普寧市期末）計(jì)算：　?。?br /> 【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案．
【解答】解：原式

．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．

【解題技巧】
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b

正弦：sinA＝＝ 余弦：cosA＝＝
余切：tanA＝＝
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



基本方法歸納：結(jié)合圖形記憶特殊三角函數(shù)值．
注意問題歸納：區(qū)分三種銳角三角函數(shù)特殊值之間的異同處．













解直角三角形

1. （2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)月考）如圖，是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，線段與軸正半軸的夾角為，若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意首先求出的長，再利用勾股定理得到的值，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

，，
，
，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系以及勾股定理，得出的長是解題關(guān)鍵．
2. （2021秋?淮陰區(qū)月考）在中，，若，，則的長為　　
A．6 B． C． D．
【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義就可以解決．
【解答】解：，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
3. （2021秋?天長市月考）如圖，在中，，是邊上的高，則下列選項(xiàng)中不能表示的是　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意可推出、、均為直角三角形，再在三個(gè)直角三角形中分別表示出即可．
【解答】解：在中，，是邊上的高，
、、均為直角三角形，
又，，
，
在中，，故可以表示；
在中，，故可以表示；
在中，，故可以表示；
不能表示；
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形相關(guān)知識(shí)，熟練掌握銳角三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
4. （2021秋?禪城區(qū)校級(jí)期中）如圖，，下列線段比值等于的是　　


A． B． C． D．
【分析】先根據(jù)互余關(guān)系，求出與相等的角，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．
【解答】解：，
．
在中，
，
在中，
，
在中，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
5. （2021秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)，連接，則與軸正方向所夾銳角的正弦值是　　

A． B． C． D．
【分析】如圖作軸于，利用勾股定理求出，根據(jù)正弦定義計(jì)算即可．
【解答】解：作軸于，如右圖．
，
，，
，
．
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是記住銳角三角函數(shù)定義．
6. （2021秋?玉田縣期中）如圖，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列用線段比表示的值，正確的是　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)正弦值等于對邊與斜邊的比，可得結(jié)論．
【解答】解：在中，
；
在中，
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考 查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
7. （2021秋?碑林區(qū)校級(jí)期中）已知中，，，，則　　
A． B． C． D．
【分析】先根據(jù)直角三角形的三邊長判斷出三角形的形狀，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：中，，，，，
是直角三角形，．
．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定定理及銳角三角函數(shù)的定義，由勾股定理得到直角三角形是解題關(guān)鍵．
8. （2021春?淮南月考）如圖，在中，，，延長到，使，則　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，設(shè)，求出，，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：在中，，，
，
，
，
設(shè)，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形、等腰直角三角形，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出是解此題的關(guān)鍵．



【解題技巧】
基礎(chǔ)知識(shí)歸納：解直角三角形的常用關(guān)系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，則：
（1）三邊關(guān)系：a2＋b2＝c2；
（2）兩銳角關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；
（3）邊與角關(guān)系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；
（4）sin2A＋cos2A＝1
基本方法歸納：解這類問題的關(guān)鍵是以邊角關(guān)系和勾股定理為主．
注意問題歸納：靈活運(yùn)用以上關(guān)系解題時(shí)要綜合思考．




















解直角三角形的應(yīng)用

1. （2021秋?江干區(qū)校級(jí)月考）如圖，從山下乘纜車上山，纜繩與水平方向成的夾角，已知纜車速度為每分鐘50米，從山腳下到山頂需16分鐘，則山的高度為　　

A． B． C． D．
【分析】先計(jì)算的長，再利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出．
【解答】解：（米．
，

．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
2. （2021秋?鹽湖區(qū)校級(jí)月考）如圖1，是我們經(jīng)?？吹降囊环N折疊桌子，它是由下面的支架、與桌面構(gòu)成，如圖2，已知，，則點(diǎn)到地面所在的平面）的距離是　　

A． B． C． D．
【分析】連接，過作于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，根據(jù)直角三角函數(shù)求出的長，進(jìn)而得出的長．
【解答】解：如圖，連接，過作于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，

，，
，
，
，
即點(diǎn)到地面所在的平面）的距離是．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
3. （2021?溫州模擬）工人師傅將截面為矩形的木條鋸成矩形和矩形兩部分如圖所示，，，在一條直線上，，，，則點(diǎn)到的距離等于　　

A． B． C． D．
【分析】過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，則，再用的正切值和余弦值表示出和的長，可得答案．
【解答】解：過點(diǎn)作的延長線于點(diǎn)，

，，
，
，，
，
，
，
，
，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，此題難度不大．
4. （2021?南寧一模）如圖，，兩地隔河相望，原來從地到地需要經(jīng)過橋，沿折線到達(dá)地，現(xiàn)在（與橋平行）上建了新橋，可沿從地直達(dá)地．已知．橋，，．則的長是　　

A． B． C． D．
【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中分別求出，即可．
【解答】解：過點(diǎn)、作，，垂足為、，
在中，，，
，，
在中，，，
，
，
故選：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提，構(gòu)造直角三角形是正確解答的關(guān)鍵．
5. （2021秋?朝陽區(qū)校級(jí)月考）如圖，沿的方向開山修路，為了加快速度，要在小山的另一邊同時(shí)施工，從上取一點(diǎn)，取，已知米，，，點(diǎn)、、在同一直線上，那么開挖點(diǎn)離點(diǎn)的距離是　　

A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，然后判斷出是直角三角形，再根據(jù)余弦定理列出算式，求出點(diǎn)離點(diǎn)的距離即可．
【解答】解：，
，
是直角三角形，
米，，
開挖點(diǎn)離點(diǎn)的距離米．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，用到的知識(shí)點(diǎn)是鄰補(bǔ)角的定義和余弦定理，判斷出是直角三角形是解題的關(guān)鍵．
6. （2021?松北區(qū)二模）如圖，為了測量河兩岸、兩點(diǎn)間的距離，只需在與垂直方向的點(diǎn)處測得垂線段米，若，那么等于　　

A．米 B．米 C．米 D．米
【分析】根據(jù)題意和圖形，可知，從而可以用和表示出，本題得以解決．
【解答】解：，
，
米，，
，
（米，
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確銳角三角函數(shù)的含義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
7. （2021?天橋區(qū)一模）如圖1是一個(gè)手機(jī)的支架，由底座、連桿和托架組成（連桿、、始終在同一平面內(nèi)），垂直于底座且長度為，的長度為，的長度可以伸縮調(diào)整．如圖2，保持不變，轉(zhuǎn)動(dòng)，使得，假如時(shí)為最佳視線狀態(tài)，則此時(shí)的長度為（參考數(shù)據(jù)：．　　

A． B． C． D．
【分析】作于點(diǎn)，于點(diǎn)，解直角三角形求出、即可解決問題．
【解答】解：作于點(diǎn)，于點(diǎn)，如圖3，

，，
，
，
，
，
，，
，
，
的長度為．
故選：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．
8. （2021秋?肇源縣期中）某人沿著坡度的山坡起點(diǎn)向上走了50米，則他離地面 　25　米高．（坡度：坡面鉛直高度與水平寬度的比）
【分析】由坡度的定義設(shè)坡面的豎直高度為米，則水平距離為米，再由勾股定理即可解答本題．
【解答】解：設(shè)坡面的豎直高度為米，則水平距離為米，
由勾股定理得：，
解得：或（不合題意舍去），
即坡面的豎直高度為25米，
故答案為：25．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題、勾股定理，掌握坡度的含義，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．

9. （2021?天心區(qū)一模）釣魚島是中國固有領(lǐng)土，2021年4月26日，國家自然資源部發(fā)布了釣魚島地形地貌調(diào)查報(bào)告，釣魚島中央山脊呈東西走向，北坡稍緩，南坡陡峭，已知主峰高華峰北坡坡度，海平面上的水平距離約為615米，則主峰高華峰的高度約為　362　米．（精確到1米）

【分析】根據(jù)坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比列式計(jì)算即可．
【解答】解：坡度，
，
米，
（米，
故答案為：362．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度和水平寬度的比是解題的關(guān)鍵．
10. （2021?海州區(qū)一模）如圖，旗桿的后面有一建筑物，當(dāng)光線與地面的夾角是時(shí)，旗桿在建筑物的墻上留下高的影子，而當(dāng)光線與地面夾角是時(shí)，旗桿頂端在地面上的影子與墻角有的距離，，在一條直線上）．則旗桿的高度為　　．（結(jié)果保留根號(hào)）

【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，在兩個(gè)直角三角形中設(shè)未知數(shù)列方程求解即可．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作，垂足為，則，
設(shè)旗桿，則，
，
，
在中，
，
即，
，
故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
11. （2021秋?海曙區(qū)校級(jí)月考）如圖，小明家附近有一觀光塔，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)光線角度變化時(shí)，觀光塔的影子在地面上的長度也發(fā)生變化．經(jīng)測量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)小明站在點(diǎn)處時(shí)，塔頂?shù)难鼋菫?，他往前再?米到達(dá)點(diǎn)（點(diǎn)，，在同一直線上），塔頂?shù)难鼋菫?，則觀光塔的高度約為 　8.6米　．（精確到0.1米，參考數(shù)值：，

【分析】由銳角三角函數(shù)定義得，設(shè)米，則米，米，再由銳角三角函數(shù)定義得，解得即可．
【解答】解：由題意可知，米，，，，
，
，
設(shè)米，則米，米，
在中，，
解得：，
（米，
即觀光塔的高度約為8.6米，
故答案為：8.6米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解題的關(guān)鍵．
12. （2021?開江縣模擬）我校興趣小組同學(xué)為測量校外的一棟電梯高層的樓高，從校前廣場的處測得該座建筑物頂點(diǎn)的仰角為，沿著向上走到米處的點(diǎn)．再測得頂點(diǎn)的仰角為，已知的坡度：，、、、在同一平面內(nèi)，則高樓的高度為 　60米?。▍⒖紨?shù)據(jù)；，，

【分析】作交的延長線于，根據(jù)坡度的概念分別求出、，根據(jù)正切的定義求出．
【解答】解：作交的延長線于，
設(shè)米，
的坡度：，
米，
由勾股定理得，，即，
解得，（負(fù)值舍去），
則米，米，
設(shè)米，則米，
米，
，
，
，
在中，，
則，
解得，，
高樓的高度為60米，
故答案為：60米．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、坡度坡角問題，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
13. （2021春?沙河口區(qū)期末）如圖，從一艘船上測得海岸上高為42米的燈塔頂部的仰角，求船離燈塔的水平距離的長度是 　71　米（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果取整數(shù)）．

【分析】由含角的直角三角形的性質(zhì)得（米，再由勾股定理即可求解．
【解答】解：由題意得：，，米，
（米，
（米，
故答案為：71．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)，由勾股定理求出是解題的關(guān)鍵．
14. （2021?赤峰）某滑雪場用無人機(jī)測量雪道長度．如圖，通過無人機(jī)的鏡頭測一段水平雪道一端處的俯角為，另一端處的俯角為，若無人機(jī)鏡頭處的高度為238米，點(diǎn)，，在同一直線上，則雪道的長度為 　438　米．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)，，

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)正切的定義求出，結(jié)合圖形計(jì)算即可．
【解答】解：由題意得，，，
在中，，
米，
在中，，
則米，
則米，
答：兩點(diǎn)間的距離約為438米．
故答案為：438．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
15. （2021?黃石）如圖，直立于地面上的電線桿，在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是、，測得米，米，，在處測得電線桿頂端的仰角為，則電線桿的高度約為 　10.5　米．
（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù)）

【分析】延長交的延長線于，作于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出、的長，根據(jù)等腰三角形，得到的長，由得到結(jié)果．
【解答】解：延長交的延長線于，作于，
，
，又米，
米，（米，
由題意得，
米
米，
（米，
故答案為10.5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
16. （2021?湖北）如圖，某活動(dòng)小組利用無人機(jī)航拍校園，已知無人機(jī)的飛行速度為，從處沿水平方向飛行至處需．同時(shí)在地面處分別測得處的仰角為，處的仰角為，則這架無人機(jī)的飛行高度大約是 　20　，結(jié)果保留整數(shù)）．

【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作垂直于過點(diǎn)的水平線，垂足為，如圖，利用仰角定義得到，，利用速度公式計(jì)算出，先計(jì)算出，再利用正切的定義計(jì)算出，由于，則，然后在中利用得到，最后進(jìn)行近似計(jì)算即可．
【解答】解：過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作垂直于過點(diǎn)的水平線，垂足為，如圖，
根據(jù)題意得，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
答：這架無人機(jī)的飛行高度大約是．
故答案為20．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題：根據(jù)題意畫出幾何圖形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決．
17. （2021?武漢模擬）如圖，從飛機(jī)看一棟樓頂部的仰角為，看這棟樓底部的俯角為，飛機(jī)與樓的水平距離為，這棟樓的高度是 　554　，結(jié)果取整數(shù)）．

【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，在兩個(gè)直角三角形中，利用特殊銳角的三角函數(shù)求解即可．
【解答】解：過點(diǎn)作，垂足為，
根據(jù)題意有，，，
在中，
，，
，
在中，
，，
，
，
故答案為：554．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．
18. （2021?開福區(qū)校級(jí)二模）為了測量教學(xué)樓的高度，某同學(xué)先在點(diǎn)處用測角儀測得樓頂?shù)难鼋菫?，再沿方向前?0米到達(dá)點(diǎn)處，在點(diǎn)處測得樓頂?shù)难鼋菫?，已知測角儀的高為1.5米，則此樓的高為 　56.1　米．（結(jié)果精確到0.1米，，，

【分析】在兩個(gè)直角三角形中，利用特殊銳角的三角函數(shù)設(shè)未知數(shù)列方程求解即可．
【解答】解：在中，
，
，
在中，
，
，
設(shè)，則，
解得（米
（米，
故答案為：56.1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
19. （2021?羅湖區(qū)模擬）如圖，小王在山坡上處，用高1.5米的測角儀測得對面鐵塔頂端的仰角為，平行于地面，若米，米，山坡的坡度，坡長米，則鐵塔的高度約　12.6　米．（精確到個(gè)位，參考數(shù)據(jù)：，，

【分析】如圖，過點(diǎn)、分別作的垂線，垂足分別為、，得矩形，可得，，過點(diǎn)作延長線的垂線，垂足為，得矩形，根據(jù)的坡度，，可得，，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出的長，即可求出的高度．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)、分別作的垂線，垂足分別為、，得矩形，
米，米，
過點(diǎn)作延長線的垂線，垂足為，
得矩形，

的坡度，米，
米，米，
（米，米，
（米，
在中，，
，
（米．
答：鐵塔的高度約是12.6米．
故答案為12.6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題、坡度坡角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義和坡度坡角定義．
20. （2020秋?富川縣期末）如圖，一艘游輪從點(diǎn)出發(fā)，與望海樓的距離為90海里，在望海樓測得游輪位于處的南偏西方向，游輪沿正北方向行駛一段時(shí)間后到達(dá)處，此時(shí)望海樓海務(wù)接到消息，游輪上攜帶有危險(xiǎn)物品，必須馬上出警攔截．這時(shí)在望海樓測得處位于的南偏西的方向，游輪正以每小時(shí)20海里的速度沿正北方向行駛，求望海樓處的海務(wù)船至少要以怎樣的速度最近距離攔截下游輪？取1.73，結(jié)果保留整數(shù)）．

【分析】過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，解直角三角形求出，再求出的長，即可解決問題．
【解答】解：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，
由題意知：海里，，，
在中，，，
（海里），
在中，，
即，
（海里），
（海里小時(shí)）．
答：望海樓處的海務(wù)船至少要以每小時(shí)35海里的速度最近距離攔截下游輪．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
21. （2020秋?東坡區(qū)期末）知識(shí)改變世界，科技改變生活，中國北斗導(dǎo)航已經(jīng)全球組網(wǎng)，走近人們的日常生活．如圖，某校組織學(xué)生乘車到玉屏山（用表示）開展研學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，車到達(dá)地后，發(fā)現(xiàn)地恰好在地的正南方向，且距離地26千米，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿東南方向行駛至地，再沿南偏西方向行駛一段距離才能到達(dá)地，求、兩地的距離．

【分析】過作于點(diǎn)，設(shè)千米，證是等腰直角三角形，則千米，再求出（千米），然后由題意得，解得：，即可解決問題．
【解答】解：如圖，過作于點(diǎn)，
則，，，
設(shè)千米，
在中，，
是等腰直角三角形，
千米，
在中，（千米），
，
，
解得：，
，
千米，
即兩地的距離為千米．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
22. （2021秋?韓城市期末）某地有一座大橋（圖1），某初中數(shù)學(xué)興趣小組想測量該大橋的外拱塔的最高點(diǎn)D距離橋面的高度CD，他們在橋面上選取了一個(gè)測量點(diǎn)A測得點(diǎn)D的仰角為26.6°，然后他們沿AC方向移動(dòng)40m到達(dá)測量點(diǎn)B（即AB＝40m），在B點(diǎn)測得點(diǎn)D的仰角為37°，如圖2所示．求外拱塔的最高點(diǎn)D距離橋面的高度CD．【參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50】

【分析】設(shè)DC＝xm，根據(jù)正切的定義分別用x表示出AC、BC，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：設(shè)DC＝xm，
在Rt△ADC中，∠DAC＝26.6°，tan∠DAC＝，
則AC＝≈＝2x，
在Rt△DCB中，∠DBC＝37°，tan∠DBC＝，
則BC＝≈＝x，
由題意得：2x﹣x＝40，
解得：x＝60，
答：外拱塔的最高點(diǎn)D距離橋面的高度CD約為60m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
23. （2021秋?農(nóng)安縣期末）如圖，小明為了測量學(xué)校旗桿CD的高度，在地面離旗桿底部C處22米的A處放置高度為1.8米的測角儀AB，測得旗桿頂端D的仰角為32°．求旗桿的高度CD．（結(jié)果精確到0.1米）【參考數(shù)據(jù)：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，tan32°＝0.62】

【分析】根據(jù)正切的定義求出DE，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．
【解答】解：由題意得：CE＝AB＝1.8米，BE＝AC＝22米，
在Rt△DBE中，∠DBE＝32°，
則DE＝BE?tan∠DBE≈22×0.62＝13.64（米），
∴CD＝DE+EC＝13.64+1.8≈15.4（米），
答：旗桿的高度CD約為15.4米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
24. （2021秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，某小組同學(xué)為了測量對面樓的高度，分工合作，有的組員測得兩樓間距離為50米，有的組員在教室窗戶處測得樓頂端的仰角為，底端的俯角為，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出樓的高度．（精確到0.1米）
（參考數(shù)據(jù)：，，，，

【分析】根據(jù)正切的定義分別求出、，計(jì)算即可．
【解答】解：在中，米，，
則（米，
在中，米，，
則（米，
（米，
答：樓的高度約為37.8米．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
25. （2021秋?寧波期中）校內(nèi)數(shù)學(xué)興趣小組組織了一次測量探究活動(dòng)．如圖，大樓的頂部豎有一塊廣告牌，小明與同學(xué)們在山坡的坡腳處測得廣告牌底部的仰角為，沿坡面向上走到處測得廣告牌頂部的仰角為，已知山坡的坡度，米，米．（測角器的高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，，
（1）求點(diǎn)距水平地面的高度；
（2）求廣告牌的高度．

【分析】（1）根據(jù)坡度的意義，求出，再利用直角三角形的邊角關(guān)系求出答案；
（2）在中求出，進(jìn)而求出，即，再在中，得出，在中由邊角關(guān)系求出，最終求出，取近似值得出答案．
【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)作，，垂足分別為、，

由題意可知，，，，米，米，
，
，
（米，
即點(diǎn)距水平地面的高度為6米；
（2）在中，
（米，
（米，
米，
，
米，
米，
在中，，米，
（米，



（米
答：廣告牌的高約8.4米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提，理解坡度的意義是解決問題的關(guān)鍵．
26. （2021秋?碑林區(qū)校級(jí)月考）小明想利用所學(xué)知識(shí)測量一公園門前熱氣球直徑的大小，如圖，當(dāng)熱氣球升到某一位置時(shí)，小明點(diǎn)處測得熱氣球底部點(diǎn)，中部點(diǎn)的仰角分別為和，已知點(diǎn)為熱氣球中心，，，，點(diǎn)在上，，且點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，根據(jù)以上提供的倍息，求熱氣球的直徑約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：，，，（結(jié)果精確到

【分析】過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)正切的定義求出，，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于．
在中，，
在中，，
設(shè)熱氣球的直徑為米，
則，
解得：．
答：熱氣球的直徑約為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
27. （2021秋?大荔縣校級(jí)期中）如圖所示，某水庫大壩的橫斷面是四邊形，，壩頂寬米，壩高米，背水坡的坡度是，迎水坡的坡度是，求壩底寬．

【分析】根據(jù)坡度的概念分別求出、，計(jì)算即可．
【解答】解：坡的坡度是，米，
（米，
坡的坡度是，米，
米，
，，，
四邊形為矩形，
米，
（米，
答：壩底寬的長為12.5米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
28. （2021秋?鯉城區(qū)校級(jí)期中）汽車盲區(qū)是指駕駛員位于駕駛座位置，其視線被車體遮擋而不能直接觀察到的區(qū)域．如圖，、分別為汽車兩側(cè)盲區(qū)的示意圖，已知視線與地面的夾角，視線與地面的夾角，點(diǎn)，分別為，與車窗底部的交點(diǎn)，，，垂直地面，點(diǎn)到點(diǎn)的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，

（1）求盲區(qū)中的長度；
（2）點(diǎn)在上，，在處有一個(gè)高度為的物體，駕駛員能觀察到物體嗎？請說明．
【分析】（1）首先證明四邊形是矩形，求出，即可解決問題；
（2）直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出點(diǎn)處盲區(qū)最小高度，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：（1），，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是矩形，
，
在中，，，，
，
，
在中，，
，
，
答：盲區(qū)中的長度為；
（2）駕駛員能觀察到物體，理由如下：
如圖所示：過點(diǎn)作，交于，則，

，，
，，
，
，
，即，
解得：，
，
在處有一個(gè)高度為的物體，駕駛員能觀察到物體．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．
29. （2021秋?巨野縣期中）如圖所示，某攔水大壩的橫斷面為梯形，、為梯形的高，其中迎水坡的坡角，坡長米，背水坡的
坡度，求背水坡的坡長為多少米．

【分析】直接利用坡度的定義得出，進(jìn)而得出的長．
【解答】解：，，，
，，
四邊形是矩形，
，
在中，
，米，，
米，
，
在中，，
，
，
（米，
答：背水坡的坡長為12米．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用——坡度坡角問題，正確得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
30. （2021?河南模擬）如圖，是土坡左側(cè)的一個(gè)斜坡，坡度為，村委會(huì)在坡底處建另一個(gè)高為3米的平臺(tái)，并將斜坡改為，坡比，求土坡的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，．

【分析】過點(diǎn)作于，根據(jù)坡度的概念得到，根據(jù)正切的定義列方程，解方程得到答案．
【解答】解：過點(diǎn)作于，
設(shè)米，
，，
四邊形為矩形，
米，，
斜坡的坡比，
米，
米，
在中，，即，
解得：，
則（米，
答：土坡的高度約為10.0米．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
31. （2021?黔東南州一模）某地的一座人行天橋如圖所示，天橋的高為6米，坡面的坡度為，文化墻在天橋底部正前方8米的長）處，為了方便行人推車過天橋，有關(guān)部門決定降低坡度，使新坡面的坡度為（參考數(shù)據(jù)：，．
（1）若新坡面坡角為，求坡角的度數(shù)；
（2）有關(guān)部門決定，文化墻距天橋底部小于3米時(shí)應(yīng)拆除，天橋改造后，該文化墻是否需要拆除？請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)坡度的概念、坡角的正切計(jì)算即可；
（2）作于點(diǎn)，根據(jù)坡度的概念分別求出、，計(jì)算即可．
【解答】解：（1）新坡面坡角為，新坡面的坡度為，
，
；
（2）該文化墻不需要拆除，
理由如下：作于點(diǎn)，則米，
新坡面的坡度為，
，
解得：（米，
坡面的坡度為，米，
米，
米，
米，
米米，
該文化墻不需要拆除．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
32. （2021?碑林區(qū)校級(jí)模擬）西安進(jìn)行老舊小區(qū)改造，為方便老年人通行，計(jì)劃將某小區(qū)一段斜坡進(jìn)行改造，如圖所示，斜坡長為10米，坡角，改造后坡角降為．求斜坡新起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，

【分析】根據(jù)余弦的定義求出，根據(jù)正弦的定義求出，根據(jù)正切的定義求出，計(jì)算即可．
【解答】解：在中，，米，，，
（米，（米，
在中，，，
（米，
（米，
答：斜坡新起點(diǎn)與原起點(diǎn)的距離約為10.9米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

【解題技巧】
1．仰角和俯角：
仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角
俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角
2．坡度和坡角
坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i＝________
坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i＝tanα
坡度越大，α角越大，坡面________
3．方向角（或方位角）
指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角

基本方法歸納：解這類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用銳角三角函數(shù)解題．
注意問題歸納：所構(gòu)造的直角三角形與已知條件或圖形關(guān)系要密切．






相關(guān)試卷

2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題20幾何變換(同步練習(xí)卷）（通用版）：

這是一份2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題20幾何變換(同步練習(xí)卷）（通用版），文件包含專題20幾何變換精練通用版-老師版docx、專題20幾何變換精練通用版-學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共37頁， 歡迎下載使用。

2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題19圓(同步練習(xí)卷）（通用版）：

這是一份2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題19圓(同步練習(xí)卷）（通用版），文件包含專題19圓精練通用版-老師版docx、專題19圓精練通用版-學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共114頁， 歡迎下載使用。

2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題05 分式方程(同步練習(xí)卷）（通用版）：

這是一份2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題05 分式方程(同步練習(xí)卷）（通用版），文件包含專題05分式方程精練通用版-老師版docx、專題05分式方程精練通用版-學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共43頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題03 整式及因式分解(同步練習(xí)卷）（通用版）

2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題03 整式及因式分解(同步練習(xí)卷）（通用版）
2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題04 分式(同步練習(xí)卷）（通用版）

2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題04 分式(同步練習(xí)卷）（通用版）
2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題01 實(shí)數(shù)(同步練習(xí)卷）（通用版）

2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題01 實(shí)數(shù)(同步練習(xí)卷）（通用版）
(通用版)中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題檢測16《解直角三角形》(原卷版)

(通用版)中考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)專題檢測16《解直角三角形》(原卷版)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部