3.2.2 奇偶性第一課時(shí) 函數(shù)的奇偶性 奇偶性定　義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 易誤提醒　1．判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件．2．判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能說(shuō)存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．3．分段函數(shù)奇偶性判定時(shí)，利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在整個(gè)定義域上的奇偶性是錯(cuò)誤的．必記結(jié)論　1．函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論：(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．2．有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論：(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝a對(duì)稱．若函數(shù)y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱．(2)若f(x)＝f(2a－x)，則函數(shù)f(x)關(guān)于x＝a對(duì)稱．若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱．[自測(cè)練習(xí)]1．函數(shù)f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是(　　)A．奇函數(shù)  B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)  D．既奇又偶函數(shù)解析：由知x>1，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)．答案：C2．(2015·石家莊一模)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝log2x，則f(－)＝(　　)A．－  B.C．2  D．－2解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－)＝f()＝log2＝，故選B.答案：B3．若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.解析：∵f(－x)＝f(x)對(duì)于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|對(duì)于x∈R恒成立，兩邊平方整理得ax＝0對(duì)于x∈R恒成立，故a＝0.答案：0[自測(cè)練習(xí)]4．函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，則f(f(5))＝________.解：f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝＝－.答案：－考點(diǎn)一　函數(shù)奇偶性的判斷|判斷下列函數(shù)的奇偶性．(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝3x－3－x；(4)f(x)＝；(5)f(x)＝解：(1)由得x＝±1，∴f(x)的定義域?yàn)閧－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(2)∵函數(shù)f(x)＝＋的定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，∴函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．(3)∵f(x)的定義域?yàn)?/span>R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．(4)∵由得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定義域?yàn)閇－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝＝＝，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．(5)易知函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋x，則當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)．函數(shù)奇偶性的判定的三種常用方法1．定義法：2．圖象法：3．性質(zhì)法：(1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；(2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；(3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．　　 探究一　利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式2．(2015·高考全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，則使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范圍是(　　)A.B.∪(1，＋∞)C.D.∪解析：函數(shù)f(x)＝ln(1＋|x|)－，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，又當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝ln(1＋x)－，f(x)是單調(diào)遞增的，故f(x)>f(2x－1)?f(|x|)>f(|2x－1|)，∴|x|>|2x－1|，解得<x<1，故選A.答案：A　　　　2.構(gòu)造法在函數(shù)奇偶性中的應(yīng)用【典例】　設(shè)函數(shù)f(x)＝的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.[思路點(diǎn)撥]　直接求解函數(shù)的最大值和最小值很復(fù)雜不可取，所以可考慮對(duì)函數(shù)整理化簡(jiǎn)，構(gòu)造奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零求解．[解析]　易知f(x)＝1＋.設(shè)g(x)＝f(x)－1＝，則g(x)是奇函數(shù)．∵f(x)的最大值為M，最小值為m，∴g(x)的最大值為M－1，最小值為m－1，∴M－1＋m－1＝0，∴M＋m＝2.[答案]　2[方法點(diǎn)評(píng)]　在函數(shù)沒(méi)有指明奇偶性或所給函數(shù)根本不具備奇偶性的情況下，通過(guò)觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其局部通過(guò)變式可構(gòu)造出奇偶函數(shù)，這樣就可以根據(jù)奇偶函數(shù)特有的性質(zhì)解決問(wèn)題．[跟蹤練習(xí)]　已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，則f(2)等于(　　)A．－26　　　　　　　　　 B．－18C．－10  D．10解析：由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8知f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx，令F(x)＝f(x)＋8可知F(x)為奇函數(shù)，∴F(－x)＋F(x)＝0.∴F(－2)＋F(2)＝0，故f(－2)＋8＋f(2)＋8＝0.∴f(2)＝－26.答案：AA組　考點(diǎn)能力演練1．(2015·陜西一檢)若f(x)是定義在R上的函數(shù)，則“f(0)＝0”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)”的(　　)A．必要不充分條件B．充要條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件解析：f(x)在R上為奇函數(shù)?f(0)＝0；f(0)＝0　f(x)在R上為奇函數(shù)，如f(x)＝x2，故選A.答案：A2．(2015·唐山一模)已知函數(shù)f(x)＝－x＋log2＋1，則f＋f的值為(　　)　　　　　　　　　　　　　 A．2  B．－2C．0  D．2log2解析：由題意知，f(x)－1＝－x＋log2，f(－x)－1＝x＋log2＝x－log2＝－(f(x)－1)，所以f(x)－1為奇函數(shù)，則f－1＋f－1＝0，所以f＋f＝2.答案：A3．在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)，當(dāng)0<x≤1時(shí)，f(x)＝2x，則f(2 015)＝(　　)A．－2  B．2C．－  D.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函數(shù)的周期為3，所以f(2 015)＝f(672×3－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故選A.答案：A4．設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集為(　　)A．{x|－1<x<0，或x>1}B．{x|x<－1，或0<x<1}C．{x|x<－1，或x>1}D．{x|－1<x<0，或0<x<1}解析：∵奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(－x)＝－f(x)，x[f(x)－f(－x)]<0，∴xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，從而有函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：則有不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集為{x|－1<x<0或0<x<1}，選D.答案：D5．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(2)＝1，且對(duì)任意的x∈R，都有f(x＋3)＝f(x)，則f(2 017)＝________.解析：由f(x＋3)＝f(x)得函數(shù)f(x)的周期T＝3，則f(2 017)＝f(1)＝f(－2)，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(2 017)＝f(2)＝1.答案：16．函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a＝______.解析：由題意知，g(x)＝(x＋1)(x＋a)為偶函數(shù)，∴a＝－1.答案：－17．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，結(jié)合f(x)的圖象知所以1<a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3]．8．函數(shù)y＝f(x)(x≠0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，若f(1)＝0，求不等式f<0的解集．解：∵y＝f(x)是奇函數(shù)，∴f(－1)＝－f(1)＝0.又∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴y＝f(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，若f<0＝f(1)，∴即0<x<1，解得<x<或<x<0.f<0＝f(－1)，∴∴x<－1，解得x∈?.∴原不等式的解集是.B組　高考題型專練1．(2014·高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)解析：由題意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，對(duì)于選項(xiàng)A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù)，故C項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，選C.答案：C2．．(2015·高考廣東卷)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是(　　)A．y＝  B．y＝x＋C．y＝2x＋  D．y＝x＋ex解析：選項(xiàng)A中的函數(shù)是偶函數(shù)；選項(xiàng)B中的函數(shù)是奇函數(shù)；選項(xiàng)C為偶函數(shù)，只有選項(xiàng)D中的函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．答案：D3．(2015·高考天津卷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)．記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　)A．a<b<c  B．a<c<bC．c<a<b  D．c<b<a解析：由f(x)＝2|x－m|－1是偶函數(shù)得m＝0，則f(x)＝2|x|－1，當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x) ＝2x－1遞增，又a＝f(log0.53)＝f(|log0.53|)＝f(log23)，c＝f(0)，且0<log23<log25，則f(0)<f(log23)<f(log25)，即c<a<b.答案：C4．(2015·高考湖南卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是(　　)A．奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)解析：由題意可得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，且f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上為增函數(shù)，故f(x)在(0,1)上為增函數(shù)，又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，選A.答案：A

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