2023中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題18平行四邊形與特殊平行四邊形(同步練習(xí)卷）（通用版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第18講平行四邊形與特殊平行四邊形（精練）
多邊形及其相關(guān)計算

1. （2021?濟(jì)寧）如圖，正五邊形中，的度數(shù)為　　

A． B． C． D．
【分析】首先可根據(jù)五邊形內(nèi)角和公式求出每個內(nèi)角的度數(shù)，然后求出和，即可求出．
【解答】解：根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可得，
正五邊形的內(nèi)角和，
則，
根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，，
，
，
故選：．
【點評】本題考查多邊形內(nèi)角和公式，熟記正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2. （2021?株洲）如圖所示，在正六邊形內(nèi)，以為邊作正五邊形，則　　

A． B． C． D．
【分析】分別求出正六邊形，正五邊形的內(nèi)角可得結(jié)論．
【解答】解：在正六邊形內(nèi)，正五邊形中，，，
，
故選：．
【點評】本題考查正多邊形與圓，解題的關(guān)鍵是求出正多邊形的內(nèi)角，屬于中考?？碱}型．
3. （2021?揚州）如圖，點、、、、在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則　　

A． B． C． D．
【分析】連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，再利用四邊形內(nèi)角和減去和的和，即可得到結(jié)果．
【解答】解：連接，

，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形．
4. （2020?廣安）如圖，在五邊形中，若去掉一個的角后得到一個六邊形，則的度數(shù)為　　

A． B． C． D．
【分析】解法一：根據(jù)多變的內(nèi)角和定理可求解，，進(jìn)而可求解．
解法二：利用三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義也可求解．
【解答】解：解法一：
，，
，
，
，
解法二：在中，，

故選：．
【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和外角，掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
5. （2021秋?上思縣期中）如圖，把三角形沿著折疊后，點落在四邊形的內(nèi)部，若，則等于　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平角定義和折疊的性質(zhì)，得，再利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得．
【解答】解：根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì)得，
，
又，
．
故選：．
【點評】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，平角的定義、折疊的性質(zhì)，綜合運用各定理是解答此題的關(guān)鍵．
6. （2021秋?襄城縣期中）如圖，八邊形是正八邊形，若，則的值為　　

A． B． C． D．
【分析】過點作直線，結(jié)合可得，由平行線的性質(zhì)可得，，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可求得，進(jìn)而可求解．
【解答】解：過點作直線，

，
，
，
，
多邊形為正八邊形，
，
即，
，
．
故選：．
【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角，平行線的性質(zhì)，求解是解題的關(guān)鍵．
7. （2021秋?西峰區(qū)期末）若一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，則這個多邊形的邊數(shù)是　8　．
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和的公式和多邊形的外角和公式，解方程即可求出的值
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，則根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角和公式可得方程

解得
故答案為8．
【點評】本題考查的是多邊形的內(nèi)角和，利用內(nèi)角和公式進(jìn)行列方程解決是本題的關(guān)鍵．
8. （2020春?濱湖區(qū)期中）如圖，，是的兩條高，它們相交于點，已知的度數(shù)為，的度數(shù)為，則的度數(shù)是　?。?br />
【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：，
，，
，
，

故填．

【點評】主要考查了三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是這一隱含的條件，同時考查了四邊形內(nèi)角和定理．垂直和直角總是聯(lián)系在一起．
9. （2021秋?天山區(qū)校級期中）小聰一筆畫成了如圖所示的圖形，則的度數(shù)為　540　．

【分析】連接，則，則圖中所求的幾個角的和是五邊形的內(nèi)角和．
【解答】解：連接．
在與中，，
，
在五邊形中

．
故答案為：．

【點評】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理把求角的和的問題轉(zhuǎn)化為求多邊形的內(nèi)角和的問題．
10. （2021秋?千山區(qū)期中）如圖，在由等邊三角形、正方形和正五邊形組合而成的圖形中，，則的度數(shù)為　?。?br />
【分析】利用減去等邊三角形的一個內(nèi)角的度數(shù)，減去正方形的一個內(nèi)角的度數(shù)，減去正五邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，然后減去即可求得．
【解答】解：等邊三角形的內(nèi)角的度數(shù)是，正方形的內(nèi)角度數(shù)是，
正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)是：，
則．
故答案為：．
【點評】本題考查了多邊形的外角和定理，正確理解題目中的數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵．
11. （2021秋?上城區(qū)校級期中）如果一個正邊形的每個內(nèi)角是，則　15．　．
【分析】先求出每個外角的度數(shù)，根據(jù)多邊形外角和定理列出方程，求出邊數(shù)即可．
【解答】解：由題意得，，

故答案為：15．
【點評】本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角的計算，掌握多邊形外角和為是解題的關(guān)鍵．
12. （2021秋?黃埔區(qū)校級期中）若一個多邊形每一個內(nèi)角都是與它相鄰的外角的4倍，則此多邊形的邊數(shù)為　十?。?br /> 【分析】一個內(nèi)角是一個外角的4倍，內(nèi)角與相鄰的外角互補，因而外角是36度，內(nèi)角是144度．根據(jù)任何多邊形的外角和都是360度，利用360除以外角的度數(shù)就可以求出外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．
【解答】解：每一個外角的度數(shù)是度，
，
則多邊形是十邊形．
故答案為：十．
【點評】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角．根據(jù)外角和的大小與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，由外角和求正多邊形的邊數(shù)，是常見的題目，需要熟練掌握．
13. （2021秋?浠水縣期中）如圖，
　　
．

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，，再根據(jù)和四邊形內(nèi)角和等于，即可得出答案．
【解答】解：如圖，
，，
．
．
故答案為：360．

【點評】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和等于是解決本題的關(guān)鍵．．
14. （2020春?百色期末）現(xiàn)有①正三角形、②正方形、③正五邊形三種形狀的地磚，只選取其中一種地磚鑲嵌地面，不能進(jìn)行地面鑲嵌的有　③?。ㄌ钚蛱枺?br /> 【分析】由鑲嵌的條件知，判斷一種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看正多邊形的內(nèi)角度數(shù)是否能整除，能整除的可以平面鑲嵌，反之則不能．
【解答】解：①正三角形的每個內(nèi)角是，能整除，6個能組成鑲嵌；
②正方形的每個內(nèi)角是，4個能組成鑲嵌；
③正五邊形每個內(nèi)角是，不能整除，不能鑲嵌．
故若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，不能進(jìn)行地面鑲嵌的有③．故答案為：③．
【點評】此題主要考查了平面鑲嵌，用一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個內(nèi)角度數(shù)能整除．任意多邊形能進(jìn)行鑲嵌，說明它的內(nèi)角和應(yīng)能整除．

【解題技巧】
（1）多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180 （n≥3）且n為整數(shù)）
此公式推導(dǎo)的基本方法是從n邊形的一個頂點出發(fā)引出（n﹣3）條對角線，將n邊形分割為（n﹣2）個三角形，這（n﹣2）個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和．除此方法之和還有其他幾種方法，但這些方法的基本思想是一樣的．即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的方法．
（2）多邊形的外角和等于360度．
①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則n邊形取n個外角，無論邊數(shù)是幾，其外角和永遠(yuǎn)為360°．
②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論：外角和＝180°n﹣（n﹣2）?180°＝360°．

平行四邊形的判定

1. （2021春?遵義期末）在四邊形中，連接對角線，已知，現(xiàn)增加一個條件，不能判斷該四邊形是平行四邊形的是　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理和全等三角形的判定與性質(zhì)分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：、，，四邊形是平行四邊形，不符合題意；
、，，四邊形是平行四邊形，不符合題意；
、，，不能判定四邊形是平行四邊形，符合題意；
、，，，四邊形是平行四邊形，不符合題意；
故選：．
【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定定理．
2. （2021春?靈山縣期末）如圖，在四邊形中，，添加下列一個條件后，定能判定四邊形是平行四邊形的是　　

A． B． C． D．
【分析】利用平行線的判定與性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定得出即可．
【解答】解：如圖所示：，
，
當(dāng)時，則，
故，
則四邊形是平行四邊形．
故選：．

【點評】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定，得出是解題關(guān)鍵．
3. （2021春?涼州區(qū)期末）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點，下列條件中不能判定四邊形是平行四邊形的是　　

A．， B．， C．， D．，
【分析】由平行四邊形的判定定理對邊對各個選項進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：、，，
四邊形是平行四邊形，故選項不符合題意；
、，，
四邊形是平行四邊形，故選項不符合題意；
、，，
四邊形是平行四邊形，故選項不符合題意；
、由，，不能判定四邊形是平行四邊形，故選項符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定定理，熟記平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
4. （2021春?嵩縣期末）不能判定四邊形為平行四邊形的題設(shè)是　　

A．， B．，
C．， D．，
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理：（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，（2）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，（4）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，（5）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行分析即可．
【解答】解：．，，
四邊形為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）；
故本選項能判定四邊形為平行四邊形．
．，，
四邊形為平行四邊形（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）；
故本選項能判定四邊形為平行四邊形；
．，，
四邊形為平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；
故本選項能判定四邊形為平行四邊形；
．，不能判定四邊形為平行四邊形，
故此選項符合題意；
故選：．
【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定，熟練掌握并運用平行四邊形的判定定理是解題關(guān)鍵．
5. （2021春?洪山區(qū)期中）在下列給出的條件中，能判定四邊形為平行四邊形的是　　
A．，B．，C．， D．，
【分析】平行四邊形的判定：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．根據(jù)判定定理逐項判定即可．
【解答】解：如圖示，
，
，
，
，
，
四邊形為平行四邊形，
根據(jù)平行四邊形的判定定理可知：只有符合條件．
故選：．

【點評】此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的判定的掌握情況．本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．平行四邊形的五種判定方法與平行四邊形的性質(zhì)相呼應(yīng)，每種方法都對應(yīng)著一種性質(zhì)，在應(yīng)用時應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．
6. （2020秋?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在四邊形中，，，點、均在線段上，若，求證：．

【分析】連接交于，先證四邊形是平行四邊形，得，，再證，得四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：連接交于，如圖所示：
，，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
即，
又，
四邊形是平行四邊形，
．

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
7. （2021春?碑林區(qū)校級月考）已知，如圖，是平行四邊形的對角線，，，垂足分別為，，連接，，求證四邊形是平行四邊形．

【分析】先證，再證，得，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
【點評】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
8. （2021秋?沈北新區(qū)校級月考）如圖，點是的邊上的定點，點是邊上的動點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且點的對應(yīng)點恰好落在邊上，連結(jié)．當(dāng)時．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若，，求的長．

【分析】（1）證出，得到，，即可得出結(jié)論；
（2）過點作，由勾股定理得，設(shè)，則，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】（1）證明：，
，
，
繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
，，，
，，
，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：如圖，過點作，垂足為，

，，
，
在中，由勾股定理得：，
設(shè)，則，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的長為．
【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定等知識，正確作出輔助線，利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．
9. （2021?尋烏縣模擬）如圖，在中，，以為直徑的圓分別交，于點，，過點作交圓于點，連接．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）連接，若，求的長．

【分析】（1）連接，由等腰三角形的性質(zhì)證出，，則可得出結(jié)論；
（2）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出答案．
【解答】（1）證明：連接，

為直徑，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
四邊形為平行四邊形；
（2）解：四邊形為圓內(nèi)接四邊形，
，
又，
，
，
，
，
，
．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．
10. （2021春?陽信縣期末）如圖，在四邊形中，，分別是，的中點，，分別是對角線，的中點，依次連接，，，，連接，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）當(dāng)時，與有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．

【分析】（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形的四邊相等，即可證得；
（2）根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：四邊形中，、、、分別是、、、的中點，
，．，．
，，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：當(dāng)時，，
理由：由（1）知四邊形是平行四邊形，
當(dāng)時，，
四邊形是菱形，
．
【點評】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，平行四邊形和菱形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半和菱形的對角線互相垂直是解題的關(guān)鍵．
11. （2021春?莊河市期末）如圖，在中，點為中點，連接交的延長線于點，連接、．求證：四邊形為平行四邊形．

【分析】根據(jù)證明與全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定解答即可．
【解答】證明：點為中點，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，，
在與中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形．
【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)證明與全等．
12. （2021春?丹東期末）如圖，在中，連接，過點作，垂足為，交于點，過點作，垂足為點，交于點．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）已知，，求的長．

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，再證，即可得出結(jié)論；
（2）證，得，再由勾股定理即可求解．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：四邊形是平行四邊形，
，
，
由（1）可知：四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
13. （2021春?西崗區(qū)期末）如圖，將平行四邊形的對角線向兩個方向延長，分別至點、，且使，求證：四邊形是平行四邊形．

【分析】由四邊形是平行四邊形易知，，再證得，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：連接，與交于點．如圖所示：
四邊形是平行四邊形，
，，
又，
，
即．
四邊形是平行四邊形．

【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．
14. （2021春?眉山期末）如圖，在中，，，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）求四邊形的面積．

【分析】（1）證，得，再證，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)條件可證得，再由三角形面積公式可求得答案．
【解答】（1）證明：是的中點，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的中點，
，
，
四邊形是平行四邊形，
（2）解：是的中點，
．
【點評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握平行四邊形的判定方法，證明是解題的關(guān)鍵．
15. （2021春?木蘭縣期末）如圖，已知在中，線段分別交、、于點、、，且，連接、．
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）求證：．

【分析】（1）證明，得，即可解決問題；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，，，，則，再由即可得出．
【解答】證明：（1）四邊形是平行四邊形，
，
，
在和中，
，
，
，
四邊形是平行四邊形；
（2）四邊形是平行四邊形，
，，
由（1）得：四邊形為平行四邊形，
，，
，
即，
在和中，
，
．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．
16. （2021春?東陽市期末）如圖，平行四邊形的對角線交于點，以，為鄰邊作平行四邊形，交于點，連結(jié)．
（1）求證：四邊形是平行四邊形．
（2）若，，求平行四邊形的周長．

【分析】（1）由平行四邊形得，由平行四邊形得，，進(jìn)而證明，，即可得出結(jié)論；
（2）先證明平行四邊形是菱形，再證明平行四邊形是矩形，求得，即可求解．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，，
四邊形為平行四邊形；
（2）解：四邊形是平行四邊形，，
四邊形是菱形，
由（1）得：四邊形為平行四邊形，
，
，
，
平行四邊形為矩形，
，
，
，
平行四邊形的周長．
【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形為矩形是解題的關(guān)鍵．
17. （2021春?溫縣期末）如圖，在中，對角線與相交于點，點，分別在和的延長線上，且，連接，．
（1）求證：；
（2）連接，，四邊形是平行四邊形嗎？請說明理由．

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，，則，再由證即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，，再證，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，，，
在和中，
，
；
（2）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：
四邊形是平行四邊形，
，，，，即，
四邊形是平行四邊形．

【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．

【解題技巧】
(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
(5)兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

平行四邊形的性質(zhì)

1. （2021?碑林區(qū)校級模擬）如圖，的邊，點是邊的中點，，連接，將沿著折疊，點落在處．若，則點到邊的距離是　　

A． B． C． D．
【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，，在△中，由勾股定理可求的長，在中，由勾股定理可求的長，由面積法可求解．
【解答】解：如圖，連接，交于點，過點作于，

點是邊的中點，
，
將沿著折疊，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理等知識，求出的長是解題的關(guān)鍵．
2. （2021春?巴南區(qū)月考）如圖，中，，垂直平分交于．若的周長為4，則的周長為　　

A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】由四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分、對邊相等，即可得，，，又由，即可得是的垂直平分線，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得，又由的周長為，即可求得平行四邊形的周長．
【解答】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
的周長為，
即，
平行四邊形的周長為：．
故選：．
【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
3. （2021?寧波模擬）如圖，已知，在平行四邊形中，，，，把平行四邊形沿直線折疊，點落在點處，連接，則的長度為　　

A． B． C． D．
【分析】過點和點作于點，延長線于點，由翻折對稱性可得，可以證明四邊形是等腰梯形，連接，可得是的垂直平分線，利用勾股定理可得的長，再根據(jù)平行四邊形的面積和三角形的面積列式可得的長，根據(jù)勾股定理可得的長，進(jìn)而可得的長．
【解答】解：如圖，過點和點作于點，延長線于點，

由翻折對稱性可知：，
，，
四邊形是等腰梯形，
連接，
，，
是的垂直平分線，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
在等腰梯形中，
．
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，圖形的翻折變換，掌握等腰三角形的性質(zhì)以及翻折變換前后對應(yīng)相等情況是解題關(guān)鍵．
4. （2021秋?沈河區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接交于點，則的面積與的面積之比為　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，然后證明出，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方計算即可．
【解答】解：，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，，，
，
的面積與的面積之比，
故選：．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，注意相似三角形的面積之比等于相似比的平方．
5. （2021春?新蔡縣期末）如圖，平行四邊形的對角線與相交于點，，垂足為，，，，則的長為　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解，的長，利用勾股定理的逆定理可得，再根據(jù)勾股定理可求解的長，由得面積公式可計算求解的長．
【解答】解：四邊形為平行四邊形，，，
，，
，
，
為直角三角形，且，
，
，
，
解得．
故選：．
【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理及逆定理，三角形的面積，利用勾股定理求解的長是解題的關(guān)鍵．
6. （2021春?鼓樓區(qū)校級期中）在中，，，，則的面積是　　
A． B． C． D．或
【分析】過作于，解直角三角形得到，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：過作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
如圖1，，
平行四邊形的面積，
如圖2，，
平行四邊形的面積，
故選：．

【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的運用，30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半．
7. （2021?雙流區(qū)模擬）如圖，在中，，的平分線交交于點，且點恰好是的中點，過點作，垂足為．若，則的長為　　

A． B． C．1 D．
【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求，由勾股定理可求解．
【解答】解：，點是的中點，

為的平分線，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
8. （2021春?甌海區(qū)期中）如圖，在中，于點，于點，且，．若的周長為，則的長為　　

A． B． C． D．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出，又由，，可得，又由的周長為，可得，繼而求得答案．
【解答】解：的周長為，
，
中，，，

，，
，
，，
故選：．
【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形的面積公式運用，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9. （2021春?呈貢區(qū)期末）如圖：在平行四邊形中，，，，過的中點作，垂足為點．連接，求的長　　

A．10 B．9 C． D．
【分析】延長，，交于點，構(gòu)造直角三角形，證得，從而得到，，然后證得，進(jìn)一步得到，之后求出直角三角形的兩條直角邊、，然后利用勾股定理即可解決問題．
【解答】解：延長，，交于點，

四邊形是平行四邊形，
，，，
，．
，，
，．
是的中點，
，
在和中，

，
，．
，
，
，
，，
在中，，
，
故選：．
【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．
10. （2021春?沙坪壩區(qū)期中）如圖，在中，和的平分線交于點，且分別交直線于點，．若，，則的值是　　

A．50 B．63 C．100 D．121
【分析】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系，即可得到和的長，進(jìn)而得出的長；依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到；最后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計算即可得到結(jié)果．
【解答】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
同理可得，，
，
，
，
又和的平分線交于點，
，
，
中，，
故選：．

【點評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對邊平行且相等．
11. （2021春?江都區(qū)月考）如圖，已知的面積為12，點在線段上，點在線段的延長線上，且，四邊形是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為　　

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】連接，過作交的延長線于，求出平行四邊形，根據(jù)等底等高的三角形面積相等得出的面積和的面積相等，的面積和的面積相等，推出陰影部分的面積等于平行四邊形的面積的一半，求出的值即可．
【解答】解：連接，過作交的延長線于，

四邊形是平行四邊形，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
邊上的高和的邊上的高相同，
的面積和的面積相等，
同理的面積和的面積相等，
即陰影部分的面積等于平行四邊形的面積的一半，是，
的面積是12，，
，
，
陰影部分的面積是，
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和轉(zhuǎn)化能力，題目比較好，但是有一定的難度．
12. （2021春?沙坪壩區(qū)校級月考）《九章算術(shù)》中的“方田章”論述了三角形面積的求法：“圭田術(shù)曰，半廣以乘正廣”，就是說：“三角形的面積底高”，我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中也提出了“三斜求積術(shù)”，即可以利用三角形的三條邊長來求取三角形面積，用現(xiàn)代式子可表示為：（其中、、為三角形的三條邊長，為三角形的面積）．如圖，在中，已知，，對角線，則的面積為　　

A． B． C． D．
【分析】將，，對角線代入公式可求出的值，則可求出答案．
【解答】解：，，，
，
的面積為．
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13. （2021?蘇州模擬）如圖，在平行四邊形中，，分別是邊，的中點，，交于點，若三角形的面積為1，則四邊形的面積為　　

A．3 B．4 C． D．5
【分析】連接，延長、交于，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，根據(jù)已知條件求出，，根據(jù)全等三角形的判定得出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)相似三角形的判定得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，求出，求出的面積即可．
【解答】解：連接，延長、交于，

，分別是邊，的中點，
，，
，
同理，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
，
的面積為1，
的面積是4，
即四邊形的面積是4，
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識點，能綜合運用知識點進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．
14. （2021春?濱湖區(qū)期中）如圖，在中，，，于，為中點，則等于　　

A． B． C． D．
【分析】取的中點，連接、，如圖，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，則，則，所以，接著利用平角的定義可得的大小．
【解答】解：取的中點，連接、，如圖，

四邊形為平行四邊形，
，，
，
為的中點，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等且平行，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，也考查了等腰三角形的性質(zhì)．
15. （2021春?鄞州區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形中，過對角線上任意一點作，，且，若，則　　

A．9 B． C．12 D．18
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形的面積，可以求得行四邊形的面積，本題得以解決．
【解答】解：由題意可得，
四邊形是平行四邊形，四邊形、四邊形均為平行四邊形，且它們的面積相等，四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
故選：．
【點評】本題考查平行四邊形的面積、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
16. （2021春?建鄴區(qū)期中）如圖，在平行四邊形中，、相交于點，，，，則的長為　　

A． B． C． D．
【分析】由平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得，，又由，根據(jù)勾股定理，即可求得的長．
【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，
，，
，
，
，
故選：．
【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對角線互相平分，解題時還要注意勾股定理的應(yīng)用．

【解題技巧】
1.平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用：
平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊形是平行四邊形達(dá)到上述目的．
2.運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單．
3.凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題．

特殊四邊形的判定

1. （2021?江陽區(qū)一模）平行四邊形的對角線與相交于點，添加以下條件，不能判定平行四邊形為菱形的是　　
A． B． C． D．
【分析】由菱形的判定方法和矩形的判定方法分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：、四邊形是平行四邊形，，
平行四邊形是菱形，故選項不符合題意；
、四邊形是平行四邊形，
，
，
又，
，
，
平行四邊形是菱形，故選項不符合題意；
、四邊形是平行四邊形，，
平行四邊形是菱形，故選項不符合題意；
、四邊形是平行四邊形，，
平行四邊形是矩形，故選項不符合題意；
故選：．

【點評】本題考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
2. （2021?建華區(qū)三模）下列條件中能判斷一個四邊形是菱形的是　　
A．對角線互相平分且相等
B．對角線互相垂直且相等
C．對角線互相平分且垂直
D．對角線互相垂直且一條對角線平分一組對角
【分析】利用菱形的判定方法對各個選項一一進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，不符合題意；
、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不符合題意；
、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，符合題意；
、對角線互相垂直且一條對角線平分一組對角，不一定是菱形，如等腰梯形，不符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了菱形的判定，熟練運用這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
3. （2021春?九龍坡區(qū)期末）下列命題正確的是　　
A．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
B．有一個角是直角的四邊形是矩形
C．有一組對角相等的四邊形是平行四邊形
D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
【分析】根據(jù)菱形、矩形、平行四邊形的正方形的判定進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，是真命題；
、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，原命題是假命題；
、有兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，原命題是假命題；
、對角線互相平分且垂直且相等的四邊形是正方形，原命題是假命題；
故選：．
【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解菱形、矩形、平行四邊形的正方形的判定，難度較?。?br /> 4. （2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，在中，，下列結(jié)論錯誤的是　　

A．四邊形是菱形 B．
C．， D．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得，，則，再由得平行四邊形是菱形，則，即可得出結(jié)論．
【解答】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
平行四邊形是菱形，
，
故選項、、不符合題意，選項符合題意，
故選：．
【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證出四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵．
5. （2021春?岳麓區(qū)校級月考）在四邊形中，對角線，相交于點，且，．若要使四邊形為菱形，則可以添加的條件是　　
A． B． C． D．
【分析】由條件，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得四邊形為平行四邊形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：，，
四邊形為平行四邊形，
、不能得出四邊形是菱形；選項不符合題意；
、，
四邊形是菱形，故選項符合題意；
、，
四邊形是矩形，故選項不符合題意；
、，
四邊形是矩形，故選項不符合題意；
故選：．
【點評】此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定；關(guān)鍵是掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
6. （2021春?靜海區(qū)月考）已知平行四邊形，下列條件：①；②；③；④．其中能使平行四邊形是菱形的有　　
A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③
【分析】菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等的四邊形是菱形；③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．
【解答】解：①中，，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，即可判定是菱形；故①正確；
②中，，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，即可判定是矩形，而不能判定是菱形；故②錯誤；
③中，，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定是菱形；故③正確；
、中，，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，即可判定是矩形，而不能判定是菱形；故④錯誤．
故選：．
【點評】此題考查了菱形的判定與矩形的判定定理．此題難度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
7. （2021春?西城區(qū)校級期中）如圖，四邊形的對角線，相交于點，且，則下列條件能判定四邊形為菱形的是　　

A． B．， C． D．，
【分析】根據(jù)菱形的判定方法分別對各個選項進(jìn)行判定，即可得出結(jié)論．
【解答】、當(dāng)，時，四邊形不是平行四邊形；故選項不符合題意；
、，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形為菱形，故選項符合題意；
、當(dāng)，時，四邊形不是平行四邊形；故選項不符合題意；
、當(dāng)，時，四邊形不是平行四邊形；故選項不符合題意．
故選：．
【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法，屬于中考?？碱}型．
8. （2021春?福田區(qū)期中）下列說法正確的是　　
A．一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
B．對角線相等的平行四邊形是菱形
C．三個角都是直角的四邊形是矩形
D．正八邊形的每一個外角都等于
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法對進(jìn)行判斷；根據(jù)菱形的判定方法對進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的判定方法對進(jìn)行判斷；根據(jù)多邊形外角和性質(zhì)進(jìn)行計算，對進(jìn)行判斷．
【解答】解：、一組對邊平行，另一組對邊也平行的四邊形是平行四邊形，所以選項錯誤，不符合題意；
、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以選項錯誤，不符合題意；
、三個角都是直角的四邊形是矩形，所以選項正確，符合題意；
、多邊形外角和是，正八邊形，每個外角為，所以選項錯誤，不符合題意．
故選：．
【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定，以及多邊形外角和計算方法，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)判定定理和多邊形外角計算方法，難度不大．
9. （2021春?長沙期末）下列敘述，錯誤的是　　
A．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
B．對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形
C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．對角線相等的四邊形是矩形
【分析】由矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的判定以及菱形的判定分別對各個選項進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，
選項不符合題意；
、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，
選項不符合題意；
、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，
選項不符合題意；
、對角線相等的平行四邊形是矩形，
選項符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定、菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
10. （2021春?川匯區(qū)校級期末）下列命題是真命題的是　　
A．有一個角是直角的四邊形是矩形
B．一組對邊平行且相等的四邊形是矩形
C．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形
D．對角線互相垂直平分的四邊形是矩形
【分析】利用矩形的判定定理分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：、有一個角是直角的平行四邊形是矩形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確，是真命題，符合題意；
、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意，
故選：．
【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解矩形的判定定理，難度不大．
11. （2021春?廈門期末）如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為中點，則的最小值為　　

A． B．5 C． D．
【分析】先根據(jù)矩形的判定得出四邊形是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，互相平分，且，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出時，的值最小，即的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．
【解答】解：，，，
，
，
于，于，
四邊形是矩形，
，互相平分．且，
當(dāng)?shù)闹底钚r，的值就最小，
當(dāng)時，的值最小，即的值最?。?br /> ，
．
，，，
，
，
的最小值為；
故選：．
【點評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理的逆定理，推出當(dāng)時，的值最小，即的值最小是解題的關(guān)鍵．
12. （2021秋?青羊區(qū)期末）下列判斷正確的是　　
A．對角線互相垂直的四邊形是菱形
B．對角線相等的菱形是正方形
C．對角線相等的四邊形是矩形
D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
【分析】根據(jù)菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定判斷即可．
【解答】解：、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，說法錯誤，不符合題意；
、對角線相等的菱形是正方形，說法正確，符合題意；
、對角線相等的平行四邊形是矩形，說法錯誤，不符合題意；
、對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，說法錯誤，不符合題意；
故選：．
【點評】此題考查正方形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定、正方形的判定、矩形的判定解答．
13. （2021秋?駐馬店期中）下列說法正確的是　　
A．對角線相等的四邊形是矩形
B．有一個角為直角的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
【分析】根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；先判定四邊形是菱形，再判定是矩形就是正方形分別進(jìn)行分析即可．
【解答】解：、對角線相等的平行四邊形是矩形，原命題是假命題；
、有一個角為直角的平行四邊形是矩形，原命題是假命題；
、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，是真命題；
、對角線互相平分且垂直且相等的四邊形是正方形，原命題是假命題；
故選：．
【點評】本題考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟練掌握各判定定理是解題的關(guān)鍵．
14. （2021秋?南海區(qū)月考）下列說法正確的是　　
A．對角線互相垂直的四邊形是菱形
B．對角線相等的四邊形是矩形
C．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形
D．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形
【分析】利用矩形的判定定理、平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理及正方形的判定定理分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故不符合題意；
、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形；故不符合題意；
、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形；故不符合題意；
、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故符合題意；
故選：．
【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定及正方形的判定，解題的關(guān)鍵是能夠熟練掌握有關(guān)的判定定理，難度不大．
15. （2021秋?肅州區(qū)校級期中）下列條件中，能判定四邊形是正方形的是　　
A．對角線互相垂直且相等的四邊形
B．對角線互相垂直的矩形
C．對角線相等的平行四邊形
D．對角線互相平分且垂直的四邊形
【分析】根據(jù)正方形的判定對各個選項進(jìn)行分析從而得到最后的答案．
【解答】解：、對角線互相垂直且相等的四邊形不一定的正方形，不符合題意；
、對角線互相垂直的矩形是正方形，符合題意；
、對角線相等的平行四邊形是矩形，不符合題意；
、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，不符合題意；
故選：．
【點評】此題主要考查正方形的判定，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
16. （2021秋?和平區(qū)期中）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中正確的是　　

A．當(dāng)時，它是矩形 B．當(dāng)時，它是菱形
C．當(dāng)時，它是矩形 D．當(dāng)時，它是正方形
【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定方法和各個選項中的說法，可以判斷是否正確，從而可以解答本題．
【解答】解：、當(dāng)時，它是菱形，原說法錯誤，不符合題意；
、當(dāng)時，它是矩形，原說法錯誤，不符合題意；
、當(dāng)時，它是矩形，說法正確，符合題意；
、當(dāng)時，它是矩形，原說法錯誤，不符合題意；
故選：．

【點評】本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的判定方法．
17. （2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）下列說法正確的是　　
A．對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形
B．對角線相等的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形
D．一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形
【分析】根據(jù)菱形、矩形、正方形和平行四邊形的判定解答即可．
【解答】解：、對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，故此選項不符合題意；
、對角線相等且互相平分的四邊形為矩形，故此選項不符合題意；
、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故此選項符合題意；
、一組對邊相等且一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形，故此選項不符合題意．
故選：．
【點評】本題主要考查平行四邊形及特殊平行四邊形的判定，掌握平行四邊形及特殊平行四邊形的對角線所滿足的條件是解題的關(guān)鍵．
18. （2021?濱州）如圖，矩形的對角線、相交于點，，．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若，，求菱形的面積．

【分析】（1）根據(jù)，，可以得到四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到，由菱形的定義可以得到結(jié)論成立；
（2）根據(jù)，，可以求得菱形邊上的高，然后根據(jù)菱形的面積底高，代入數(shù)據(jù)計算即可．
【解答】（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
，，，
，
四邊形是菱形；
（2）解：作于點，
四邊形是矩形，，
，，，
，
，
，
菱形的面積是：．

【點評】本題考查菱形的判定、矩形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確菱形的判定方法，知道菱形的面積底高或者是對角線乘積的一半．
19. （2021秋?金塔縣期末）如圖，在平行四邊形中，，、分別是和的中點．
求證：四邊形是矩形．

【分析】證四邊形是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
、分別是和的中點，
，，
，
四邊形是平行四邊形，
，
是等腰三角形，
是的中點，
是的邊上的高，
，
平行四邊形是矩形．
【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定和等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20. （2021秋?文山市期末）如圖，菱形的對角線與交于點，分別過點、點作、的平行線交于點，連接交于點．
（1）求證：四邊形是矩形；
（2）若，求的長．

【分析】（1）先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得，得，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得，再由矩形的性質(zhì)得即可．
【解答】（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
，
，
平行四邊形是矩形；
（2）解：四邊形是菱形，
，
由（1）得：四邊形是矩形，
．
【點評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明四邊形為矩形是解題的關(guān)鍵．

【解題技巧】
①矩形的性質(zhì)與判定
1.矩形的判定方法：先判定四邊形是平行四邊形，再判定這個平行四邊形有一個角為直角；先判定四邊形是平行四邊形，再判定對角線相等；說明四邊形有三個角是直角。
2.矩形經(jīng)常和直角三角形等邊三角形結(jié)合求一些線段間的的關(guān)系問題熟練掌握矩形的性質(zhì)定理是解決問題的關(guān)鍵，遇到直角三角形斜邊上中點時常做的的輔助線是連接直角頂點與斜邊中點。
②菱形的性質(zhì)與判定
①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等＝菱形）；
②四條邊都相等的四邊形是菱形．
幾何語言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四邊形ABCD是菱形；
③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．
幾何語言：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形∴平行四邊形ABCD是菱形

③正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．

特殊四邊形的性質(zhì)

1. （2021秋?都江堰市期中）矩形和菱形都一定具有的性質(zhì)是　　
A．對角線互相垂直 B．對角線互相平分
C．對角線長度相等 D．對角線平分一組對角
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個角度數(shù)直角，②矩形的對邊相等且互相平行，③矩形對角線相等且互相平分；
菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對邊互相平行；②菱形的對角相等，③菱形的對角線互相平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角，
所以矩形和菱形都具有的性質(zhì)是對角線互相平分，
故選：．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，能熟記知識點是解此題的關(guān)鍵．
2. （2021秋?太原期中）菱形和矩形都具有的性質(zhì)是　　
A．四條邊相等 B．四個角相等
C．對角線互相垂直 D．對角線互相平分
【分析】由矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：菱形的性質(zhì)有對角線互相垂直平分，矩形的性質(zhì)有對角線互相平分且相等，
菱形和矩形都具有的性質(zhì)是對角線互相平分，
故選：．
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3. （2021秋?羅湖區(qū)期中）矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是　　
A．兩組對邊分別平行且相等 B．鄰角互補
C．對角線相等 D．對角線互相垂直
【分析】利用矩形與菱形的性質(zhì)即可解答本題．
【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是對角線相等，
故選：．
【點評】本題考查了矩形與菱形的性質(zhì)，中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形與菱形的性質(zhì)．
4. （2021秋?郫都區(qū)校級期中）如圖，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，是原點，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為　　

A． B．， C． D．，
【分析】作軸于，軸于，先證，再證明，得出對應(yīng)邊相等，，即可得出結(jié)果．
【解答】解：如圖所示，作軸于，軸于，則，

，
的坐標(biāo)為，
，，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，．
故選：．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明是解決問題的關(guān)鍵．
5. （2017春?嘉興期末）正方形具有而矩形不一定有的性質(zhì)是　　
A．對角互補 B．四個角相等
C．對角線互相垂直 D．對角線相等
【分析】利用正方形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：正方形具有的性質(zhì)有對角互補，四邊相等，對邊平行，四個角都相等，對角線相等，對角線互相垂直，矩形具有的性質(zhì)有對角互補，四個角都相等，對邊平行，對角線相等，
矩形不一定有的性質(zhì)是對角線互相垂直，
故選：．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
6. （2021秋?東港市期中）如圖，已知正方形的邊長為6，點，分別在邊，上，，與交于點，點為的中點，連接，則的長為　　

A． B． C．4.5 D．4.3
【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得，每一個角都是直角可得，然后利用“邊角邊”證明，得，進(jìn)一步得，從而知，利用勾股定理求出的長即可得出答案．
【解答】解：四邊形為正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
點為的中點，
，
，，
，
．
故選：．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等知識，掌握三角形全等的判定方法與正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7. （2021?射陽縣二模）如圖，菱形中，，，為上一點且，連接、交于點，過點作于點，則　4　．

【分析】由菱形的性質(zhì)可得，，，，由勾股定理可求，通過證明，可得，可求，由銳角三角函數(shù)可求的長．
【解答】解：如圖，連接，交于點，

四邊形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：4．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，求出的長是解題的關(guān)鍵．

【解題技巧】
①矩形的性質(zhì)與判定
1.定義：把有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形．
2.性質(zhì)
(1) 對邊平行且相等
(2) 四個內(nèi)角都是直角
(3) 兩條對角線相等且互相平分
(4) 矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形
②菱形的性質(zhì)與判定
1.定義：把有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
2．性質(zhì)
(1)菱形四條邊都相等
(2)對角相等
(3)兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角
(4)菱形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形
③正方形的性質(zhì)與判定
1.定義：有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．
2．性質(zhì)
(1)四條邊都相等
(2)四個角都是90°
(3)對角線互相垂直平分且相等
(4)對角線平分一組對角
(5)正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形

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