考點一 不含參函數(shù)的隱零點問題
例1 (2022·濟寧質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝acs x＋bex(a，b∈R)，曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝－x.
(1)求實數(shù)a，b的值；
(2)當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，＋∞))時，f(x)≤c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．
解 (1)因為f′(x)＝－asin x＋bex，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f′?0?＝b＝－1，,f?0?＝a＋b＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－1.))
(2)由(1)知f(x)＝cs x－ex，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，＋∞))，
所以f′(x)＝－sin x－ex，
設(shè)g(x)＝－sin x－ex
g′(x)＝－cs x－ex＝－(cs x＋ex)．
當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))時，
cs x≥0，ex>0，所以g′(x)1，
所以g′(x)0，
所以?x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))，
使得f′(x0)＝－sin x0－
即＝－sin x0.
所以當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，x0))時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(x0，＋∞)時，f′(x)0時，證明：f(x)≥g(x)．
(1)解 g(x)＝eq \f(ln x,x)＋2的定義域為(0，＋∞)，
g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，
則當(dāng)x∈(0，e)時，g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)>0，
g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(e，＋∞)時，g′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)0)，
即xex＋1－ln x－x－2≥0.
令h(x)＝xex＋1－ln x－x－2(x>0)，
h′(x)＝(x＋1)ex＋1－eq \f(1＋x,x)
＝(x＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ex＋1－\f(1,x)))，
令φ(x)＝ex＋1－eq \f(1,x)，
則φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，
而φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,10)))＝－100，∴k≥eq \f(1＋ln x,x)－ex＋2恒成立，
令φ(x)＝eq \f(1＋ln x,x)－ex＋2，
則φ′(x)＝eq \f(\f(1,x)·x－?1＋ln x?,x2)－ex＝eq \f(－ln x－x2ex,x2)，
令μ(x)＝－ln x－x2ex(x>0)，
則μ′(x)＝－eq \f(1,x)－(2xex＋x2ex)
＝－eq \f(1,x)－xex(2＋x)0，μ(1)＝－ex0時，μ(x)

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