?廣東省廣州市越秀區(qū)知用學(xué)校
2022-2023學(xué)年第一學(xué)期九年級數(shù)學(xué)第二次月考測試題（附答案）
一、選擇題（共30分）
1．方程（x﹣2）（x+3）＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣3 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝﹣3
2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
3．把二次函數(shù)y＝x2的圖象沿著x軸向左平移2個單位，再向上平移3個單位，所得到的函數(shù)圖象的解析式為（　　）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x﹣2）2﹣3
4．⊙O的直徑為10，同一個平面內(nèi)有一點(diǎn)P，且OP＝5，則P與⊙O的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．P在圓內(nèi) B．P在圓上 C．P在圓外 D．無法確定
5．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8．把△ABC繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△AB'C'，點(diǎn)B'恰好落在AC邊上，則CC'＝（　?。?br />
A．10 B．2 C．2 D．4
6．在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，點(diǎn)A、O、D都在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△ABO和△DCO的位似中心，則△ABO與△DCO的周長比為（　?。?br />
A．5：2 B．25：4 C．4：25 D．2：5

7．如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CAB＝20°，則∠AOD等于（　　）

A．120° B．140° C．150° D．160°
8．用一個圓心角為120°，半徑為2的扇形作一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面圓半徑為（　?。?br /> A． B． C． D．
9．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且BD＝2AD，CE＝2AE，則下列結(jié)論中不成立的是（　　）

A．△ABC∽△ADE B．DE∥BC
C．DE：BC＝1：2 D．S△ABC＝9S△ADE
10．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+5，若P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且y1＞y2，則實(shí)數(shù)n的取值范圍為（　?。?br /> A．n＜﹣1 B．n＜0 C．n＜1 D．n＜2
二、填空題（本大題每題3分，共18分）
11．已知點(diǎn)P（2，﹣6）與點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a+b＝　 　．
12．在一個不透明的袋子中裝有紅球、黃球共30個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出黃球的頻率穩(wěn)定在0.30左右，則袋子中黃球的數(shù)量可能是 　 　個．
13．如圖，PA、PB、CD為⊙O的切線，A、B、E為切點(diǎn)，PA＝10，則△PCD的周長為　 ?。?br />


14．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE＝40cm，EF＝20cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.6m，CD＝8m，則樹高AB為 　 　m．

15．已知二次函數(shù)y＝2020x2+2021x+2022的圖象上有兩點(diǎn)A（x1，2023）和B（x2，2023），則當(dāng)x＝x1+x2時，二次函數(shù)的值是 　 ?。?br /> 16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)B作BG⊥AE于點(diǎn)G，連接CG并延長交AD于點(diǎn)F，則AF的最大值是　 ?。?br />
三．解答題（本大題共72分）
17．（解方程：x2﹣10x+16＝0．
18．如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，5），B（﹣4，2），C（﹣2，2）．
（1）將△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；
（2）求旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）．

19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）求證：△BDE∽△CAD．
（2）若AB＝13，BC＝10，求線段DE的長．

20．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有兩個實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）若方程的兩根滿足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值．
21．有A、B兩個黑布袋，A布袋中有四個除標(biāo)號外完全相同的小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，0，1，2；B布袋中有二個除標(biāo)號外完全相同的小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字0，1．小明先從A布袋中隨機(jī)取出一個小球，用m表示取出的球上標(biāo)有的數(shù)字，再從B布袋中隨機(jī)取出一個小球，用n表示取出的球上標(biāo)有的數(shù)字．
（1）若用（m，n）表示小明取球時m與n的對應(yīng)值，請用樹狀圖或列表法表示（m，n）的所有取值；
（2）求關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0有實(shí)數(shù)根的概率．
22．俄羅斯世界杯足球賽期間，某商店銷售一批足球紀(jì)念冊，每本進(jìn)價40元，規(guī)定銷售單價不低于44元，且獲利不高于30%．試銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300本，銷售單價每上漲1元，每天銷售量減少10本，現(xiàn)商店決定提價銷售．設(shè)每天銷售量為y本，銷售單價為x元．
（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)每本足球紀(jì)念冊銷售單價是多少元時，商店每天獲利2400元？
（3）將足球紀(jì)念冊銷售單價定為多少元時，商店每天銷售紀(jì)念冊獲得的利潤w元最大？最大利潤是多少元？
23．如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝90°，四邊形EBOC是平行四邊形，EB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD并延長交AB的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若∠F＝30°，EB＝4，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號和π）．

24．已知拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象l經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)C（m，n）
（1）求拋物線的解析式；
（2）若m＝3，直線l與拋物線只有一個公共點(diǎn)，求k的值；
（3）若k＝﹣2m+2，直線l與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在對稱軸上．當(dāng)PD＝PC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
25．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為直徑，AC和BD交于點(diǎn)E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）過B作AD的平行線，交AC于F，試判斷線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系，并說明理由；
（3）在（2）條件下過E，F(xiàn)分別作AB，BC的垂線，垂足分別為G，H，連接GH，交BO于M，若AG＝3，S四邊形AGMO：S四邊形CHMO＝8：9，求⊙O的半徑．


參考答案
一、選擇題（共30分）
1．解：（x﹣2）（x+3）＝0，
x﹣2＝0，x+3＝0，
x1＝2，x2＝﹣3，
故選：D．
2．解：A．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B．該圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C．該圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D．該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
3．解：∵原拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），
∴新拋物線的頂點(diǎn)為（﹣2，3），
∴新拋物線的解析式為y＝（x+2）2+3，
故選：A．
4．解：∵⊙O的直徑為10，
∴⊙O的半徑為5，
∵OP＝5，
∴點(diǎn)P在⊙O上．
故選：B．
5．解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵將Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AB′C′，
∴AB′＝AB＝6，B'C'＝BC＝8，∠ABC＝∠AB'C'＝90°，
∴B'C＝AC﹣AB'＝4，∠C'B'C＝90°，
在Rt△B'C'C中，CC'＝＝＝4，
故選：D．
6．解：∵點(diǎn)O是△ABO和△DCO的位似中心，
∴△ABO∽△DCO，相似比為OA：OD＝2：5，
∴△ABO與△DCO的周長比為2：5．
故選：D．
7．解：∵線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴＝，
∵∠CAB＝20°，
∴∠BOD＝40°，
∴∠AOD＝140°．
故選：B．
8．解：設(shè)圓錐底面的半徑為r，
根據(jù)題意得2πr＝，解得：r＝．
故選：D．
9．解：
∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，故B正確；
∴△ABC∽△ADE，故A正確；
∴，故C錯誤；
∴S△ABC＝9S△ADE，故D正確；
故選：C．
10．解：∵P（n，y1），Q（n﹣2，y2）是函數(shù)y＝﹣x2+2x+5的圖象上的兩點(diǎn)，且y1＞y2，
∴﹣n2+2n+5＞﹣（n﹣2）2+2（n﹣2）+5，
化簡整理得，4n﹣8＜0，
∴n＜2，
∴實(shí)數(shù)n的取值范圍是n＜2，
故選：D．
二、填空題（共18分）
11．解：由點(diǎn)P（2，﹣6）與點(diǎn)Q（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對稱，
得a＝﹣2，b＝6，
則a+b＝﹣2+6＝4．
故答案為：4．
12．解：∵袋子中裝有紅球、黃球共30個，多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出黃球的頻率穩(wěn)定在0.30左右，
∴袋子中黃球的數(shù)量可能是30×0.3＝9（個），
故答案為：9．
13．解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E，
∴PA＝PB＝10，ED＝AD，CE＝BC；
∴△PCD的周長＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝20．
14．解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.6m，CD＝8m，
∴＝，
∴BC＝4米，
∴AB＝AC+BC＝1.6+4＝5.6米，
故答案為：5.6．
15．解：∵二次函數(shù)y＝2020x2+2021x+2022的圖象上有兩點(diǎn)A（x1，2023）和B（x2，2023），
∴x1、x2是方程2020x2+2021x+2022＝2023的兩個根，
∴x1+x2＝﹣，
∴當(dāng)x＝x1+x2時，二次函數(shù)y＝2020x2+2021x+2022＝2020（﹣）2+2021?（﹣）+2022＝2022．
故答案為：2022．
16．解：以AB為直徑作圓，因?yàn)椤螦GB＝90°，所以G點(diǎn)在圓上．
當(dāng)CF與圓相切時，AF最大．
此時FA＝FG，BC＝CG．
設(shè)AF＝x，則DF＝4﹣x，F(xiàn)C＝4+x，
在Rt△DFC中，利用勾股定理可得：
42+（4﹣x）2＝（4+x）2，
解得x＝1．
故答案為1．

三．解答題（本大題共72分）
17．解：x2﹣10x+16＝0
（x﹣2）（x﹣8）＝0，
x﹣2＝0或x﹣8＝0，
解得：x1＝2，x2＝8．
18．解：（1）如圖所示，△A1B1C1為所求作．

（2）∵，
∴旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)B經(jīng)過的路徑長為＝π．
19．解：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．
（2）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，
∵?AD?BD＝?AB?DE，
∴DE＝．

20．解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，
解得m≤；
（2）根據(jù)題意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，
∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，
∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，
∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝3（不合題意，舍去）．
故m的值是﹣1．
21．解：（1）畫樹狀圖如下：

由圖表知，（m，n）有8種可能；

（2）由方程得Δ＝m2﹣2n，
當(dāng)（m，n）的對應(yīng)值是（﹣1，0），（0，0），（1，0），（2，0），（2，1）時，△≥0，原方程有實(shí)數(shù)根，
則關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+n＝0有實(shí)數(shù)根的概率是．
22．解：（1）y＝300﹣10（x﹣44），
即y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根據(jù)題意得（x﹣40）（﹣10x+740）＝2400，
解得x1＝50，x2＝64（舍去），
答：當(dāng)每本足球紀(jì)念冊銷售單價是50元時，商店每天獲利2400元；
（3）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）
＝﹣10x2+1140x﹣29600
＝﹣10（x﹣57）2+2890，
當(dāng)x＜57時，w隨x的增大而增大，
而44≤x≤52，
所以當(dāng)x＝52時，w有最大值，最大值為﹣10（52﹣57）2+2890＝2640，
答：將足球紀(jì)念冊銷售單價定為52元時，商店每天銷售紀(jì)念冊獲得的利潤w最大，最大利潤是2640元．
23．（1）證明：如圖連接OD．
∵四邊形OBEC是平行四邊形，
∴OC∥BE，
∴∠AOC＝∠OBE，∠COD＝∠ODB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠DOC＝∠AOC，
在△COD和△COA中，
，
∴△COD≌△COA，
∴∠CAO＝∠CDO＝90°，
∴CF⊥OD，
∴CF是⊙O的切線．
（2）解：∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠DOF＝∠AOC＝∠COD＝60°，
∵OD＝OB，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠DBO＝60°，
∵∠DBO＝∠F+∠FDB，
∴∠FDB＝∠EDC＝30°，
∵EC∥OB，
∴∠E＝180°﹣∠OBD＝120°，
∴∠ECD＝180°﹣∠E﹣∠EDC＝30°，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴EC＝ED＝BO，
∵∠EBO＝60°，OB＝OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴BD＝OB，
∵EB＝4，
∴OB＝OD＝OA＝2，
在RT△AOC中，∵∠OAC＝90°，OA＝2，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA?tan60°＝2，
∴S陰＝2?S△AOC﹣S扇形OAD＝2××2×2﹣＝4﹣．

24．解：（1）∵拋物線y＝ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得．
所以，拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵拋物線上的點(diǎn)C（m，n），
∴n＝﹣m2+2m+3，
當(dāng)m＝3時，n＝0，
∴C（3，0），
∴一次函數(shù)y＝kx+b的圖象l經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)C（m，n），
∴3k+b＝0，
∴b＝﹣3k，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝kx﹣3k，
∵直線l與拋物線只有一個公共點(diǎn)，
∴方程kx﹣3k＝﹣x2+2x+3有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
∴（k﹣2）2+4（3k+3）＝0，
解得k＝﹣4；
（3）如圖，過C點(diǎn)作CH⊥PD于H，
C（m，n）在直線y＝kx+b上，
∴n＝（﹣2m+2）m+b，
∵點(diǎn)C在拋物線上，
∴n＝﹣m2+2m+3，
∴b＝m2+3，
∴直線l為y＝（﹣2m+2）x+m2+3，
∵直線l與拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)D，
∴D的橫坐標(biāo)為1，代入得：y＝﹣2m+2+m2+3＝8﹣（﹣m2+2m+3）＝8﹣n，
∴D（1，8﹣n），
設(shè)P（1，p），則PD＝8﹣n﹣p，HC＝m﹣1，PH＝p﹣n，
在Rt△PCH中，PC＝PD＝8﹣n﹣p，
∴（8﹣n﹣p）2＝（p﹣n）2+（m﹣1）2
∴（8﹣n﹣p）2﹣（p﹣n）2＝（m﹣1）2，
∴（8﹣2n）（8﹣2p）＝m2﹣2m+1，
∵n＝﹣m2+2m+3，
∴2（4﹣n）（8﹣2p）＝4﹣n，
∵k＝﹣2m+2≠0，
∴m≠1，
∴n≠4，
∴4﹣n≠0，
∴2（8﹣2p）＝1，
∴p＝，
∴P（1，）．

25．解：（1）如圖1，

∵AC為直徑，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）線段EA，CF，EF之間滿足的等量關(guān)系為：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如圖2，設(shè)∠ABE＝α，∠CBF＝β，

∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
過B作BN⊥BE，使BN＝BE，連接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如圖3，延長GE，HF交于K，

由（2）知EA2+CF2＝EF2，
∴EA2+CF2＝EF2，
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五邊形BGEFH＝S△EFK+S五邊形BGEFH，
即S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，
∴S△BGM＝S四邊形COMH，S△BMH＝S四邊形AGMO，
∵S四邊形AGMO：S四邊形CHMO＝8：9，
∴S△BMH：S△BGM＝8：9，
∵BM平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
設(shè)BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∵AG＝3，
∴AE＝3，
∴CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），
∵EA2+CF2＝EF2，
∴+＝，
整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1．
∴AB＝12，
∴AO＝AB＝6，
∴⊙O的半徑為6．


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