感悟高考 明確備考方向
5.[球的內(nèi)切問題] (2020·全國Ⅲ卷,T15)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為　　　　.?
高考對此部分內(nèi)容主要以選擇題、填空題的形式考查,難度為中檔或偏上,主要考查柱、錐、球的表面積與體積以及空間幾何體與球的切接問題,也常與數(shù)學(xué)文化或社會實際問題相結(jié)合命題.
突破熱點 提升關(guān)鍵能力
熱點一　空間幾何體的表面積與體積
1.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積(1)S圓柱側(cè)=2πrl,S圓柱表=2πr(r+l)(r為底面半徑,l為母線長).(2)S圓錐側(cè)=πrl,S圓錐表=πr(r+l)(r為底面半徑,l為母線長).(3)S圓臺側(cè)=π(r+r′)l,S圓臺表=π(r′2+r2+r′l+rl)(r′,r分別為上、下底面半徑,l為母線長).(4)S球表=4πR2(R為球的半徑).
2.空間幾何體的體積公式(1)V柱=Sh(S為底面面積,h為高).
空間幾何體的表面積與體積的求法(1)公式法:對于規(guī)則的幾何體的表面積和體積,可直接利用公式求解.(2)割補法:把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,然后進行體積的計算,或不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體,不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體,便于計算.(3)等體積法:等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形,通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法,多用來解決錐體,特別是三棱錐的體積.
確定截面的主要依據(jù)有(1)平面的基本事實與推論.(2)直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理.(3)平面和平面平行的性質(zhì)定理.(4)球的截面的性質(zhì).
空間幾何體的截面作圖的常用方法(1)平行線法.用平行線法解決截面問題的關(guān)鍵是截面與幾何體的兩個平行平面相交,或者截面上有一條直線與截面上某點所在的幾何體的某一個表面平行.(2)延長線法.用延長線法解決截面問題的關(guān)鍵是截面上的點中至少有兩個點在一個幾何體的一個表面上,那么這兩點的連線一定在截面內(nèi).
求空間多面體的外接球半徑的常用方法:(1)補形法:側(cè)面為直角三角形,或正四面體,或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?可以還原到正方體或長方體中去求解.(2)定義法:到各個頂點的距離均相等的點為外接球的球心,借助有特殊性底面的外接圓圓心,找其垂線,則球心一定在垂線上,再根據(jù)球心到其他頂點的距離也是半徑,列關(guān)系式求解即可.
解決與球有關(guān)的切、接問題,其通法是作出截面,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解,其解題思維流程如下:(1)定球心:如果是內(nèi)切球,球心到切點的距離相等且為半徑;如果是外接球,球心到接點的距離相等且為半徑.(2)作截面:選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的關(guān)系),達到空間問題平面化的目的.(3)求半徑下結(jié)論:根據(jù)所作截面中的幾何元素,建立關(guān)于球半徑的方程(組),并求解.

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