新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二培優(yōu)點5平面向量“奔馳定理”學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

考點一平面向量“奔馳定理”
定理：如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，則有S△PBC·eq \(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq \(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq \(PC,\s\up6(→))＝0.
例1 已知O是△ABC內(nèi)部一點，滿足eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋meq \(OC,\s\up6(→))＝0，且eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(4,7)，則實數(shù)m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析由奔馳定理得S△BOC·eq \(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq \(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
又eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋meq \(OC,\s\up6(→))＝0，
∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.
∴eq \f(S△AOB,S△ABC)＝eq \f(m,1＋2＋m)＝eq \f(4,7)，
解得m＝4.
易錯提醒利用平面向量“奔馳定理”解題時，要嚴格按照定理的格式，注意定理中的點P為△ABC內(nèi)一點；定理中等式左邊三個向量的系數(shù)不是三角形的面積，而是面積之比．
跟蹤演練1 設(shè)點O在△ABC內(nèi)部，且eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，則eq \f(S△OAB,S△OBC)＝________.
答案 eq \f(3,5)
解析由eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
得－12eq \(OA,\s\up6(→))＝4(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＋3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
整理得5eq \(OA,\s\up6(→))＋4eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))＝0，
所以eq \f(S△OAB,S△OBC)＝eq \f(3,5).
考點二 “奔馳定理”和三角形的“四心”(四心在三角形內(nèi)部)
(1)O是△ABC的重心
?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1
?eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(2)O是△ABC的內(nèi)心
?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c
?aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(3)O是△ABC的外心
?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C
?sin 2A·eq \(OA,\s\up6(→))＋sin 2B·eq \(OB,\s\up6(→))＋sin 2C·eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(4)O是△ABC的垂心
?S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C
?tan A·eq \(OA,\s\up6(→))＋tan B·eq \(OB,\s\up6(→))＋tan C·eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
考向1 “奔馳定理”與重心
例2 已知在△ABC中，G是重心，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且56aeq \(GA,\s\up6(→))＋40beq \(GB,\s\up6(→))＋35ceq \(GC,\s\up6(→))＝0，則B＝________.
答案 eq \f(π,3)
解析依題意，可得56a＝40b＝35c，
所以b＝eq \f(7,5)a，c＝eq \f(8,5)a，
所以cs B＝eq \f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)a))2,2a×\f(8,5)a)＝eq \f(1,2)，
因為0