2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四立體幾何第3講空間向量與空間角課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

感悟高考明確備考方向
1.[異面直線所成的角與線面角](多選題)(2022·新高考Ⅰ卷,T9)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則(　　)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°
(1)求A到平面A1BC的距離;
(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn),AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.
解:(2)取A1B的中點(diǎn)E,連接AE,如圖,因?yàn)锳A1=AB,所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,且AE?平面ABB1A1,所以AE⊥平面A1BC,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,由BC?平面A1BC,BC?平面ABC可得AE⊥BC,BB1⊥BC,又AE,BB1?平面ABB1A1且相交,所以BC⊥平面ABB1A1,又易知BA⊥BB1,所以BC,BA,BB1兩兩垂直,以B為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
(1)證明:BD⊥PA;
(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.
1.利用空間向量求二面角或線面角是高考熱點(diǎn),通常以解答題的形式出現(xiàn),難度中等.2.探究空間幾何體中線、面位置關(guān)系或空間角存在的條件,一般以解答題的形式考查,難度中等偏上.
突破熱點(diǎn) 提升關(guān)鍵能力
熱點(diǎn)一　異面直線所成的角
典例1　如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,邊長(zhǎng)為4,E為AB的中點(diǎn),PE⊥平面ABCD.(1)若△PAB為等邊三角形,求四棱錐P-ABCD的體積;
典例1　如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,邊長(zhǎng)為4,E為AB的中點(diǎn),PE⊥平面ABCD.(2)若CD的中點(diǎn)為F,PF與平面ABCD所成角為45°,求PC與AD所成角的余弦值.
熱點(diǎn)訓(xùn)練1　 (2022·天津?yàn)I海新區(qū)模擬)如圖所示,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AE⊥底面ABCD,AE∥CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.(1)求證:BF∥平面ADE;
(1)證明:因?yàn)锳E∥CF,AE?平面BFC,CF?平面BFC,所以AE∥平面BFC,因?yàn)锳D∥BC,同理可得AD∥平面BFC,又AD∩AE=A,AD,AE?平面ADE,所以平面BFC∥平面ADE,因?yàn)锽F?平面BFC,所以BF∥平面ADE.
熱點(diǎn)訓(xùn)練1　 (2022·天津?yàn)I海新區(qū)模擬)如圖所示,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AE⊥底面ABCD,AE∥CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.(2)求直線BE與直線DF所成角的余弦值.
熱點(diǎn)二　直線與平面所成的角
(1)證明:A1C1⊥A1B;
(1)證明:取AC的中點(diǎn)D,連接A1D,BD,由A1A=A1C,AB=BC,則AC⊥A1D,AC⊥BD,又A1D,BD?平面A1BD,A1D∩BD=D,故AC⊥平面A1BD,因?yàn)锳1B?平面A1BD,故AC⊥A1B,又AC∥A1C1,則A1C1⊥A1B.
(2)求直線A1C1與平面A1CB所成的角.
(2)解:因?yàn)椤螦BC=90°,則AD=BD=CD,又A1A=A1B,A1D=A1D.故△AA1D≌△BA1D,故∠A1DB=∠A1DA=90°.
(2)利用方程思想求法向量,計(jì)算易出錯(cuò),要認(rèn)真細(xì)心.
(1)求證:平面MCE⊥平面ABDE;
(2)求直線CD與平面MCE所成角的正弦值.
熱點(diǎn)三　平面與平面的夾角
典例3　(2022·新高考Ⅱ卷)如圖,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中點(diǎn).(1)證明:OE∥平面PAC;
(1)證明:連接BO并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D,連接OA,PD,因?yàn)镻O是三棱錐P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,AO,BO?平面ABC,所以PO⊥AO,PO⊥BO,又PA=PB,所以△POA≌△POB,即OA=OB,所以∠OAB=∠OBA,又AB⊥AC,即∠BAC=90°,所以∠OAB+∠OAD=90°,∠OBA+∠ODA=90°,所以∠ODA=∠OAD,所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以O(shè)為BD的中點(diǎn),又E為PB的中點(diǎn),所以O(shè)E∥PD,又OE?平面PAC,PD?平面PAC,所以O(shè)E∥平面PAC.
典例3　(2022·新高考Ⅱ卷)如圖,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中點(diǎn).(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.
兩向量夾角的范圍是[0,π],二面角的平面角與其對(duì)應(yīng)的兩法向量的夾角之間不一定相等,而是相等或互補(bǔ)的關(guān)系,要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小.
(1)求證:AB⊥ 平面POC;
(2)點(diǎn)E為線段BP上靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn),求平面POC與平面EOC所成的銳二面角的余弦值.

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