考點一 概率和數(shù)列的綜合
例1 某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送節(jié)日禮物，現(xiàn)有甲、乙兩個系列盲盒，每個甲系列盲盒可以開出玩偶A1，A2，A3中的一個，每個乙系列盲盒可以開出玩偶B1，B2中的一個．
(1)記事件En：一次性購買n個甲系列盲盒后集齊玩偶A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性購買n個乙系列盲盒后集齊B1，B2玩偶．求概率P(E5)及P(F4)；
(2)某禮品店限量出售甲、乙兩個系列的盲盒，每個消費者每天只有一次購買機會，且購買時，只能選擇其中一個系列的一個盲盒．通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費者購買甲系列的概率為eq \f(2,3)，購買乙系列的概率為eq \f(1,3)；而前一次購買甲系列的消費者下一次購買甲系列的概率為eq \f(1,4)，購買乙系列的概率為eq \f(3,4)，前一次購買乙系列的消費者下一次購買甲系列的概率為eq \f(1,2)，購買乙系列的概率為eq \f(1,2)；如此往復(fù)，記某人第n次購買甲系列的概率為Qn.
①求{Qn}的通項公式；
②若每天購買盲盒的人數(shù)約為100，且這100人都已購買過很多次這兩個系列的盲盒，試估計該禮品店每天應(yīng)準備甲、乙兩個系列的盲盒各多少個．
解 (1)若一次性購買5個甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數(shù)為35，集齊A1，A2，A3玩偶，則有兩種情況：
①其中一個玩偶3個，其他兩個玩偶各1個，則有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(2,2)種結(jié)果；
②其中兩個玩偶各2個，另外一個玩偶1個，則有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)種結(jié)果，
故P(E5)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(3,5)A\\al(2,2)＋C\\al(1,3)C\\al(1,5)C\\al(2,4),35)＝eq \f(60＋90,243)＝eq \f(150,243)＝eq \f(50,81)；
若一次性購買4個乙系列盲盒，全部為B1與全部為B2的概率相等，均為eq \f(1,24)，
故P(F4)＝1－eq \f(1,24)－eq \f(1,24)＝eq \f(7,8).
(2)①由題可知，Q1＝eq \f(2,3)，
當n≥2時，
Qn＝eq \f(1,4)Qn－1＋eq \f(1,2)(1－Qn－1)＝eq \f(1,2)－eq \f(1,4)Qn－1，
則Qn－eq \f(2,5)＝－eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Qn－1－\f(2,5)))，Q1－eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)，
即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(Qn－\f(2,5)))是以eq \f(4,15)為首項，以－eq \f(1,4)為公比的等比數(shù)列．
所以Qn－eq \f(2,5)＝eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))n－1，
即Qn＝eq \f(2,5)＋eq \f(4,15)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))n－1.
②因為每天購買盲盒的100人都已購買過很多次，所以對于每一個人來說，某一天來購買盲盒時，可看作n→＋∞，所以其購買甲系列的概率近似于eq \f(2,5)，
假設(shè)用ξ表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，
則ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100，\f(2,5)))，
所以E(ξ)＝100×eq \f(2,5)＝40，即購買甲系列盲盒的人數(shù)的均值為40，所以禮品店應(yīng)準備甲系列盲盒40個，乙系列盲盒60個．
規(guī)律方法 本題的關(guān)鍵是通過審題，找到第n次購買與前一次購買之間的聯(lián)系，從而找到數(shù)列的遞推關(guān)系．
跟蹤演練1 (2022·青島模擬)規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回地任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則該輪記為成功，否則記為失敗．在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．
(1)某人進行該抽球試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和均值；
(2)為驗證抽球試驗成功的概率不超過eq \f(1,2)，有1 000名數(shù)學(xué)愛好者獨立地進行該抽球試驗，記t表示成功時抽球試驗的輪次數(shù)，y表示對應(yīng)的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
求y關(guān)于t的經(jīng)驗回歸方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \f(\(b,\s\up6(^)),t)＋eq \(a,\s\up6(^))，并預(yù)測成功的總?cè)藬?shù)(精確到1)；
(3)證明：eq \f(1,22)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,22)))eq \f(1,32)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,32)))eq \f(1,42)＋…＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,32)))…eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,n2)))eq \f(1,?n＋1?2)

相關(guān)學(xué)案

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六培優(yōu)點9圓錐曲線與圓的綜合問題學(xué)案：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六培優(yōu)點9圓錐曲線與圓的綜合問題學(xué)案，共11頁。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六培優(yōu)點8隱圓(阿波羅尼斯圓)問題學(xué)案：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六培優(yōu)點8隱圓(阿波羅尼斯圓)問題學(xué)案，共15頁。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一培優(yōu)點4極值點偏移問題學(xué)案：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一培優(yōu)點4極值點偏移問題學(xué)案，共11頁。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一培優(yōu)點3隱零點問題學(xué)案

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一培優(yōu)點3隱零點問題學(xué)案
2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五概率與統(tǒng)計培優(yōu)提能概率與統(tǒng)計的創(chuàng)新問題學(xué)案

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五概率與統(tǒng)計培優(yōu)提能概率與統(tǒng)計的創(chuàng)新問題學(xué)案
2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五概率與統(tǒng)計培優(yōu)提能非線性回歸問題學(xué)案

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五概率與統(tǒng)計培優(yōu)提能非線性回歸問題學(xué)案
2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五概率與統(tǒng)計第1講計數(shù)原理學(xué)案

2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題五概率與統(tǒng)計第1講計數(shù)原理學(xué)案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部