2022-2023學(xué)年重慶市永川北山中學(xué)校高二上學(xué)期第一次月考（10月）數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是，則的值為（    ）A．2 B． C． D．5【答案】B【分析】由題意利用直線的斜率的定義和公式可得，由此求得的值．【詳解】解：過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是，，，故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率的定義和公式，屬于基礎(chǔ)題．2．已知圓的方程為，則圓的半徑為（    ）A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出圓的半徑.【詳解】將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，∴  圓的半徑為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，通過配方把一般式化為標(biāo)準(zhǔn)式即可得出圓的圓心和半徑.3．如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若，，，則下列向量中與相等的向量是（    ）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A4．在平面直角坐標(biāo)系中，某菱形的一組對邊所在的直線方程分別為和，另一組對邊所在的直線方程分別為和，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榱庑嗡臈l邊都相等，所以每邊上的高也相等，且菱形對邊平行，直線和之間的距離為：，和之間的距離為：，于是有：，故選：B5．任意三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這個(gè)結(jié)論首先是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707﹣1783）發(fā)現(xiàn)，因此，這條直線被稱為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)B（5，0），C（0，1），且AB＝AC，則△ABC的歐拉線方程為（    ）A．5x﹣y﹣12＝0 B．5x﹣y﹣24＝0 C．x﹣5y+12＝0 D．x﹣5y＝0【答案】A【分析】本題先判斷△ABC的歐拉線方程為底邊BC的垂直平分線，再求BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，直線BC的方程，最后求底邊BC的垂直平分線方程，即可解題.【詳解】解：∵ AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴△ABC的歐拉線方程為底邊BC的垂直平分線，∵B（5，0），C（0，1），∴ BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，直線BC的方程：，即，∴ 設(shè)底邊BC的垂直平分線方程：，將代入解得：，∴△ABC的歐拉線方程為：故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查求垂直平分線方程，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，是基礎(chǔ)題.6．已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線反射后，再射到直線上，最后經(jīng)直線反射后又回到點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是（    ）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】求出關(guān)于直線的對稱點(diǎn)和它關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則的長就是所求路程．【詳解】由題意直線方程為，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，解得，即，又關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，．故選：C7．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：可以通過幾何法找到異面直線所成角的平面角，結(jié)合余弦定理可以求出；解法二：通過空間向量法，用坐標(biāo)運(yùn)算可以求出.【詳解】解法一：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接FE，如圖，∵E是BC的中點(diǎn)，∴∥，,,;在中，由余弦定理可知 ∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為，解法二：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，易知，，，所以，， 則，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為.故選：D8．已知定直線l的方程為，點(diǎn)Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作圓的一條切線，是切點(diǎn)，C是圓心，若面積的最小值為，則此時(shí)直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由題意可得直線l的方程為，再求出圓C的圓心坐標(biāo)與半徑，由面積的最小值為求得，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解k，可得直線l的方程，進(jìn)一步求得直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值．【詳解】解：由題意可得直線l的方程為，圓C的圓心，半徑為1，如圖：，又，當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，此時(shí)，可得，，則，解得，則直線l的方程為，則直線l上的動(dòng)點(diǎn)E與圓C上動(dòng)點(diǎn)F的距離的最小值為．故選：B． 二、多選題9．下列說法正確的有（    ）A．若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則在第二象限B．直線過定點(diǎn)C．方程 表示的圖形是圓D．斜率為，在軸截距為3的直線方程為【答案】AB【分析】運(yùn)用圓與直線有關(guān)知識逐項(xiàng)分析可以求解.【詳解】對于A，由直線經(jīng)過第一、二、四象限，得到斜率截距，故點(diǎn)在第二象限，正確；對于B，由直線整理得，所以無論a取何值點(diǎn)都滿足直線方程，正確；對于C，將方程配方得，表示的圖形是一個(gè)點(diǎn)，錯(cuò)誤；對于D，斜率為-2，在y軸截距為3的直線方程為，錯(cuò)誤；故選：AB.10．已知集合，，且，則的值可以為（    ）A．-6 B．-3 C．-2 D．2【答案】AC【分析】由集合表示直線上的點(diǎn)作為元素構(gòu)成的點(diǎn)集，且除去點(diǎn)，結(jié)合兩直線平行或直線過點(diǎn)，分類討論，即可求解.【詳解】由方程，可得，即，即集合表示直線上的點(diǎn)作為元素構(gòu)成的點(diǎn)集，且除去點(diǎn)，又由集合，要使得，當(dāng)直線與平行時(shí)，可得，解得；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，即，解得，所以的值可以為為或.故選：AC.11．已知向量，，，其中，均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（    ）A．與的夾角為鈍角 B．C．的最大值為2. D．，時(shí)，，，三個(gè)向量共面.【答案】BCD【分析】由，得到與的夾角為銳角，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)，列出方程組，可判定B正確；由，結(jié)合基本不等式，可得判定C正確；設(shè)，列出方程組，求得的值，可判定D正確.【詳解】對于A中，向量，，可得，所以與的夾角為銳角，所以A錯(cuò)誤；對于B中，由且，因?yàn)?/span>，可得，即，可得，可得，所以B正確；對于C中，因?yàn)?/span>，均為正數(shù)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，所以，解得，即的最大值為，所以C正確；對于D中，當(dāng)時(shí)，向量，設(shè)，可得，所以，解得，即，所以向量三個(gè)向量共面，所以D正確.故選：BCD.12．設(shè)m∈R，直線與直線相交于點(diǎn)P（x，y），線段AB是圓C：的一條動(dòng)弦，Q為弦AB的中點(diǎn)，，下列說法正確的是（    ）A．點(diǎn)P在定圓 B．點(diǎn)P在圓C外C．線段PQ長的最大值為 D．的最小值為【答案】BCD【分析】根據(jù)直線與直線可求得兩直線分別過定點(diǎn)和定點(diǎn)，且兩直線垂直，從而可得交點(diǎn)的軌跡方程，即可判斷A；判斷點(diǎn)的軌跡圓與圓C的位置關(guān)系即可判斷B；根據(jù)Q為弦AB的中點(diǎn)，，可得弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心的圓，則線段PQ長的最大值為圓心距加兩圓的半徑，從而可判斷C；，求出線段PQ長的最小值，即可判斷D.【詳解】解：直線過定點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，又，所以兩直線垂直，所以兩直線的交點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓，，所以交點(diǎn)的軌跡方程為，故A錯(cuò)誤；圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?/span>，所以圓與圓C：相離，即點(diǎn)P在圓C外，故B正確；因?yàn)?/span>Q為弦AB的中點(diǎn)，，所以，所以弦AB的中點(diǎn)Q的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，則點(diǎn)Q的軌跡方程為，則圓與圓相離，所以線段PQ長的最大值為，故C正確；，因?yàn)榫€段PQ長的最小值為，所以的最小值為，即的最小值為，故D正確.故選：BCD. 三、填空題13．已知圓，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線的方程是___________．【答案】【分析】設(shè)，利用以為中點(diǎn)的弦所在的直線即為經(jīng)過點(diǎn)且垂直于AC的直線求得直線斜率，由點(diǎn)斜式可求得直線方程【詳解】圓的方程可化為，可知圓心為．設(shè)，則以為中點(diǎn)的弦所在的直線即為經(jīng)過點(diǎn)且垂直于的直線．又知，所以，所以直線的方程為，即．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查圓的幾何性質(zhì)，考查直線方程求解，是基礎(chǔ)題14．如圖，正四面體ABCD的長為1，點(diǎn)E是棱CD的中點(diǎn)，則______．【答案】##0.5【分析】由圖象及已知條件，先用與來表示，再求，分別與的數(shù)量積，進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)E是棱CD的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)檎拿骟wABCD的長為1，所以，所以.故答案為：.15．曲線：與：恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________．【答案】【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系以及成圓的充要條件，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解：圓:，即，其圓心，半徑圓:，即，其圓心，半徑，則必有，即兩圓圓心的距離若兩圓有4條公切線，則兩圓外離，必有，解得：則的取值范圍為.故答案為：. 四、雙空題16．在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，現(xiàn)將△ABC沿對角線AC翻折，得到四面體DABC，則該四面體外接球的體積為________；設(shè)二面角D－AC－B的平面角為θ，當(dāng)θ在內(nèi)變化時(shí)，BD的取值范圍為________．【答案】          【分析】分別過點(diǎn)，作，計(jì)算得到，得到半徑和體積，根據(jù)，計(jì)算，得到答案.【詳解】如圖1，分別過點(diǎn)，作，垂足分別為F，E，則在四面體中也滿足．因?yàn)?/span>，，所以，，則，．在四面體ABCD中，三角形ABC和三角形DAC均為直角三角形，設(shè)點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，如圖2，連接OB，OD，則，即點(diǎn)O為四面體ABCD外接球的球心，則外接球的半徑，所以外接球的體積．在四面體ABCD中，，因?yàn)槎娼?/span>的平面角為θ，且，所以和的夾角為，所以因?yàn)?/span>，所以，則．故答案為：； 五、解答題17．已知的頂點(diǎn)A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)直線BC的方程；【答案】(1)；(2). 【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)C在中線上及求得答案；（2）設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)中線的方程及求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線BC的方程.【詳解】（1）設(shè) C點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由題知，即.（2）設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，則中點(diǎn)M坐標(biāo)代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.18．已知空間三點(diǎn)，設(shè)，.(1)若向量與互相垂直，求的值；(2)求向量在向量上的投影向量.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可；（2）利用向量投影的概念及公式可計(jì)算.【詳解】（1）解：由已知得，. 所以，. 因?yàn)?/span>與互相垂直，所以，即，解得或.（2）解：因?yàn)?/span>，，，所以，所以向量在向量上的投影向量.19．已知圓C：，直線過定點(diǎn)．(1)若與圓相切，求直線的方程；(2)若點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)，求的最大值和最小值．【答案】(1)或(2)， 【分析】（1）分類考慮直線斜率不存在或存在，根據(jù)直線與圓相切，即可求解直線方程；（2）可以看作圓上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方，根據(jù)點(diǎn)與圓上的點(diǎn)求解距離的最大值與最小值，即可得的最大值和最小值．【詳解】（1）若直線的斜率不存在，即直線的方程為，符合題意直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，即．由題意知，圓心到直線的距離等于半徑，即．解得．綜上，直線的方程為或；（2）因?yàn)?/span>，所以可以看作圓上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的平方，把點(diǎn)代入圓的方程，得，所以點(diǎn)在圓外，所以圓上的點(diǎn)到的最大距離為， 最小距離為其中為圓心到點(diǎn)的距離，又因?yàn)?/span>，故最大距離為，最小距離為，所以，.20．如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，,且,O為中點(diǎn).（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）見解析；（2）【詳解】Ⅰ）先證明，根據(jù)平面平面，證得平面；（Ⅱ）向量法求解．解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>，且O為AC的中點(diǎn)，所以. ………1分又由題意可知，平面平面，交線為，且平面，所以平面. ………4分（Ⅱ）如圖，以O為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由題意可知，又所以得:則有： ………6分 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得所以. ………………7分. ………………9分因?yàn)橹本€與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以.21．已知圓C：x2+y2﹣8x﹣6y+F＝0與圓O：x2+y2＝4相外切，切點(diǎn)為A，過點(diǎn)P（4，1）的直線與圓C交于點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為Q．（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）若|AQ|＝|AP|，點(diǎn)P與點(diǎn)Q不重合，求直線MN的方程及△AMN的面積．【答案】（1）；（2），.【分析】（1）利用兩圓外切確定圓，通過弦心距與弦垂直可得，故知軌跡為以為直徑的圓；（2）先求得點(diǎn)坐標(biāo)，由可知，也在以為圓心，以為直徑的圓上，該圓與點(diǎn)的軌跡圓聯(lián)立可得直線也即直線的方程，之后利用點(diǎn)到直線距離公式等知識求解即可．【詳解】解：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑為，由圓與圓相外切可知，解得，圓，又，則點(diǎn)在圓內(nèi)，弦過點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，其方程為；（2）線段與圓的交點(diǎn)為，由，解得，若，則，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與點(diǎn)的軌跡的交點(diǎn)，由，與，作差可得，即直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，，點(diǎn)到直線的距離，的面積．22．如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)，別是邊BC，CD的中點(diǎn)，，．沿MN將翻折到的位置，連接PA、PB、PD，得到如圖2所示的五棱錐P—ABMND．(1)在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四棱錐P—MNDB體積最大時(shí)，在線段PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面QMN與平面PMN夾角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)Q的位置；若不存在，請說明理由．【答案】(1)在翻折過程中總有平面PBD⊥平面PAG，證明見解析(2)符合題意的點(diǎn)存在且為線段的中點(diǎn)． 【分析】（1）證明出平面，進(jìn)而證明面面垂直；（2）易得當(dāng)平面時(shí)，四棱錐體積最大，再建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)（），利用空間向量和二面角的大小，列出方程，確定點(diǎn)的位置【詳解】（1）在翻折過程中總有平面平面，證明如下：∵點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，又，∴，且是等邊三角形，∵是的中點(diǎn)，∴，∵菱形的對角線互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）由題意知，四邊形為等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面積，要使得四棱錐體積最大，只要點(diǎn)到平面的距離最大即可，∴當(dāng)平面時(shí)，點(diǎn)到平面的距離的最大值為.假設(shè)符合題意的點(diǎn)存在．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又，又，且，平面，平面，平面，故平面的一個(gè)法向量為，設(shè)（），∵，，故，∴，，平面的一個(gè)法向量為，則，，即令，所以，則平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，即，解得：，故符合題意的點(diǎn)存在且為線段的中點(diǎn)． 

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