2022-2023學(xué)年重慶市永川北山中學(xué)校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程求得集合,然后利用補(bǔ)集定義求得.【詳解】由解得,∴，又∵,∴,故選：D.2．命題“，”的否定是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】利用全稱(chēng)命題的否定可得出結(jié)論.【詳解】命題“，”為全稱(chēng)命題，該命題的否定為：，.故選：D.3．“”是“”的（    ）條件.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)不等式關(guān)系，結(jié)合充分條件和必要條件的定義來(lái)判斷出是什么條件.【詳解】解：由題意，設(shè)，，∵，∴“”是“”的必要不充分條件故選：B.4．函數(shù)，f(x)=lg(x-1)的定義域是A．(2，+∞) B．(1,+∞) C．[1，+∞) D．[2，+∞)【答案】B【詳解】考查函數(shù)的定義域，利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0即求得． 5．設(shè)，則這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】B【詳解】，所以，故選B．6．已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A． B．C． D．【答案】D【解析】先求，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求值.【詳解】 是奇函數(shù)，滿(mǎn)足，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用奇偶性求函數(shù)值，重點(diǎn)考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題型.7．某部影片的盈利額（即影片的票房收入與固定成本之差）記為，觀影人數(shù)記為，其函數(shù)圖象如圖（1）所示.由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后與的函數(shù)圖象.給出下列四種說(shuō)法：①圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高成本；②圖（2）對(duì)應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低成本；③圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持成本不變；④圖（3）對(duì)應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低成本.其中，正確的說(shuō)法是（    ）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【分析】根據(jù)圖象可知盈利額與觀影人數(shù)成一次函數(shù)關(guān)系，再分別根據(jù)(2)和(3)的圖象進(jìn)行分析即可得出答案.【詳解】由圖象(1)可設(shè)盈利額與觀影人數(shù)的函數(shù)為，顯然，，為票價(jià).當(dāng)時(shí)，，則為固定成本.由圖象(2)知，直線向上平移，不變，即票價(jià)不變，變大，且，則變小，成本減小.故①錯(cuò)誤，②正確；由圖象(3)知，直線與軸的交點(diǎn)不變，直線斜率變大.變大，即提高票價(jià)，不變，則不變，成本不變.故③正確，④錯(cuò)誤.故選：C.8．對(duì)于，不等式恒成立，則a的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先將指數(shù)函數(shù)化成同底，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等關(guān)系，解決恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成圖象恒在x軸上方即判別式小于零即可．【詳解】解：根據(jù)y在R上是單調(diào)減函數(shù)則x2﹣2ax＞﹣3x﹣a2在R上恒成立，即x2+（3﹣2a）x+a2＞0在R上恒成立，△＝（3﹣2a）2﹣4a2<0解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，屬于基礎(chǔ)題． 二、多選題9．若函數(shù)是冪函數(shù)，則一定（    ）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】BD【解析】根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，由求得m，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，解得或，所以或，由冪函數(shù)性質(zhì)知是奇函數(shù)且單調(diào)遞增，故選：BD.10．給出下列四個(gè)命題是真命題的是（    ）A．函數(shù)的定義域中的任意，滿(mǎn)足B．奇函數(shù)的圖像一定通過(guò)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；C．函數(shù)的圖像可由的圖像向右平移1個(gè)單位得到；D．若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；【答案】ACD【分析】選項(xiàng)A由函數(shù)的凹凸性可判斷；選項(xiàng)B由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷；選項(xiàng)C通過(guò)函數(shù)平移法則可判斷；選項(xiàng)D通過(guò)抽象函數(shù)定義域可判斷.【詳解】解：A選項(xiàng)：函數(shù)為上凸函數(shù)，如圖，所以中點(diǎn)處的函數(shù)值比函數(shù)值的一半要大，故A正確；B選項(xiàng)：奇函數(shù)的圖像不一定通過(guò)直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，如，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：根據(jù)左加右減的原則可知：函數(shù)的圖像可由的圖像向右平移1個(gè)單位得到，故C正確；D選項(xiàng)：由抽象函數(shù)定義域可知：若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，故D正確；故選：ACD.11．若關(guān)于的不等式的解集是，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B．的解集是C． D．的解集是【答案】AB【分析】首先利用不等式和對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系，可得，，再判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?/span>的解集是，所以，且的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是或，即，，解得：，，故A正確；C不正確；，即，解得：，故B正確；，即，解得：，故D不正確.故選：AB【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查一元二次方程和不等式的關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的值.12．若正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】利用基本不等式可判斷AB選項(xiàng)的正誤；將與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用基本不等式求出的最大值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由于正實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.對(duì)于A選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方. 三、填空題13．計(jì)算：__________．【答案】6【分析】利用對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即得.【詳解】原式,故答案為：614．已知，則的解析式為__________.【答案】【分析】令，利用換元法可以得到.【詳解】令,,.故答案為：.15．已知函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】當(dāng)x≥-1時(shí)，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）是減函數(shù)，從而區(qū)間[a，+∞）左端點(diǎn)a應(yīng)該在-1的右邊，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】∵函數(shù)，函數(shù)f（x）=|x+1|在區(qū)間[a，+∞）是增函數(shù)，當(dāng)x≥-1時(shí)，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）是減函數(shù)，∴區(qū)間[a，+∞）左端點(diǎn)a應(yīng)該在-1的右邊，即a≥-1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．故答案為[-1，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的取值范圍的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．16．已知函數(shù)，若方程恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，原題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求數(shù)的取值范圍的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，因?yàn)?/span>恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：. 四、解答題17．已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）,（2）【解析】（1）化簡(jiǎn)集合，求出，再根據(jù)并集的概念求出，根據(jù)交集的概念求出；（2）由得，再按照和兩種情況討論可求得結(jié)果.【詳解】（1），或，，，或.（2）因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，滿(mǎn)足 ；當(dāng)，即時(shí)，由得，解得，綜上所述：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：第（2）問(wèn)容易漏掉時(shí)的情況.18．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．　（1）求函數(shù)的解析式；（2）現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)在軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請(qǐng)補(bǔ)全完整函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)（2）中畫(huà)出的函數(shù)圖像，直接寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為和．【詳解】試題分析：（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合時(shí)，即可求出；（2）因?yàn)槠婧瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，故可畫(huà)出另一側(cè)圖象.（3）觀察圖象，從左向右看，上升為增函數(shù)，下降為減函數(shù)，據(jù)此寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間.試題解析：（1）設(shè)，則，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴（），∴（2）函數(shù)的圖象如圖所示：（3）由圖像可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間為和．點(diǎn)睛：本題全面考察了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，圖象，恒成立問(wèn)題，屬于中檔題.涉及了利用奇偶性求函數(shù)的解析式，函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，二次函數(shù)分類(lèi)討論求函數(shù)的最小值，恒成立問(wèn)題，恒成立問(wèn)題一般要轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題，求函數(shù)最小值時(shí)，可根據(jù)函數(shù)的類(lèi)型選用不同方法.19．已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并給予證明；(3)求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)；(2)函數(shù)為奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)解析. 【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0見(jiàn)解析即可；（1）根據(jù)奇偶性證明步驟進(jìn)行即可；（3）分類(lèi)討論，單調(diào)性不同兩種情況即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，函數(shù)，所以，解可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>；（2）由（1）得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因?yàn)楹瘮?shù)，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù).（3）根據(jù)題意，即，當(dāng)時(shí)，有，解可得，此時(shí)不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，有，解可得，此時(shí)不等式的解集為所以當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.20．通過(guò)研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，專(zhuān)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的注意力隨著老師講課時(shí)間的變化而變化，講課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間一段時(shí)間，學(xué)生保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散，設(shè)表示學(xué)生注意力隨時(shí)間的變化規(guī)律（越大，表明學(xué)生注意力越集中），經(jīng)實(shí)驗(yàn)分析得知：（1）講課開(kāi)始多少分鐘，學(xué)生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？（2）一道數(shù)學(xué)難題，需要講解，并且要求學(xué)生的注意力至少達(dá)到180，那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能否在學(xué)生達(dá)到所需要的狀態(tài)下講完這道題目？【答案】（1）講課開(kāi)始后10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能堅(jiān)持10分鐘；（2）經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講完這道題目．【分析】（1）對(duì)分段函數(shù)討論，當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求得最大值即可；（2）當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得，作差即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，取得最大值240，時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，隨的增大而減?。?/span>此時(shí)．故，，即有講課開(kāi)始后10分鐘，學(xué)生的注意力最集中，能堅(jiān)持10分鐘；（2）當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得．由于，則經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，老師能在學(xué)生達(dá)到所需的狀態(tài)下講完這道題目．21．已知對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有：，且當(dāng)時(shí)，有．（1）求；（2）求證：在上為增函數(shù)；（3）若，且關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】(1)在已知恒等式中令可得;(2)用增函數(shù)的定義可證;(3)利用已知恒等式和求得,再將不等式化為后,利用單調(diào)性可化為在上恒成立,再利用二次函數(shù)的最值可解決.【詳解】（1）解：令，則，解得．（2）證明：設(shè)是上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，則則所以，由得，所以，故，即，所以在上為增函數(shù)．（3）由已知條件有：，故原不等式可化為：，即，因?yàn)?/span>,所以,因?yàn)?/span>,所以,故不等式可化為．由（2）可知在上為增函數(shù)，所以，即在上恒成立，令，即成立即可，（i）當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增．則解得，所以，（ii）當(dāng)，即時(shí)，有，化簡(jiǎn)得:,即,解得，而，所以，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,利用單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式,不等式恒成立,分類(lèi)討論求二次函數(shù)的最小值,屬于難題.22．已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）判斷的單調(diào)性，并證明你的判斷；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>.若存在，求出的取值范圍；若不存在說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）存在，.【解析】（1）由偶函數(shù)的定義即可求得a的值；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷并證明；（3）假設(shè)存在，根據(jù)題意列出方程，解出即可.【詳解】（1）函數(shù)為偶函數(shù)， ，即，；（2）當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，證明：設(shè)，則，，，，，即，故在上為增函數(shù)；同理可證在上為減函數(shù)；（3）函數(shù)在上為增函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>，則滿(mǎn)足，即，即m，n是方程的兩個(gè)不等的正根，則滿(mǎn)足，解得，故存在，使得結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛： ，所以m，n是方程的兩個(gè)不等的正根，注意. 

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