感悟高考 明確備考方向
1.[探索性問(wèn)題](2021·全國(guó)甲卷,T19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;
1.[探索性問(wèn)題](2021·全國(guó)甲卷,T19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1.(2)當(dāng)B1D為何值時(shí),面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小?
2.[探索條件問(wèn)題](2022·全國(guó)乙卷,T18)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面BED⊥平面ACD;
(1)證明:因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn),所以AC⊥DE;在△ABD和△CBD中,因?yàn)锳D=CD,∠ADB=∠BDC,DB=DB,所以△ABD≌△CBD,所以AB=CB,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn),所以AC⊥BE.又因?yàn)镈E,BE?平面BED,DE∩BE=E,所以AC⊥平面BED,因?yàn)锳C?平面ACD,所以平面BED⊥平面ACD.
2.[探索條件問(wèn)題](2022·全國(guó)乙卷,T18)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),求CF與平面ABD所成的角的正弦值.
高考對(duì)空間距離的考查既有客觀題也有解答題,處理方法常有兩種:(1)等體積法;(2)空間向量法.難度中等或偏上;對(duì)探索性問(wèn)題的考查常以解答題的形式出現(xiàn),難度中等偏上.
突破熱點(diǎn) 提升關(guān)鍵能力
典例1　(2022·北京一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=1,M為線段A1C1上一點(diǎn).(1)求證:BM⊥AB1;
典例1　(2022·北京一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=1,M為線段A1C1上一點(diǎn).
點(diǎn)面距的求解步驟(1)求出該平面的一個(gè)法向量.(2)找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量.(3)求出法向量與斜線段對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積的絕對(duì)值,再除以法向量的模,即可求出點(diǎn)到平面的距離.
(1)求證:QB∥平面PDC;
(2)求二面角C-PB-Q的大小;
熱點(diǎn)二　空間中的探索性問(wèn)題
與空間向量有關(guān)的探究性問(wèn)題主要有兩類(lèi):一類(lèi)是探究線面的位置關(guān)系;另一類(lèi)是探究線面角或二面角滿足特定要求時(shí)的存在性問(wèn)題.處理原則:先建立空間直角坐標(biāo)系,引入?yún)?shù)(有些是題中已給出),設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo),然后探究這樣的點(diǎn)是否存在,或參數(shù)是否滿足要求,從而做出判斷.
典例2　(2022·江蘇連云港二模)如圖,在三棱錐A-BCD中,△ABC是正三角形,平面ABC⊥平面BCD,BD⊥CD,點(diǎn)E,F分別是BC,DC的中點(diǎn).(1)證明:平面ACD⊥平面AEF;
(1)證明:因?yàn)椤鰽BC是正三角形,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),所以AE⊥BC,又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,AE?平面ABC,所以AE⊥平面BCD,又因?yàn)镃D?平面BCD,所以CD⊥AE,因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),所以EF∥BD,又因?yàn)锽D⊥CD,所以CD⊥EF,又因?yàn)锳E∩EF=E,AE,EF?平面AEF,所以CD⊥平面AEF,又因?yàn)镃D?平面ACD,所以平面ACD⊥平面AEF.
典例2　(2022·江蘇連云港二模)如圖,在三棱錐A-BCD中,△ABC是正三角形,平面ABC⊥平面BCD,BD⊥CD,點(diǎn)E,F分別是BC,DC的中點(diǎn).(2)若∠BCD=60°,點(diǎn)G是線段BD上的動(dòng)點(diǎn),問(wèn):點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),平面AEG與平面ACD所成的銳二面角最小.
解決立體幾何中探索性問(wèn)題的基本方法(1)通常假設(shè)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立,再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理,如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí),說(shuō)明假設(shè)成立,并可進(jìn)一步證明,否則假設(shè)不成立.(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí),一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用.
熱點(diǎn)訓(xùn)練2　 (2022·廣西桂林二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn),F為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證:平面AEF⊥平面PBC;
(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PA⊥BC,因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,所以AB⊥BC,又PA∩AB=A,PA,AB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB,因?yàn)锳E?平面PAB,所以AE⊥BC,因?yàn)镻A=AB,E為線段PB的中點(diǎn),所以AE⊥PB,又PB∩BC=B,PB,BC?平面PBC,所以AE⊥平面PBC,又AE?平面AEF,所以平面AEF⊥平面PBC.
熱點(diǎn)訓(xùn)練2　 (2022·廣西桂林二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn),F為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).(2)試確定點(diǎn)F的位置,使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°.

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