? 2022年高考浙江數(shù)學(xué)高考真題變式題10-12題
原題10
1．已知數(shù)列滿足，則（????）
A． B． C． D．
變式題1基礎(chǔ)
2．已知數(shù)列滿足，，則（????）
A． B． C． D．
變式題2基礎(chǔ)
3．已知數(shù)列滿足，且，，則（????）
A． B．
C． D．
變式題3基礎(chǔ)
4．已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論成立的是（???????）
A． B．
C． D．
變式題4鞏固
5．已知數(shù)列滿足，則的值所在范圍是（????）
A． B． C． D．
變式題5鞏固
6．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則（???????）
A．對(duì)任意的，都有
B．對(duì)任意的，都有
C．存在，使得
D．對(duì)任意的，都有
變式題6鞏固
7．?dāng)?shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項(xiàng)和，則（????）
A． B．
C． D．
變式題7鞏固
8．在數(shù)列中， 已知， 且， 則以下結(jié)論成立的是（?????）
A． B． C． D．
變式題8提升
9．已知數(shù)列滿足，.若對(duì)恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
變式題9提升
10．已知數(shù)列滿足：，且，則下列關(guān)于數(shù)列的敘述正確的是（????）
A． B． C． D．
變式題10提升
11．已知數(shù)列滿足，則（????）
A． B．
C． D．
變式題11提升
12．已知數(shù)列中各項(xiàng)都小于1，，即數(shù)列前n項(xiàng)和為，則（????）
A． B．
C． D．
原題11
13．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白．如果把這個(gè)方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設(shè)某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．
變式題1基礎(chǔ)
14．《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊，求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是“以小斜冥并大斜冥減中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫出公式，即若，則，現(xiàn)有周長(zhǎng)為的滿足，則用以上給出的公式求得的面積為__________．
變式題2基礎(chǔ)
15．《易經(jīng)》中記載著一種幾何圖形一一八封圖，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，圖中八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，去測(cè)量當(dāng)?shù)匕素蕴锏拿娣e如圖，現(xiàn)測(cè)得正八邊形的邊長(zhǎng)為，代表陰陽(yáng)太極圖的圓的半徑為，則每塊八卦田的面積為___________.

變式題3基礎(chǔ)
16．《數(shù)書九章》是中國(guó)南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個(gè)問題，分為九類，每類九個(gè)問題《數(shù)書九章》中記錄了秦九解的許多創(chuàng)造性成就，其中在卷五“三斜求積”中提出了已知三角形三邊a，b，c求面積的公式，這與古希臘的海倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積”若把以上這段文字寫成公式，即S為三角形的面積，a，b，c為三角形的三邊長(zhǎng)，現(xiàn)有滿足且，則的外接圓的半徑為_________．
變式題4基礎(chǔ)
17．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對(duì)的邊分別為，則的面積為.根據(jù)此公式，若，且，則這個(gè)三角形的面積為_________.
變式題5鞏固
18．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，則“三斜求積”公式為.若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為________.
變式題6鞏固
19．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，則的面積.根據(jù)此公式若，且，則△ABC的面積為______________.
變式題7鞏固
20．幾何學(xué)中有兩件瑰寶，一個(gè)是勾股定理，一個(gè)是黃金分割，其中頂角為的等腰三角形被稱為“黃金三角形”．如圖，已知五角星是由5個(gè)“黃金三角形”與1個(gè)正五邊形組成，且．記陰影部分的面積為，正五邊形的面積為，則_______．

變式題8鞏固
21．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即在中，角所對(duì)的邊分別為，則的面積為，若，且的外接圓的半徑為，則面積的最大值為___________.
變式題9提升
22．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202—1261）被國(guó)外科學(xué)史家贊譽(yù)為“他那個(gè)民族，那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”.他獨(dú)立推出了“三斜求積”公式，求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”把以上這段文字寫成從三條邊長(zhǎng)求三角形面積的公式，就是.現(xiàn)如圖，已知平面四邊形中，，，，，，則平面四邊形的面積是_________.

變式題10提升
23．拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)正三角形，則這三個(gè)正三角形的中心恰為另一個(gè)正三角形的頂點(diǎn).”利用該定理可為任意形狀的市區(qū)科學(xué)地確定新的發(fā)展中心區(qū)位置，合理組織人流?物流，使城市土地的利用率，建筑的使用效率達(dá)到最佳，因而在城市建設(shè)規(guī)劃中具有很好的應(yīng)用價(jià)值.如圖，設(shè)代表舊城區(qū)，新的城市發(fā)展中心，分別為正，正，正的中心?現(xiàn)已知，的面積為，則的面積為___________.

變式題11提升
24．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元年，趙爽在為《周髀算經(jīng)》，作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大的等邊三角形，設(shè)，若，則的面積為____________.

原題12
25．已知多項(xiàng)式，則__________，___________．
變式題1基礎(chǔ)
26．已知多項(xiàng)式，則_______，________．
變式題2基礎(chǔ)
27．已知，則______.______.
變式題3基礎(chǔ)
28．已知展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為512，則________；若，則 _________
變式題4基礎(chǔ)
29．若，，則________；________；
變式題5鞏固
30．已知，則_____，___________．
變式題6鞏固
31．多項(xiàng)式，則_______，________．
變式題7鞏固
32．已知.且，則__________，該展開式第3項(xiàng)為__________.
變式題8鞏固
33．若，則_______，_______．
變式題9提升
34．已知，則___________，___________.
變式題10提升
35．已知多項(xiàng)式，則_______，_______．
變式題11提升
36．設(shè)（其中為偶數(shù)），若對(duì)任意的，總有成立，則_________，_________.

參考答案：
1．B
【分析】先通過遞推關(guān)系式確定除去，其他項(xiàng)都在范圍內(nèi)，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．
【詳解】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.
????????
2．B
【分析】由題意化簡(jiǎn)可得，根據(jù)，利用累加法可得；根據(jù)，利用累加法計(jì)算化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而得出，令計(jì)算即可.
【詳解】解：顯然，對(duì)任意，．，
化簡(jiǎn)可得，所以，則，
累加可得，所以．
又，所以，
則
，
注意到，
所以，則，
所以．綜上．
當(dāng)時(shí)，，即.
故選：B
3．B
【分析】根據(jù)題意求出，判斷出數(shù)列遞減，且，再對(duì)兩邊取倒數(shù)，然后平方整理得，再利用單調(diào)性進(jìn)行放縮，可得出當(dāng)時(shí)，，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得解.
【詳解】∵，，
∴，，則，
∵，
∴，即數(shù)列遞減，則，
∵，
∴兩邊取倒數(shù)得，即，則，
∵數(shù)列遞減，
∴當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即，，，，
∴根據(jù)不等式的性質(zhì)可得，即，
∴.
故選：B.
4．D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷，即可猜想數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞增，偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞減，且奇數(shù)項(xiàng)均小于偶數(shù)項(xiàng)，再證明即可，從而得解；
【詳解】解：因?yàn)?，，所以，?br /> 因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即，
即，故，即，所以，
可猜想數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞增，偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞減，且奇數(shù)項(xiàng)均小于偶數(shù)項(xiàng)，
因?yàn)?，?dāng)時(shí)，
所以，所以①，
因?yàn)?，所以，即，進(jìn)而得到，
以此類推得且，所以，
由①可得，
由，所以，即，由得到，
以此類推得單調(diào)遞減，所以，
所以；
故選：D
5．B
【分析】已知等式變形為，用累加法有，
可得，，
再變形為，由放縮法得，用累加法得．從而可得結(jié)論．
【詳解】由已知得，，
所以
，
，所以，
由得，，
累加可得，所以，
所以．
故選：B．
6．D
【分析】可賦值，驗(yàn)證AB；通過構(gòu)造函數(shù)，對(duì)進(jìn)行放縮，可得，累乘法可判斷CD.
【詳解】因?yàn)?，，不妨令，則，即，故AB錯(cuò)誤；
，構(gòu)造，則，當(dāng)，，單增，當(dāng)時(shí)，，單減，故，即，所以，即，因?yàn)?，所以，累乘法可得，即，也?故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D
7．D
【分析】根據(jù)題意的遞推公式可得，進(jìn)而可得和，利用累加法和裂項(xiàng)相消求和法得到，進(jìn)而得出的取值范圍.
【詳解】由題意知，，
，即，
則，即，
由累加法可得，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
又，得，
所以，
故選：D
8．C
【分析】先根據(jù)遞推公式可得，得出的通項(xiàng)公式，從而驗(yàn)證得出答案.
【詳解】，則，
若中存在某項(xiàng)，使得，則可得這與條件中相矛盾.
所以，將上面兩式相除可得
所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
則，設(shè)，則
所以



故選：C
9．B
【分析】令，則問題轉(zhuǎn)化為，，且，再分別在，，，進(jìn)行分類討論即可.
【詳解】令，則問題轉(zhuǎn)化為，，且.
當(dāng)時(shí)，則，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，首先，解得.
當(dāng)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法可得，其中滿足，
所以.
令，，則，
令，得，所以存在使得，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以先增后減.
所以.
所以.
當(dāng)時(shí)，設(shè)滿足，則存在，
此時(shí)，不符合題意.
綜上，正實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的綜合問題，屬于難題.解決該問題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：
(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的圖象是一群孤立的點(diǎn)；
(2)轉(zhuǎn)化以函數(shù)為背景的條件時(shí)，應(yīng)該注意題中的限制條件，如函數(shù)的定義域，這往往是很容易被忽視的問題；
(3)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中的相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化.
10．D
【分析】判定出數(shù)列的單調(diào)性判斷選項(xiàng)A；求得的取值范圍判斷選項(xiàng)B；判定出與的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)C；判定出與的大小關(guān)系判斷選項(xiàng)D.
【詳解】首先我們證明：，(利用數(shù)學(xué)歸納法)
當(dāng)時(shí)，；
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，.
設(shè)函數(shù)，則，
則在上單調(diào)遞增，從而.
綜上可得.
故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，令，
則，令，
則，則在上單調(diào)遞減，
又，故在上先增后減，
從而，從而.
對(duì)于A選項(xiàng)：由于，
故數(shù)列單調(diào)遞增，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，由于當(dāng)時(shí)，有，
從而，
故，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，由于，即，
令，則，
即，
其中，故，
從而，即，，
即，故.從而選項(xiàng)D正確.
故選：D
11．B
【分析】根據(jù)遞推式易得，以及，根據(jù)累加法得出，進(jìn)而，類似可得，進(jìn)而可得結(jié)論.
【詳解】顯然，由，故與同號(hào)，
由得，故，
所以，
又，所以；
由，
所以，
故，
累加得，
所以，
所以，
所以，
另一方面，由，所以
，累加得，
故，即，
所以；綜合得．
故選：B.
12．A
【分析】根據(jù)可得即數(shù)列單調(diào)遞減.構(gòu)造函數(shù)證明，即，根據(jù)等比數(shù)列求和即可求解.
【詳解】解析：由，因?yàn)閿?shù)列中各項(xiàng)都小于1，故與同號(hào)，又，所以，故，即，所以，又，所以時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以由得，即，所以，
故選:A．
13．.
【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 故答案為：.

14．
【詳解】∵，
∴，
又的周長(zhǎng)為，
∴，
∴．即的面積為．
答案：
15．
【分析】由圖可知，正八邊形分割成8個(gè)全等的等腰三角形，頂角為，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，利用正弦定理可求出的值，再利用三角形的面積公式求解即可.
【詳解】由圖可知，正八邊形分割成8個(gè)全等的等腰三角形，
頂角為，
設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為，
由正弦定理可得，
解得，
所以三角形的面積，
則每塊八卦田的面積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和三角形的面積公式.屬于較易題.
16．.
【解析】由正弦定理得到三條邊長(zhǎng)的比，利用所給面積公式得到邊長(zhǎng)，再結(jié)合面積公式和正弦定理可得答案.
【詳解】由已知和正弦定理得：，
設(shè)，
由，
解得，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，
由，解得，
由正弦定理得，所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、面積公式解三角形，關(guān)鍵點(diǎn)是利用所給面積公式求出三角形邊長(zhǎng)，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)及閱讀能力.
17．
【分析】依題意可得，則代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得；
【詳解】解：依題意的面積為，同理可得，因?yàn)?，且，所?br /> 故答案為：
18．
【解析】根據(jù)條件求出，代入求解即可.
【詳解】,

,
,
,
,
,
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，考查了推理能力，計(jì)算能力，屬于中檔題.
19．
【分析】根據(jù) ，變形利用正弦定理得，，解得，再利用余弦定理得到，，代入求解.
【詳解】因?yàn)?，
所以，
由正弦定理得，
即，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
20．
【分析】求出五邊形的內(nèi)角，結(jié)合三角形的面積公式求出黃金三角形的面積，通過轉(zhuǎn)換，將正五邊形面積轉(zhuǎn)化為大三角形減兩個(gè)黃金三角形的面積，從而可求出
【詳解】解：設(shè)，，則五邊形的內(nèi)角為，則，
則三角形 ，，
，
則 ，，
從而，因?yàn)椋?br /> 所以，
則

故答案為: .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:
本題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是借助于三角形的面積公式和轉(zhuǎn)化的思想，用表示，
二是結(jié)合正弦定理可得，從而可求出.
21．
【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦定理角化為邊，得到，利用余弦定理求得C，再求得c，利用基本不等式求得，從而由求得答案.
【詳解】由
得：，
即，故，
所以 ，而 ,
所以 ，
則，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
故，
即面積的最大值為 ，
故答案為：
22．
【分析】利用秦九韶算法求出的面積，利用余弦定理求得的值，再計(jì)算的面積，從而求得平面四邊形的面積．
【詳解】解：中，，，，
面積為，
中，由余弦定理得，
即，
化簡(jiǎn)得，
解得或（不合題意，舍去）；
所以中，，，，
面積為；
所以平面四邊形的面積是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積計(jì)算問題，也考查了解三角形的應(yīng)用問題，屬于中檔題題．
23．
【分析】連接，易得，進(jìn)而得到，利用勾股定理得到，然后再利用余弦定理求得即可.
【詳解】如圖所示：

連接，由題意得：，
又因?yàn)椋?br /> 所以，，
解得，
由勾股定理得，即，
即，
由余弦定理得，
解得，
所以三角形ABC的面積為，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是證得，再利用勾股定理和余弦定理求得而得解.
24．
【分析】設(shè)，可得出，，利用余弦定理求出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.
【詳解】設(shè)，則，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，故，
在中，由余弦定理得，解得，
故，，因此，的面積為.
故答案為：.
25．???? ????
【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．
【詳解】含的項(xiàng)為：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案為：；．

26．???? ????
【分析】第一空：利用賦值處理，令代入計(jì)算；第二空：的項(xiàng)系數(shù)為，的項(xiàng)系數(shù)差，借助二項(xiàng)展開式通項(xiàng)計(jì)算處理．
【詳解】令，即
的項(xiàng)系數(shù)為，的項(xiàng)系數(shù)差，
即，
故答案為：；．
27．???? 60???? 728##
【分析】對(duì)變形為，寫出展開式的通項(xiàng)公式，從而求出的值；
賦值法求解系數(shù)和，從而求出答案.
【詳解】，
所以通項(xiàng)公式為，故；
令得：，
其中，所以
故答案為：60，728
28．???? 9???? 2
【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得值，在第二個(gè)等式中，令求得，令求得后可得結(jié)論．
【詳解】由，可得．令，得；令，得．
所以．
故答案為：9；2.
29．???? ????
【分析】令，利用賦值法可求得所求代數(shù)式的值.
【詳解】令，則，
.
故答案為：；.
30．???? ????
【分析】（1）用乘以展開式的常數(shù)項(xiàng)再加上用乘以展開式的一次項(xiàng)，合并同類項(xiàng)即可求解（2）用賦值法即可求解
【詳解】
展開式的第項(xiàng)為
令，則，
令，則，
所以展開式的一次項(xiàng)為：
所以

令，則
令，則
所以
故答案為：；
31．???? ???? 1
【分析】由且展開通項(xiàng)為，結(jié)合含項(xiàng)的特征確定r值，即可求解；賦值法令、求系數(shù)和，進(jìn)而可得目標(biāo)式的值.
【詳解】由題設(shè)，，而展開式通項(xiàng)為，
所以；
令得：，
令得：，
于是．
故答案為：-6，1
32．???? 5????
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式可得，再利用賦值法得到，即可求出，再根據(jù)展開式的通項(xiàng)計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 所以，令，則，令，則，
所以，所以，所以，解得或（舍去），
所以，
所以展開式的第項(xiàng)為；
故答案為：；
33．???? -10???? -62
【分析】令，將原問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開式的相關(guān)問題，結(jié)合二項(xiàng)式展開式和系數(shù)和的性質(zhì)求解.
【詳解】令，則，原式可以轉(zhuǎn)化成，
則為前面的系數(shù)，
所以，
所以，
令，可得，令，可得，
所以，
故答案為：．
34．???? ????
【分析】根據(jù)展開式的通項(xiàng)，令即可求得；分別令和，所得兩式作差即可得到結(jié)果.
【詳解】展開式的通項(xiàng)為：，
令，可得；
令得：；令得：，
.
故答案為：；.
35．???? 16???? 48
【分析】利用賦值法令第一空，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】由題意可知，令時(shí)，，
設(shè)的展開式的通項(xiàng)為：，
的展開式的通項(xiàng)為:，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以．
故答案為：16；48.
36．???? 8????
【分析】先得到，根據(jù)二項(xiàng)式性質(zhì)可知，賦值法求解.
【詳解】由題意得：，
因?yàn)?，為偶?shù)，所以由二項(xiàng)式性質(zhì)可知：，解得：，
由于，
令得：，所以
故答案為：8，

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